4 Lineer Hâle Dönüştürülebilir Modeller
Regresyon analizinde bağımlı (\(Y\)) ve bağımsız (\(X\)) değişkenler arasındaki ilişki her zaman \(Y = \beta_0 + \beta_1 X\) gibi düz bir doğru şeklinde olmak zorunda değildir. Bazen veriler bir eğri çizerek üstel, logaritmik veya üslü biçimde artış ya da azalış gösterir.
Eğrisel bir ilişkiye en küçük kareler yöntemini doğrudan uygulamaya kalkarsak, çözümü çok zor denklem sistemleriyle karşılaşırız. Bunun yerine şu matematiksel hileyi yaparız: orijinal denklemi logaritma veya ters alma gibi işlemlerle doğrusal bir formata dönüştürürüz.
Eğrisel bir modeli çözebilmek için değişkenleri yeni birer isme (örneğin \(Y^{*}\) ve \(X^{*}\)) atayarak modeli \(Y^{*} = A + B X^{*}\) formatına getiririz. Denklem artık doğrusal olduğundan, standart regresyon işlemlerini bu yıldızlı değişkenler üzerinden rahatça uygulayabiliriz. İşlem bitince ters dönüşüm yaparak orijinal katsayılara döneriz.
4.1 Sık Kullanılan Matematiksel Dönüşümler
1. Üstel (Exponential) Model
Verilerin başlangıçta yavaş, sonra hızlanarak arttığı durumlarda kullanılır. Doğrusallaştırmak için her iki tarafın doğal logaritması alınır.
Genel denklem: \[Y = c \cdot e^{aX}\]
Dönüşüm adımları: \[\ln(Y) = \ln\!\left(c \cdot e^{aX}\right) = \ln(c) + \ln\!\left(e^{aX}\right) = \ln(c) + aX\]
Lineer format: \(Y^{*} = \ln(Y)\) ve \(c^{*} = \ln(c)\) dersek denklem bilinen doğrusal formata dönüşür: \[Y^{*} = c^{*} + aX\]
2. Üslü (Power) Model
Bağımsız değişkenin üs olarak değil taban olarak yer aldığı modeldir. Doğrusallaştırmak için her iki tarafın logaritması alınır.
Genel denklem: \[Y = a_1 \cdot X^{a_2}\]
Dönüşüm adımları: \[\log(Y) = \log\!\left(a_1 X^{a_2}\right) = \log(a_1) + a_2 \log(X)\]
Lineer format: \(Y^{*} = \log(Y)\), \(a_1^{*} = \log(a_1)\) ve \(X^{*} = \log(X)\) dersek model doğrusallaşır: \[Y^{*} = a_1^{*} + a_2 X^{*}\]
Dikkat: bu modelde yalnızca \(Y\) değil, \(X\) de dönüştürülür.
3. Rasyonel (Ters) Model
Bağımlı ve bağımsız değişkenlerin bir oran ilişkisi içinde olduğu modeldir. Doğrusallaştırmak için eşitliğin her iki tarafının çarpmaya göre tersi alınır.
Genel denklem: \[Y = \frac{a_1 X}{b_1 + X}\]
Dönüşüm adımları: \[\frac{1}{Y} = \frac{b_1 + X}{a_1 X} = \frac{b_1}{a_1 X} + \frac{X}{a_1 X} = \left(\frac{b_1}{a_1}\right)\frac{1}{X} + \frac{1}{a_1}\]
Lineer format: \(Y^{*} = \tfrac{1}{Y}\) ve \(X^{*} = \tfrac{1}{X}\) dersek denklem doğrusallaşır: \[Y^{*} = C X^{*} + D, \qquad C = \frac{b_1}{a_1}, \quad D = \frac{1}{a_1}\]
4.2 ⚙️ Adım Adım Çözüm Algoritması
- Modeli dönüştür. Verilen modeli logaritma veya ters alma işlemiyle \(Y^{*} = c^{*} + a X^{*}\) formatına getir.
- Tabloyu güncelle. Orijinal değerleri değil, dönüştürülmüş yıldızlı değerleri hesaplayarak yeni bir tablo oluştur.
- Normal denklemleri yaz. Yıldızlı değişkenlere göre Gauss normal denklemlerini kur.
- Denklemi çöz. Tablodaki toplamları yerine koyup bilinmeyen katsayıları bul.
- Orijinal formata dön. Bulduğun geçici katsayıları ters işlemle asıl sabitlere çevir ve modeli yaz.
4.3 📝 Çözümlü Uygulama
Örnek 4.1 Aşağıdaki verilere en uygun \(\hat{Y} = c \cdot e^{aX}\) üstel regresyon eğrisini, en küçük kareler yöntemiyle uydurunuz.
| \(X\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) | \(4\) |
|---|---|---|---|---|---|
| \(Y\) | \(1{,}5\) | \(2{,}5\) | \(3{,}5\) | \(5{,}0\) | \(7{,}5\) |
1. Modelin lineerleştirilmesi.
\(Y = c e^{aX}\) denkleminin her iki tarafının doğal logaritmasını alıyoruz:
\[\ln(Y) = \ln(c) + aX \implies Y^{*} = c^{*} + aX\]
2. Tablonun oluşturulması (\(n = 5\)).
Hesaplamalarda \(Y\) yerine dönüştürülmüş değişken \(Y^{*} = \ln(Y)\) kullanılacaktır. Değerler virgülden sonra beş basamağa yuvarlanmıştır.
| \(X_i\) | \(Y_i\) | \(Y^{*}_i = \ln(Y_i)\) | \(X_i^2\) | \(X_i Y^{*}_i\) |
|---|---|---|---|---|
| \(0\) | \(1{,}5\) | \(0{,}40547\) | \(0\) | \(0{,}00000\) |
| \(1\) | \(2{,}5\) | \(0{,}91629\) | \(1\) | \(0{,}91629\) |
| \(2\) | \(3{,}5\) | \(1{,}25276\) | \(4\) | \(2{,}50552\) |
| \(3\) | \(5{,}0\) | \(1{,}60944\) | \(9\) | \(4{,}82832\) |
| \(4\) | \(7{,}5\) | \(2{,}01490\) | \(16\) | \(8{,}05960\) |
| Toplam | \(\mathbf{6{,}19886}\) | \(\mathbf{30}\) | \(\mathbf{16{,}30973}\) |
Ayrıca \(\sum X_i = 10\)’dur.
3. Gauss normal denklemlerinin kurulması.
Doğrusal formumuz \(Y^{*} = c^{*} + aX\) için normal denklemler:
\[6{,}19886 = 5c^{*} + 10a \tag{1}\] \[16{,}30973 = 10c^{*} + 30a \tag{2}\]
4. Denklemin çözülmesi.
\(c^{*}\) terimlerini yok etmek için birinci denklemi \(-2\) ile çarpıp ikinciye ekleyelim:
\[-12{,}39772 = -10c^{*} - 20a\]
Taraf tarafa topladığımızda:
\[3{,}91201 = 10a \implies a = 0{,}39120\]
Bulduğumuz \(a\) değerini birinci denklemde yerine koyalım:
\[6{,}19886 = 5c^{*} + 3{,}91201 \implies 5c^{*} = 2{,}28685 \implies c^{*} = 0{,}45737\]
5. Orijinal katsayıya dönüş.
\(c^{*} = \ln(c)\) olduğundan, \(c\)’yi bulmak için ters işlem uygularız:
\[c = e^{c^{*}} = e^{0{,}45737} \approx 1{,}5799\]
Sonuç: Elde ettiğimiz değerleri orijinal üstel denklemde yerine koyarsak regresyon modelimiz
\[\hat{Y} = 1{,}5799 \cdot e^{0{,}3912 X}\]
olur.
Kontrol: \(X = 4\) için \(\hat{Y} = 1{,}5799 \cdot e^{1{,}5648} \approx 1{,}5799 \cdot 4{,}782 \approx 7{,}56\) — gözlenen \(7{,}5\) değerine oldukça yakındır.
\(\boxtimes\)