Analiz
Analiz, limit kavramının üzerine kurulmuş; süreklilik, türev ve integrali tek bir tutarlı çatı altında toplayan matematiğin temel dallarından biridir. Bu notlar dört dönemlik bir Analiz müfredatını, reel sayıların aksiyomatik inşasından \(\mathbb{R}^n\) üzerindeki optimizasyon problemlerine kadar takip eder.
Bu dersin notları hazırlanma aşamasındadır. Aşağıda dersin tam müfredatı yer almaktadır; bölümler tamamlandıkça bu sayfadan bağlantılanacaktır.
📖 Analiz 1 — Tek Değişkenli Analize Giriş
Reel sayıların aksiyomatik inşasından başlayarak diziler, limit ve süreklilik kavramlarının matematiksel temellerini inceler.
Reel Sayılar ve Topoloji
- Reel sayıların temelleri ve aksiyomlar
- Kümelerde yığılma ve değme noktaları
- Bolzano-Weierstrass teoremi
Diziler ve Yakınsaklık
- Reel sayı dizileri ve limit
- Sıkıştırma teoremi ve cebirsel özellikler
- Monoton, alt ve Cauchy dizileri
Fonksiyonlarda Limit
- Limit kavramı ve tek yönlü limitler
- Sonsuz limitler ve asimptotik süreçler
- Fonksiyonlar için Cauchy ölçütü
Süreklilik
- Süreklilik ve süreksizlik çeşitleri
- Ara değer ve Weierstrass teoremleri
- Düzgün süreklilik ve Cantor teoremi
📖 Analiz 2 — Tek Değişkenli Fonksiyonlar
Analiz 1’de atılan limit ve süreklilik temellerinin üzerine inşa edilen türev, integral ve seriler teorisini inceler.
Türev ve Kuralları
- Türevlenebilirlik ve temel kurallar
- Ters ve kapalı fonksiyonların türevi
- Yüksek mertebeden türev ve Leibniz kuralı
Türevin Uygulamaları
- Rolle, Lagrange ve Cauchy teoremleri
- Monotonluk, ekstremum ve konvekslik
- L’Hôpital kuralı ve grafik çizimi
Reel Sayı Serileri
- Serilerin yakınsaklığı ve testler
- Mutlak ve şartlı yakınsaklık
- Alterne seriler ve düzgün yakınsaklık
Taylor ve Kuvvet Serileri
- Kuvvet serilerine giriş
- Analitik fonksiyonlar
- Taylor ve Maclaurin teoremleri
Belirsiz İntegral
- İntegral yöntemleri (kısmi integrasyon, değişken değiştirme)
- Rasyonel ve irrasyonel fonksiyonlar
- Binom ve trigonometrik integraller
Belirli İntegral ve Uygulamalar
- Riemann ve Darboux integrali
- Kalkülüsün temel teoremi
- Alan, yay uzunluğu ve hacim hesabı
📖 Analiz 3 — Fonksiyon Dizileri ve Serileri
Noktasal yakınsaklıktan düzgün yakınsaklığa geçiş yaparak fonksiyon dizilerinin ve serilerinin analitik yapılarını inceler; ardından Fourier serileriyle periyodik fonksiyonların doğasına iner ve genelleştirilmiş integrallerle sınırları sonsuza taşır.
Fonksiyon Dizileri ve Serileri
- Fonksiyon dizilerinde noktasal yakınsaklık
- Düzgün yakınsaklık ve özellikleri
- Fonksiyon serilerinde yakınsaklık
Kuvvet ve Fourier Serileri
- Kuvvet serileri ve analitik özellikleri
- Fourier serilerine giriş
- Fourier serilerinin özellikleri ve uygulamaları
Genelleştirilmiş İntegraller
- I. tip genelleştirilmiş integraller
- tip genelleştirilmiş integraller
- Euler integralleri (gamma ve beta fonksiyonları)
Parametreye Bağlı İntegraller
- Parametreye bağlı integraller ve özellikleri
📖 Analiz 4 — Çok Değişkenli Analiz
Tek değişkenli analiz kavramlarını \(n\) boyutlu Öklid uzayına taşır. \(\mathbb{R}^n\) uzayının topolojik yapısından başlayarak çok değişkenli fonksiyonlarda limit, süreklilik, kısmi türevler ve optimizasyon problemlerini inceler.
\(\mathbb{R}^n\) Uzayının Yapısı ve Diziler
- \(\mathbb{R}^n\)’nin cebirsel yapısı
- \(\mathbb{R}^n\)’nin topolojisi
- \(\mathbb{R}^n\)’de diziler ve yakınsaklık
Limit ve Süreklilik
- \(\mathbb{R}^n\)’de fonksiyonlar ve limit
- \(\mathbb{R}^n\)’de fonksiyonların sürekliliği
Kısmi Türev ve Diferansiyellenebilme
- Diferansiyellenebilme ve kısmi türevler
- Yüksek mertebeli kısmi türevler
- Çok değişkenliler için Taylor formülü
Optimizasyon ve Kapalı Fonksiyonlar
- Çok değişkenlilerde ekstremum noktaları
- Bağlı ekstremumlar ve bulunması
- Kapalı fonksiyonlar ve uygulamaları
- Bağımsız değişkenlerin değişimi