7 Hareketli Ortalamalar Metodu (Tek ve İki Katlı)
Zaman serilerinde veriler bazen rastgele ve anlık dalgalanmalar (gürültü) gösterir. Bu anlık zıplama ve düşüşleri yumuşatıp serinin asıl gidişatını görmek için hareketli ortalamalar metodu kullanılır. Yöntemin temel mantığı, geçmişteki belirli sayıda periyodun ortalamasını alarak geleceği tahmin etmektir.
Zaman serisinde trend (istikrarlı büyüme veya küçülme) olup olmamasına göre yöntem ikiye ayrılır: tek katlı ve iki katlı hareketli ortalamalar.
7.1 1. Tek Katlı Hareketli Ortalamalar (Trend Yoksa)
Verilerde zamanla sürekli artan veya azalan bir trend yoksa, geçmiş \(n\) dönemin basit aritmetik ortalaması alınarak bir sonraki periyot tahmin edilir. Zaman ilerledikçe en eski veri hesaplamadan çıkarılır ve en yeni veri dâhil edilir; bu yüzden ortalama “hareket eder”.
Tanım 7.1 (Tek Katlı Hareketli Ortalama) \(n\) periyotluk tek katlı hareketli ortalama, \(t\) zamanı dâhil olmak üzere geçmiş \(n\) adet gerçek değerin ortalamasıdır:
\[\mu_t = \frac{Y_t + Y_{t-1} + Y_{t-2} + \dots + Y_{t-n+1}}{n}\]
Bir sonraki periyodun tahmini değeri bu ortalamaya eşittir:
\[\hat{Y}_{t+1} = \mu_t\]
Burada \(n\), hareketli ortalamanın hesaplanacağı geçmiş periyot sayısını ifade eder.
Bazı kaynaklarda formülün pay kısmında \(Y_{t+1}\) (gelecek zaman) ifadesinin yer aldığı hatalı yazımlar görülebilir. Bir model, geleceği tahmin etmek için gelecekteki veriyi kullanamaz.
Doğru hesaplama, içinde bulunduğumuz \(t\) anından geriye doğru giderek tam \(n\) adet terimi toplamaktır.
Örnek 7.1 Aşağıdaki zaman serisi için üç aylık (\(n = 3\)) tek katlı hareketli ortalamaları hesaplayarak 6. ay için tahmini değeri bulunuz.
| \(t\) (ay) | \(1\) | \(2\) | \(3\) | \(4\) | \(5\) |
|---|---|---|---|---|---|
| \(Y_t\) | \(12\) | \(15\) | \(18\) | \(14\) | \(16\) |
Periyot sayımız \(n = 3\) olduğu için ortalama almaya ancak 3. aydan itibaren başlayabiliriz:
\[ \begin{aligned} \mu_3 &= \frac{12 + 15 + 18}{3} = 15{,}00 &&\implies \hat{Y}_4 = 15{,}00 \\ \mu_4 &= \frac{15 + 18 + 14}{3} \approx 15{,}67 &&\implies \hat{Y}_5 = 15{,}67 \\ \mu_5 &= \frac{18 + 14 + 16}{3} = 16{,}00 &&\implies \hat{Y}_6 = 16{,}00 \end{aligned} \]
Tablo hâlinde:
| \(t\) | \(Y_t\) | \(\mu_t\) (hareketli ortalama) | \(\hat{Y}_t\) (tahmin) |
|---|---|---|---|
| \(1\) | \(12\) | — | — |
| \(2\) | \(15\) | — | — |
| \(3\) | \(18\) | \(15{,}00\) | — |
| \(4\) | \(14\) | \(15{,}67\) | \(15{,}00\) |
| \(5\) | \(16\) | \(16{,}00\) | \(15{,}67\) |
| \(6\) | — | — | \(\mathbf{16{,}00}\) |
Sonuç: 5. aydaki ortalamayı kullanarak 6. ayın tahmini değerini \(\hat{Y}_6 = 16{,}00\) olarak buluruz.
\(\boxtimes\)
7.2 2. İki Katlı Hareketli Ortalamalar (Trend Varsa)
Verilerde sürekli bir artış veya azalış varken tek katlı ortalama kullanırsak, tahminlerimiz her zaman gerçek değerlerin gerisinde kalır. Trendi yakalamak için hareketli ortalamanın da hareketli ortalamasını alır ve bunu doğrusal bir denkleme çeviririz.
Tanım 7.2 (İki Katlı Hareketli Ortalama Formülleri) İki katlı metot uygulanırken dört aşamalı bir model kurulur.
1. Birinci ortalama. Standart tek katlı ortalamadır: \[\mu_t = \frac{Y_t + Y_{t-1} + \dots + Y_{t-n+1}}{n}\]
2. İkinci ortalama. Birinci ortalamaların kendi içindeki ortalamasıdır: \[\mu'_t = \frac{\mu_t + \mu_{t-1} + \dots + \mu_{t-n+1}}{n}\]
3. Düzeltme katsayıları. Gecikmeyi telafi eden doğru denkleminin bileşenleridir: \[a_t = 2\mu_t - \mu'_t, \qquad b_t = \frac{2}{n-1}\left(\mu_t - \mu'_t\right)\]
4. Tahmin denklemi. \(t\) anında dururken \(p\) periyot sonrası için: \[\hat{Y}_{t+p} = a_t + p \cdot b_t\]
Burada \(n\) hareketli ortalama periyodunu, \(p\) ise kaç periyot sonrasının tahmin edileceğini ifade eder.
Örnek 7.2 Aşağıda belirgin bir yükseliş trendi gösteren veriler için üç aylık (\(n = 3\)) hareketli ortalama periyodu kullanarak 6. ve 7. aylar için tahmini değerleri hesaplayınız.
| \(t\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) | \(4\) | \(5\) |
|---|---|---|---|---|---|
| \(Y_t\) | \(10\) | \(14\) | \(21\) | \(29\) | \(34\) |
Tahmin yapabilmek için en son an olan \(t = 5\) periyodu için düzeltme katsayılarını bulmamız gerekir.
1. Birinci ortalamalar. \(n = 3\) ile \(t = 3\)’ten itibaren hesaplanır:
\[\mu_3 = \frac{10+14+21}{3} = 15{,}00, \quad \mu_4 = \frac{14+21+29}{3} \approx 21{,}33, \quad \mu_5 = \frac{21+29+34}{3} = 28{,}00\]
2. İkinci ortalama. Elimizde üç adet \(\mu_t\) biriktiğinde, yani \(t = 5\) anında hesaplanabilir:
\[\mu'_5 = \frac{15{,}00 + 21{,}33 + 28{,}00}{3} \approx 21{,}44\]
Tablo hâlinde:
| \(t\) | \(Y_t\) | \(\mu_t\) | \(\mu'_t\) | \(a_t\) | \(b_t\) |
|---|---|---|---|---|---|
| \(1\) | \(10\) | — | — | — | — |
| \(2\) | \(14\) | — | — | — | — |
| \(3\) | \(21\) | \(15{,}00\) | — | — | — |
| \(4\) | \(29\) | \(21{,}33\) | — | — | — |
| \(5\) | \(34\) | \(28{,}00\) | \(21{,}44\) | \(\mathbf{34{,}56}\) | \(\mathbf{6{,}56}\) |
3. Düzeltme katsayılarının hesaplanması.
\[ \begin{aligned} a_5 &= 2\mu_5 - \mu'_5 = 2(28) - 21{,}44 = 34{,}56 \\ b_5 &= \frac{2}{n-1}\left(\mu_5 - \mu'_5\right) = \frac{2}{2}(28 - 21{,}44) = 6{,}56 \end{aligned} \]
4. Gelecek periyotların tahmini.
Tahmin denklemimiz \(\hat{Y}_{5+p} = 34{,}56 + p \cdot 6{,}56\) olarak şekillendi:
- 6. ay (\(p = 1\)): \(\hat{Y}_6 = 34{,}56 + 6{,}56 = 41{,}12\)
- 7. ay (\(p = 2\)): \(\hat{Y}_7 = 34{,}56 + 2(6{,}56) = 47{,}68\)
Dikkat ederseniz trend eğilimi korunmuş ve gelecek aylardaki tahminler düzenli biçimde artmaya devam etmiştir. Tek katlı yöntem kullanılsaydı 6. ay tahmini \(28{,}00\) olacak, yani gerçek eğilimin epey gerisinde kalacaktı.
\(\boxtimes\)