6 Tabii Model, Trend ve Mevsimsellik Analizi
Zaman serisi, belirli aralıklarla gözlemlenen ve kronolojik olarak sıralanmış veriler dizisidir. Geleceği tahmin etmek için karmaşık istatistiksel modellere geçmeden önce başvurulan en temel yaklaşım tabii model (naive model) yaklaşımıdır.
Tabii model, gelecekteki değerin doğrudan geçmişteki son duruma veya belirli bir örüntüye eşit olacağını varsayar. Bu modeli kurarken serinin içinde trend (sürekli eğilim) veya mevsimsellik (periyodik dalgalanma) olup olmadığı mutlaka analiz edilmelidir.
6.1 1. Trend ve Mevsimsellik Yoksa (Sabit Model)
Zaman serisinde belirgin bir artış/azalış veya periyodik dalgalanma yoksa, bir sonraki periyodun tahmini değeri gerçekleşen son periyodun değerine eşittir.
Tanım 6.1 (Sabit Tabii Model) Zaman serisinde trend ve mevsimsellik gözlenmediğinde tahmini değer, bir önceki gerçek değere eşittir:
\[\hat{Y}_{t+1} = Y_t\]
Örnek 6.1 Aşağıda verilen zaman serisinde trend ve mevsimsellik bulunmamaktadır. Tabii model kullanarak tahmini değerleri hesaplayınız.
| \(t\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) | \(4\) | \(5\) |
|---|---|---|---|---|---|
| \(Y_t\) | \(10\) | \(15\) | \(14\) | \(13\) | \(14\) |
Modelimiz \(\hat{Y}_{t+1} = Y_t\) olduğundan her tahmin, kendisinden bir önceki gerçek değere eşit olacaktır. İlk periyot için geçmiş veri olmadığından tahmin yapılamaz.
| \(t\) | \(Y_t\) | \(\hat{Y}_t\) |
|---|---|---|
| \(1\) | \(10\) | — |
| \(2\) | \(15\) | \(10\) |
| \(3\) | \(14\) | \(15\) |
| \(4\) | \(13\) | \(14\) |
| \(5\) | \(14\) | \(13\) |
| \(6\) | — | \(\mathbf{14}\) |
Son satır, gelecek periyot için yapılan tahmindir: \(\hat{Y}_6 = Y_5 = 14\).
\(\boxtimes\)
6.2 2. Sadece Trend Varsa
Zaman serisinde istikrarlı bir büyüme ya da küçülme varsa buna trend denir. Sabit model bu durumda yetersiz kalır; çünkü sürekli artan bir seride gelecekteki değerin dünkü değere eşit olmasını beklemek bizi daima eksik tahmine götürür.
Tanım 6.2 (Trend İçeren Tabii Model) Trend içeren bir seride tahmini değer; son gerçekleşen değere, son iki periyot arasındaki değişim miktarının eklenmesiyle bulunur:
\[\hat{Y}_{t+1} = Y_t + (Y_t - Y_{t-1})\]
Örnek 6.2 Aşağıda verilen ve istikrarlı bir artış sergileyen veri kümesi için tahmini değerleri bulunuz.
| \(t\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) | \(4\) | \(5\) |
|---|---|---|---|---|---|
| \(Y_t\) | \(6\) | \(8\) | \(11\) | \(13\) | \(15\) |
Tahmin yapabilmek için geriye dönük en az iki gerçek değere ihtiyacımız olduğundan hesaplamalar \(t = 3\)’ten başlar:
\[ \begin{aligned} \hat{Y}_3 &= Y_2 + (Y_2 - Y_1) = 8 + (8-6) = 10 \\ \hat{Y}_4 &= Y_3 + (Y_3 - Y_2) = 11 + (11-8) = 14 \\ \hat{Y}_5 &= Y_4 + (Y_4 - Y_3) = 13 + (13-11) = 15 \\ \hat{Y}_6 &= Y_5 + (Y_5 - Y_4) = 15 + (15-13) = 17 \end{aligned} \]
| \(t\) | \(Y_t\) | \(\hat{Y}_t\) |
|---|---|---|
| \(1\) | \(6\) | — |
| \(2\) | \(8\) | — |
| \(3\) | \(11\) | \(10\) |
| \(4\) | \(13\) | \(14\) |
| \(5\) | \(15\) | \(15\) |
| \(6\) | — | \(\mathbf{17}\) |
\(\boxtimes\)
6.3 3. Sadece Mevsimsellik Varsa
Zaman serisinde belirli periyotlarla düzenli bir dalgalanma varsa buna mevsimsellik denir. Mevsimselliği tespit etmek için verilerin en az birkaç devir boyunca karşılaştırılması gerekir.
Mevsimsel serilerde tahmini değer, bir önceki periyoda değil tam bir devir önceki aynı periyoda ait değere eşit alınır. Veriler dört çeyreklik (\(s = 4\)) dönemler hâlinde veriliyorsa:
\[\hat{Y}_{t+1} = Y_{t-3}\]
Yani sonraki tahmin, mevcut \(t\)’den üç periyot geriye gidilerek —tam dört periyot önceki aynı döneme— eşitlenir.
Örnek 6.3 Aşağıda bir işletmenin iki yıllık çeyreklik (\(s = 4\)) veri seti verilmiştir. Verilerde belirgin bir büyüme yoktur, ancak her yılın aynı çeyreklerinde benzer satış dalgalanmaları yaşanmaktadır. Tabii model kullanarak 3. yılın tüm çeyrekleri için tahmini değerleri bulunuz.
| Yıl | 1. çeyrek | 2. çeyrek | 3. çeyrek | 4. çeyrek |
|---|---|---|---|---|
| 1. yıl | \(10\ (Y_1)\) | \(50\ (Y_2)\) | \(40\ (Y_3)\) | \(15\ (Y_4)\) |
| 2. yıl | \(10\ (Y_5)\) | \(50\ (Y_6)\) | \(40\ (Y_7)\) | \(15\ (Y_8)\) |
Yalnızca mevsimsellik olduğu için her çeyreğin tahmini değeri, tam bir yıl (dört periyot) önceki aynı çeyreğin değerine eşit olacaktır:
\[ \begin{aligned} \hat{Y}_9 &= Y_5 = 10 &&\text{(3. yıl 1. çeyrek)} \\ \hat{Y}_{10} &= Y_6 = 50 &&\text{(3. yıl 2. çeyrek)} \\ \hat{Y}_{11} &= Y_7 = 40 &&\text{(3. yıl 3. çeyrek)} \\ \hat{Y}_{12} &= Y_8 = 15 &&\text{(3. yıl 4. çeyrek)} \end{aligned} \]
| \(t\) (3. yıl) | Gerçekleşen \(Y_t\) | Tahmin \(\hat{Y}_t\) |
|---|---|---|
| \(9\) (1. çeyrek) | — | \(10\) |
| \(10\) (2. çeyrek) | — | \(50\) |
| \(11\) (3. çeyrek) | — | \(40\) |
| \(12\) (4. çeyrek) | — | \(15\) |
\(\boxtimes\)
6.4 4. Hem Trend Hem Mevsimsellik Varsa
Zaman serisi hem periyodik dalgalanma gösteriyor hem de genel bir artış eğiliminde ilerliyorsa, her iki etkiyi de formüle aynı anda dâhil etmemiz gerekir.
Tanım 6.3 (Trend ve Mevsimsellik İçeren Tabii Model) Bu modelde tahmini değer; tam bir devir önceki aynı dönemin değerine, son devir boyunca gerçekleşen ortalama periyot trendinin eklenmesiyle bulunur. Dönem sayısı \(s = 4\) varsayımıyla uzun formül:
\[\hat{Y}_{t+1} = Y_{t-3} + \frac{(Y_t - Y_{t-1}) + (Y_{t-1} - Y_{t-2}) + (Y_{t-2} - Y_{t-3}) + (Y_{t-3} - Y_{t-4})}{4}\]
Paydaki ara terimler birbirini götürdüğünden (teleskopik toplam) formül şu sade hâline dönüşür:
\[\hat{Y}_{t+1} = Y_{t-3} + \frac{Y_t - Y_{t-4}}{4}\]
Paydaki uzun toplam, ardışık periyotlar arasındaki değişim miktarlarının toplanmasıdır. Ara değerler birbirini sıfırladığı için geriye yalnızca son gerçekleşen değer ile tam bir devir önceki değer arasındaki net fark kalır.
Bu net fark, periyot sayısına bölünerek ortalama büyüme adımı bulunur ve geçmişteki mevsimsel ana değere eklenerek tahmin yapılır.
Örnek 6.4 Aşağıdaki tabloda üç yıla ait çeyreklik (\(s = 4\)) veriler sırasıyla verilmiştir. Verilerde hem mevsimsellik hem de yıllar geçtikçe sürekli bir artış görülmektedir. Buna göre 2003 yılının ilk periyodu (\(t = 13\)) için tahmini değeri bulunuz.
| Yıl | 1. çeyrek | 2. çeyrek | 3. çeyrek | 4. çeyrek |
|---|---|---|---|---|
| 2000 | \(10\ (Y_1)\) | \(20\ (Y_2)\) | \(15\ (Y_3)\) | \(17\ (Y_4)\) |
| 2001 | \(18\ (Y_5)\) | \(29\ (Y_6)\) | \(21\ (Y_7)\) | \(22\ (Y_8)\) |
| 2002 | \(25\ (Y_9)\) | \(30\ (Y_{10})\) | \(33\ (Y_{11})\) | \(34\ (Y_{12})\) |
Bizden istenen \(t = 13\) tahminidir. Formülde \(\hat{Y}_{t+1}\) ifadesi bulunduğundan, \(t + 1 = 13\) için formülü \(t = 12\) referansına göre kurmalıyız.
Sadeleştirilmiş formülü kullanalım:
\[\hat{Y}_{13} = Y_{9} + \frac{Y_{12} - Y_{8}}{4}\]
Buradaki \(Y_9\) değeri, tam bir yıl önceki (2002) birinci çeyrek değeridir. Tablodan gerekli değerleri alalım: \(Y_{12} = 34\), \(Y_9 = 25\), \(Y_8 = 22\).
\[ \begin{aligned} \hat{Y}_{13} &= 25 + \frac{34 - 22}{4} \\[0.4em] &= 25 + \frac{12}{4} \\[0.4em] &= 25 + 3 = 28 \end{aligned} \]
Sonuç: Uzun uzun ara farkları hesaplamaya gerek kalmadan, doğrudan sadeleşmiş formül üzerinden 2003 yılının ilk çeyreği için tabii model tahmini \(\hat{Y}_{13} = 28\) olarak bulunmuştur.
\(\boxtimes\)