Sayılar Teorisi

Sayılar Teorisi ders notlarının müfredatı: bölünebilme, asal sayılar, aritmetik fonksiyonlar, kongrüanslar, kuadratik rezidüler, resiprosite ve Diofant denklemleri.

Sayılar teorisi, tam sayıların yapısını ve aralarındaki gizli ilişkileri inceleyen; matematiğin en eski, en zarif ve —modern kriptografi sayesinde— en beklenmedik biçimde uygulamalı dallarından biridir.

Bu notlar iki ana bölümden oluşur. Sayılar Teorisi 1, bölünebilme kurallarından asal sayıların doğasına ve klasik modüler aritmetiğe kadar tam sayıların temel yapı taşlarını kurar. Sayılar Teorisi 2 ise modern kriptografinin altyapısını oluşturan ileri kongrüanslar, kuadratik kalanlar ve primitif kökler gibi daha derin analitik araçları ele alır.

Aşağıdaki müfredatta bağlantılı olan başlıkların notları hazırdır. Bağlantısız başlıklar sırasıyla yazılmakta olup tamamlandıkça bu sayfaya eklenecektir.

📖 Sayılar Teorisi 1 — Temel Yapılar ve Klasik Teoremler

1. Bölünebilme ve Asal Sayılar

  • Bölünebilme kuralları ve temel kavramlar
  • Asal sayılar ve özellikleri
  • Aritmetiğin temel teoremi

2. Algoritmalar ve Çarpanlar

  • EBOB ve EKOK kavramları
  • Öklid algoritması
  • Bézout teoremi ve ispatı

3. Aritmetik Fonksiyonlar

  • Aritmetik ve çarpımsal fonksiyonlara giriş
  • Bölen sayısı (\(\tau\)) ve bölen toplamı (\(\sigma\)) fonksiyonları
  • Euler’in totient (\(\varphi\)) fonksiyonu ve özellikleri
  • Dirichlet çarpımı (konvolüsyon) ve birim fonksiyon
  • Möbius fonksiyonu (\(\mu\)) ve tersine çevirme formülü

4. Modüler Aritmetik ve Kongrüanslar

  • Kongrüanslar ve kalan sınıfları
  • Birinci dereceden kongrüans denklemleri
  • Çin kalan teoremi

5. Klasik Teoremler

  • Wilson teoremi
  • Fermat’nın küçük teoremi ve Euler teoremi

📖 Sayılar Teorisi 2 — İleri Yapılar ve Analitik Araçlar

1. İleri Kongrüanslar ve Kök Taşıma

2. Kuadratik (İkinci Dereceden) Rezidüler

3. Kuadratik Resiprosite ve Semboller

4. Primitif Kökler ve İndeks (Ayrık Logaritma)

  • Primitif (ilkel) kökler
  • İndeks aritmetiği ve uygulamaları

5. Diofant Denklemleri