2  Kısmi Diferansiyel Denklemlere Giriş ve Sınıflandırma

Kısmi diferansiyel denklemlerin (KDD) tarihsel gelişimi, 18. yüzyılda fiziksel dünyadaki dinamikleri ve sürekli ortamları matematiksel olarak modelleme çabalarına dayanır. Jean le Rond d’Alembert’in titreşen bir telin hareketini açıklamak için geliştirdiği tek boyutlu dalga denklemi, Leonhard Euler’in akışkanlar mekaniğine kazandırdığı formüller ve Joseph Fourier’nin ısı yayılımı teorisi bu disiplinin temel taşlarını oluşturur.

Bu fiziksel problemler, tek bir bağımsız değişken içeren adi diferansiyel denklemlerin (ADD) aksine, doğadaki olayların hem zamana hem de uzaydaki konuma bağlı olarak çok boyutlu incelenmesi gerektiğini göstererek KDD alanının doğmasını sağlamıştır.

Bu bölümde, kısmi diferansiyel denklemlerin temel kavramsal çerçevesini kuracağız. Önce bağımlı ve bağımsız değişkenleri ayırt etmeyi öğrenecek, ardından denklemleri analitik olarak inceleyebilmek için kritik öneme sahip olan mertebe, homojenlik ve lineerlik kriterlerine göre sınıflandırma yapılarını ele alacağız.

2.1 Temel Notasyonlar ve Kavramsal Çerçeve

Matematiksel analize geçmeden önce, bir denklemin kısmi diferansiyel denklem olarak nitelendirilebilmesi için gereken temel şartı net biçimde ortaya koymalıyız.

Tanım 2.1 (Kısmi Diferansiyel Denklem (KDD)) Birden fazla bağımsız değişkene göre türevler içeren; bir veya daha fazla bağımlı değişkenin ve bu değişkenlerin kısmi türevlerinin arasındaki ilişkiyi gösteren denklemlere kısmi diferansiyel denklem denir.

Bir diferansiyel denklemle karşılaştığımızda yapmamız gereken ilk iş, hangi değişkenin fonksiyonun kendisini (bağımlı), hangilerinin ise girdileri (bağımsız) temsil ettiğini belirlemektir. Bu ayrım, türev operatörlerinin kime uygulandığını anlamamızı sağlar.

Örnek 2.1 (Bağımlı ve Bağımsız Değişken Analizi) Aşağıdaki yaygın diferansiyel modellemelerde değişkenlerin rollerini inceleyelim:

  1. \(\dfrac{\partial z}{\partial s} + s^2 \dfrac{\partial z}{\partial t} = 0\) denklemi verilmiş olsun. Burada \(z = z(s,t)\) formunda bir fonksiyon aranmaktadır.
    • \(z\): bağımlı değişken
    • \(s, t\): bağımsız değişkenler
  2. Fizikte dalga yayılımını modelleyen \(\dfrac{\partial^2 u}{\partial t^2} - c^2 \dfrac{\partial^2 u}{\partial x^2} = 0\) denkleminde \(u = u(x,t)\) yapısı mevcuttur.
    • \(u\): bağımlı değişken
    • \(x\) (konum) ve \(t\) (zaman): bağımsız değişkenler

2.2 1. Mertebe (Order)

Bir denklemin yapısını ve çözümünün zorluk derecesini belirleyen en somut özelliklerinden biri mertebesidir. Diferansiyel denklemlerin çözüm uzaylarının boyutu doğrudan bu kavrama bağlı olarak şekillenir.

Tanım 2.2 (Denklemin Mertebesi) Bir kısmi diferansiyel denklemde yer alan en yüksek mertebeli kısmi türevin mertebesine, o diferansiyel denklemin mertebesi (order) denir.

Mertebe bulunurken denklemdeki tüm türevli terimler tek tek taranır ve uygulanan en yüksek türev operatörü baz alınır. Terimlerin kendi kuvvetleri (örneğin bir türevin karesinin alınması) mertebeyi etkilemez — kuvvet, denklemin derecesiyle ilgilidir, mertebesiyle değil.

Örnek 2.2 (Mertebe Belirleme) \[\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} + \frac{\partial^3 u}{\partial x^2 \partial t} + u^2 = 0\]

  • Analiz: Denklemde yer alan en yüksek türev, \(x\)’e göre iki ve \(t\)’ye göre bir kez türev alınarak oluşturulmuş olan \(\frac{\partial^3 u}{\partial x^2 \partial t}\) terimidir.
  • Sonuç: Denklem 3. mertebeden bir KDD’dir.

2.3 2. Homojenlik (Homogeneity)

Denklemlerin süperpozisyon ilkesine uyup uymadığını anlamak ve genel çözüme ulaşırken izlenecek stratejiyi belirlemek için homojenlik kavramı incelenmelidir. Bu kavramı en pratik hâliyle denklemin terimlerine bakarak ayırt edebiliriz.

Tanım 2.3 (Homojenlik) Bir kısmi diferansiyel denklemde tüm terimler bağımlı değişkeni (\(u\)) veya onun en az bir kısmi türevini (\(u_x, u_{xx}, u_y, \dots\)) içeriyorsa, bu denklem homojen (homogeneous) bir denklemdir.

Eğer denklemde \(u\) veya türevlerini içermeyen; yalnızca bağımsız değişkenlerden (\(x, y, t, \dots\)) ya da sabit sayılardan oluşan yalın bir terim varsa, bu denklem homojen olmayan (nonhomogeneous) bir denklemdir.

Örnek 2.3 (Homojen ve Homojen Olmayan Denklem Farkı) Aşağıdaki iki denklemin homojenlik durumlarını inceleyelim:

  1. \(\dfrac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \dfrac{\partial^2 u}{\partial y^2} - 5u = 0\)
  2. \(\dfrac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \dfrac{\partial^2 u}{\partial y^2} - 5u = x^2 + \sin(y)\)
  • 1. denklem: Tüm terimlerde (\(u_{xx}\), \(u_{yy}\), \(-5u\)) bağımlı değişken veya türevi mevcuttur; dışarıdan eklenmiş yalın bir terim yoktur. Denklem homojendir.
  • 2. denklem: Eşitliğin sağ tarafındaki \(x^2 + \sin(y)\) ifadesinde \(u\) veya türevi yoktur. Yalnızca bağımsız değişkenlerden oluşan bu terimler homojenliği bozar. Denklem homojen değildir.

2.4 3. Lineerlik (Linearity) ve Alt Sınıfları

Lineerlik, matematiksel analizin en güçlü sınır çizgisidir. Doğrusal yapıdaki bir denklemde temel kural şudur: bağımlı değişken \(u\) ve tüm türevleri yalnızca birinci dereceden olmalı, asla birbirleriyle çarpılmamalı ve sinüs, karekök gibi fonksiyonların içine girmemelidir.

Bir KDD’yi lineerlik yapısına göre dört ana sınıfta inceleriz.

A) Lineer (Doğrusal) Denklemler

Tanım 2.4 (Lineer Denklem) Bütün terimlerdeki bağımlı değişken \(u\) ve tüm kısmi türevlerinin birinci dereceden olduğu, kendi aralarında çarpılmadığı ve katsayılarının yalnızca bağımsız değişkenlerden (veya sabitlerden) oluştuğu denklemlere lineer denir.

Not📌 Yaygın yanılgı: bağımsız değişkenle çarpmak

Türevleri \(x\) veya \(y\) gibi bağımsız değişkenlerle çarpmak lineerliği bozmaz. Örneğin \(x u_{xx} + y^2 u_{yy} = 0\) denklemi tamamen lineerdir. Bir denklemin lineerlikten çıkması için \(u^2\), \((u_x)^2\) gibi doğrusallığı bozan bir terim barındırması şarttır.

Örnek 2.4 (Lineer Denklem Analizi) \[\frac{\partial u}{\partial t} - 3 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = x^2\]

  • Mertebe: \(2\) — en yüksek türev \(u_{xx}\).
  • Homojenlik: Homojen değil; sağ tarafta \(u\) içermeyen \(x^2\) terimi var.
  • Lineerlik: Lineer — \(u\) ve türevlerinin derecesi \(1\), birbirleriyle çarpılmamışlar, katsayıları sabit.

B) Yarı-Lineer (Semilinear) Denklemler

Bir denklemde doğrusal olmayan bir terim varsa, o denklemin sınıfını belirlemek için en yüksek mertebeli türevlerin katsayılarına bakarız.

Tanım 2.5 (Yarı-Lineer Denklem) Denklemde doğrusallığı bozan bir terim bulunmasına rağmen, en yüksek mertebeli türevlerin kendileri birinci dereceden ise ve başlarındaki katsayılar yalnızca bağımsız değişkenlerden (veya sabitlerden) oluşuyorsa, bu denkleme yarı-lineer (semilinear) denir.

Bu denklem türünde doğrusallığı bozan unsurlar her zaman en yüksek mertebeden daha düşük seviyedeki terimlerde bulunur.

Örnek 2.5 (Yarı-Lineer Denklem Analizi) \[x u_{xx} + y u_{yy} - (u_x)^2 = 0\]

  • Mertebe: \(2\)
  • Homojenlik: Homojen
  • Lineerlik: Yarı-lineer — \((u_x)^2\) terimi doğrusallığı bozar; fakat en yüksek mertebeli türevler olan \(u_{xx}\) ve \(u_{yy}\)’nin katsayıları olan \(x\) ve \(y\) yalnızca bağımsız değişkenlerdir.

C) Kuazi-Lineer (Quasilinear) Denklemler

Doğrusallıktan bir adım daha uzaklaştığımızda, en yüksek mertebeli türevlerin katsayılarına bağımlı değişkenin kendisi veya türevleri sızmaya başlar.

Tanım 2.6 (Kuazi-Lineer Denklem) En yüksek mertebeli türevlerin kendileri hâlâ birinci dereceden olmasına rağmen, bu yüksek mertebeli terimlerin katsayılarında bağımlı değişken \(u\) veya onun daha düşük mertebeli türevleri çarpım durumunda bulunuyorsa, denklem kuazi-lineerdir.

Örnek 2.6 (Kuazi-Lineer Denklem Analizi) \[u \cdot u_{xx} + u_{yy} = 0\]

  • Mertebe: \(2\)
  • Homojenlik: Homojen
  • Lineerlik: Kuazi-lineer — en yüksek mertebeli \(u_{xx}\) teriminin baş katsayısında bağımlı değişken \(u\) çarpanı vardır.

D) Nonlineer (Tam Doğrusal Olmayan) Denklemler

Tanım 2.7 (Nonlineer Denklem) En yüksek mertebeden türevlerin kendi aralarında çarpıldığı, kuvvetlerinin alındığı (örneğin \(u_{xx}^2\)) veya doğrusal olmayan aşkın fonksiyonların (örneğin \(\sin(u_{xx})\)) içinde yer aldığı denklemlere bütünüyle nonlineer denir.

Örnek 2.7 (Nonlineer Denklem Analizi) \[u_{xxx}^2 + u_{xy} = 0\]

  • Mertebe: \(3\)
  • Homojenlik: Homojen
  • Lineerlik: Nonlineer — en yüksek mertebeli \(u_{xxx}\) türevinin doğrudan karesi alındığı için doğrusal form tamamen kaybedilmiştir.

2.5 🔄 Denklemler Arası Kapsama İlişkisi

Bu dört sınıflandırma birbirinden tamamen bağımsız kutular değildir; aksine tıpkı bir matruşka bebeği gibi birbirini kapsayan matematiksel alt kümelerdir. Her dar tanım, bir geniş tanımın özel hâlidir:

\[\text{Lineer} \subset \text{Yarı-Lineer} \subset \text{Kuazi-Lineer} \subset \text{Nonlineer (Genel)}\]

Bunu şu mantıkla düşünebiliriz:

  1. Lineer denklemler, yarı-lineer denklemlerin doğrusallığı bozan alt terimlerinin sıfır olduğu özel hâlidir.
  2. Yarı-lineer denklemler, kuazi-lineer denklemlerin en yüksek mertebeli terim katsayısındaki \(u\) çarpanının yok olup yerine yalnızca bağımsız değişkenlerin geldiği özel hâlidir.
  3. Kuazi-lineer denklemler de, genel nonlineer KDD’lerin, en azından yüksek mertebeli türevlerinin doğrusal kalmayı başardığı düzenli alt kümesidir.

2.6 📝 Karışık Sınıflandırma Örnekleri

Örnek 2.8 (Burgers Denklemi) \[u_t + u \cdot u_x = 0\]

  • Mertebe: \(1\) — en yüksek türevler \(u_t\) ve \(u_x\).
  • Homojenlik: Homojen; her terimde \(u\) veya türevi var.
  • Lineerlik: Kuazi-lineer — en yüksek türev olan \(u_x\)’in başında \(u\) çarpanı var.

Örnek 2.9 (Dalga Denklemi Varyasyonu) \[u_{tt} - c^2 u_{xx} = \sin(x)\]

  • Mertebe: \(2\) — en yüksek türevler \(u_{tt}\) ve \(u_{xx}\).
  • Homojenlik: Homojen değil; sağ taraftaki \(\sin(x)\) terimi \(u\) içermez.
  • Lineerlik: Lineer — \(u\) ve tüm türevleri birinci dereceden, katsayıları sabittir.

Örnek 2.10 (Eikonal Denklem) \[(u_x)^2 + (u_y)^2 = 1\]

  • Mertebe: \(1\) — en yüksek türevler \(u_x\) ve \(u_y\).
  • Homojenlik: Homojen değil; sağ tarafta \(u\) içermeyen sabit bir terim var.
  • Lineerlik: Nonlineer — en yüksek türevlerin karesi alınmış, doğrusal yapı bozulmuştur.

Örnek 2.11 (Karmaşık Katsayılı Denklem) \[y u_{xx} + x^2 u_{yy} - u^2 = e^x\]

  • Mertebe: \(2\) — en yüksek türevler \(u_{xx}\) ve \(u_{yy}\).
  • Homojenlik: Homojen değil; sağ tarafta \(e^x\) terimi var.
  • Lineerlik: Yarı-lineer — \(u^2\) terimi doğrusallığı bozar, ancak en yüksek mertebeli türevlerin katsayıları olan \(y\) ve \(x^2\) yalnızca bağımsız değişkenlerden oluşur.