Soyut Cebir

Soyut Cebir ders notlarının müfredatı: grup teorisi, halkalar ve idealler, cisim genişlemeleri ve değişmeli cebir ile modül teorisi.

Matematiğin kalbini oluşturan cebirsel yapıları inceleyen bu kapsamlı seri; grup teorisinden başlayarak halkalara, oradan cisim genişlemelerine ve nihayetinde değişmeli cebirin zirvesi olan modül teorisine uzanan saf matematiksel bir inşadır.

Bu dersin notları hazırlanma aşamasındadır. Aşağıda dersin tam müfredatı yer almaktadır; bölümler tamamlandıkça bu sayfadan bağlantılanacaktır.

📖 Cebir 1 — Grup Teorisi

Matematiksel simetrinin ve tek işlemli cebirsel yapıların temeli olan grup teorisini, homomorfizmaları ve Sylow teoremlerini inceler.

1. Cebirsel Yapılar ve Temeller

  • Cebirsel yapılara giriş
  • Alt cebirsel yapılar
  • Bölüm cebirsel yapıları

2. Grup Teorisine Giriş

  • Grup kavramı ve özellikleri
  • Alt gruplar ve devresel (cyclic) gruplar

3. Homomorfizmalar ve Bölüm Grupları

  • Normal alt gruplar
  • Bölüm grupları
  • Homomorfizmalar ve çekirdek (kernel) kavramı
  • İzomorfizmalar ve izomorfizma teoremleri

4. Özel Gruplar ve İleri Teoremler

  • Simetrik gruplar ve permütasyonlar
  • Sylow teoremleri ve uygulamaları

📖 Cebir 2 — Halkalar ve İdealler

İki işlemli sistemlere geçiş yaparak halkaları, idealleri, tamlık bölgelerini ve polinomların aritmetiğini Öklidyen yapılara bağlayan kavramları ele alır.

1. Halka Teorisine Giriş

  • İki işlemli cebirsel yapılar
  • Halka ve alt halka kavramları
  • Halkanın karakteristiği ve binom formülü

2. İdealler ve Homomorfizmalar

  • İdeal ve esas ideal (principal ideal) kavramı
  • Esas ideal halkaları (PID) ve bölüm halkası
  • Halka homomorfizmaları

3. Tamlık Bölgeleri (Integral Domains)

  • Maksimal ve asal idealler
  • Tamlık bölgesi ve kesirler cismi
  • Tamlık bölgesinde aritmetik birimler ve asal elemanlar

4. Özel Bölgeler ve Polinomlar

  • Asal çarpanlara ayrılış bölgeleri (UFD)
  • Öklid bölgeleri (ED)
  • Polinom halkaları

📖 Cebir 3 — Cisim Genişlemeleri ve Parçalanış

Denklemlerin çözülebilirliğini, cisim genişlemelerini ve polinom köklerinin uzaydaki parçalanışını (otomorfizmalar) merkeze alan ileri cebirsel yapıları inceler.

1. Polinomlar ve Cisimlere Giriş

  • Tek değişkenli polinomlar ve indirgenebilirlik kriterleri
  • Cisim (field) tanımı ve temel özellikler

2. Cisim Genişlemeleri

  • Cisim genişlemeleri ve basit genişlemeler
  • Cebirsel ve transandant genişlemeler
  • Sonlu cebirsel genişlemeler

3. Kökler ve Parçalanış (Splitting Fields)

  • Cebirsel kapanış (algebraic closure)
  • Parçalanış cisimleri

4. İleri Cisim Yapıları

  • Cisim otomorfizmaları
  • Daire bölümü cisimleri (cyclotomic fields) ve birimin kökleri
  • Sonlu cisimler (finite fields)

📖 Değişmeli Cebir — Modüller ve İleri Yapılar

Halkalar ve idealler üzerindeki derinlemesine analizi, vektör uzaylarının genelleştirilmiş hâli olan modüller kavramına taşıyan ve ileri matematiğe köprü kuran derstir.

1. İleri Halka ve İdeal Analizi

  • Halkalar, idealler ve bölüm halkalarına derin bakış
  • Sıfır bölenler, nilpotent elemanlar ve aritmetik birimler
  • Maksimal ve asal idealler
  • Nilradikal ve Jacobson radikali

2. Modül Teorisine Giriş

  • Modül kavramı ve temel tanımlar
  • Modül homomorfizmaları
  • Alt modüller ve bölüm modülleri

3. Modüller Üzerinde İşlemler ve Yapılar

  • Alt modüller üzerinde işlemler
  • Sonlu doğuraylı (finitely generated) modüller

4. İndirgenebilirlik ve Schur Lemması

  • İndirgenemez ve tamamen indirgenebilir modüller
  • Schur lemması