viewof dktRiemannControls = Inputs.form({
m: Inputs.range([1, 20], { value: 2, step: 1, label: "m" }),
n: Inputs.range([1, 20], { value: 2, step: 1, label: "n" }),
rule: Inputs.radio(["upper-right", "midpoint"], { value: "upper-right", label: "örnek nokta", format: (key) => (key === "upper-right" ? "sağ üst köşe" : "merkez") })
})1 Dikdörtgen Bölgelerde İki Katlı İntegraller
Tek değişkenli analizde bir eğrinin altındaki alanı bulma problemi bizi belirli integrale götürmüştü: aralığı küçük parçalara böler, her parçanın üstüne bir dikdörtgen diker, alanları toplar ve parçalar küçülürken limite geçeriz. Bu bölümde aynı fikri bir boyut yukarı taşıyoruz. Bir dikdörtgenin üstünde ve bir yüzeyin altında kalan cismin hacmini ararken dikdörtgeni küçük dikdörtgenlere böleceğiz, her birinin üstüne ince bir kutu dikeceğiz ve kutuların hacimlerini toplayacağız. Bu toplamların limiti iki katlı integraldir.
Tanımdan integral hesaplamak çoğu zaman çok zahmetlidir. Tek değişkende bu yükü Analizin Temel Teoremi kaldırmıştı. İki değişkende aynı rolü Fubini Teoremi oynar: iki katlı integral, art arda alınan iki tek katlı integrale eşittir. Bölümü, bir fonksiyonun bir dikdörtgen üzerindeki ortalama değerini tanımlayarak bitireceğiz.
1.1 Belirli İntegrali Hatırlayalım
İki katlı integrali kurarken izleyeceğimiz yol, tek değişkenli belirli integralin kuruluşunun aynısıdır; bu yüzden o kuruluşu kısaca hatırlayalım.
\(f\), \([a, b]\) aralığında tanımlı olsun. Aralığı genişliği \(\Delta x = (b - a)/n\) olan \(n\) eş \([x_{i-1}, x_i]\) alt aralığına böler ve her alt aralıktan bir \(x_i^*\) örnek noktası seçeriz. Bu seçimle kurulan
\[\sum_{i=1}^{n} f(x_i^*)\,\Delta x\]
toplamı bir Riemann toplamıdır (bkz. Analiz 2). \(n \to \infty\) iken bu toplamların limiti belirli integraldir:
\[\int_a^b f(x)\,dx = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n} f(x_i^*)\,\Delta x.\]
\(f(x) \ge 0\) ise Riemann toplamı, yüksekliği \(f(x_i^*)\) ve genişliği \(\Delta x\) olan dikdörtgenlerin alanları toplamıdır; integral ise \(y = f(x)\) eğrisinin altında, \(a\) ile \(b\) arasında kalan alandır. Şimdi aralığın yerine bir dikdörtgen, dikdörtgenlerin yerine de kutular koyacağız.
1.2 Hacim Problemi ve İki Katlı İntegral
Bir yüzeyin altındaki hacmi, kutuların hacimlerini toplayarak yaklaşık hesaplamakla işe başlıyoruz.
İki değişkenli bir \(f\) fonksiyonu kapalı
\[R = [a, b] \times [c, d] = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid a \le x \le b,\ c \le y \le d\}\]
dikdörtgeninde tanımlı olsun ve önce \(f(x, y) \ge 0\) olduğunu varsayalım. \(f\)’nin grafiği \(z = f(x, y)\) denklemli bir yüzeydir. \(R\)’nin üstünde ve bu yüzeyin altında kalan
\[S = \{(x, y, z) \in \mathbb{R}^3 \mid 0 \le z \le f(x, y),\ (x, y) \in R\}\]
cisminin hacmini bulmak istiyoruz.
İlk adım \(R\)’yi parçalamaktır. \([a, b]\) aralığını genişliği \(\Delta x = (b - a)/m\) olan \(m\) eş \([x_{i-1}, x_i]\) alt aralığına, \([c, d]\) aralığını da genişliği \(\Delta y = (d - c)/n\) olan \(n\) eş \([y_{j-1}, y_j]\) alt aralığına bölelim. Bölüm noktalarından eksenlere paralel doğrular çizince \(R\),
\[R_{ij} = [x_{i-1}, x_i] \times [y_{j-1}, y_j] \qquad (1 \le i \le m,\ 1 \le j \le n)\]
biçimindeki \(mn\) tane alt dikdörtgene ayrılır. Her alt dikdörtgenin alanı \(\Delta A = \Delta x\,\Delta y\)’dir.
Her \(R_{ij}\) içinden bir \((x_{ij}^*, y_{ij}^*)\) örnek noktası seçelim. \(S\)’nin \(R_{ij}\) üzerindeki ince parçasını, tabanı \(R_{ij}\) ve yüksekliği \(f(x_{ij}^*, y_{ij}^*)\) olan bir kutuyla (sütunla) değiştirebiliriz. Bu kutunun hacmi taban alanı ile yüksekliğin çarpımıdır: \(f(x_{ij}^*, y_{ij}^*)\,\Delta A\). Bütün kutuların hacimlerini toplarsak \(S\)’nin hacmi için
\[V \approx \sum_{i=1}^{m} \sum_{j=1}^{n} f(x_{ij}^*, y_{ij}^*)\,\Delta A\]
yaklaşımını elde ederiz.
Tanım 1.1 (İki Katlı Riemann Toplamı) \(f\), \(R = [a, b] \times [c, d]\) dikdörtgeninde tanımlı olsun. \(R\), yukarıdaki gibi alanı \(\Delta A\) olan \(mn\) tane \(R_{ij}\) alt dikdörtgenine bölünsün ve her \(R_{ij}\) içinden bir \((x_{ij}^*, y_{ij}^*)\) örnek noktası seçilsin.
\[\sum_{i=1}^{m} \sum_{j=1}^{n} f(x_{ij}^*, y_{ij}^*)\,\Delta A\]
toplamına \(f\)’nin bu bölünüşe ve bu örnek noktalara karşılık gelen iki katlı Riemann toplamı (double Riemann sum) denir.
Yani her alt dikdörtgende \(f\)’yi seçtiğimiz noktada hesaplar, sonucu alt dikdörtgenin alanıyla çarpar ve elde edilen \(mn\) tane sayıyı toplarız. Tek değişkenli Riemann toplamıyla benzerlik açıktır: \(\Delta x\) uzunluğunun yerini \(\Delta A\) alanı, tek toplamın yerini iki katlı toplam almıştır. \(f\) pozitifse iki katlı Riemann toplamı, aşağıdaki gibi kutuların hacimleri toplamıdır.
Bölünüş inceldikçe kutular cismi daha iyi doldurur. Bu yüzden \(m\) ve \(n\) birlikte büyürken Riemann toplamlarının \(S\)’nin hacmine yaklaşmasını bekleriz. Bu tür limitler yalnız hacim hesabında değil, ilerideki bölümlerde kütle, moment ve olasılık hesaplarında da, üstelik \(f\) pozitif olmadığında da karşımıza çıkar. Bu yüzden limiti her fonksiyon için tanımlıyoruz.
Tanım 1.2 (Dikdörtgende İki Katlı İntegral) \(f\), \(R = [a, b] \times [c, d]\) dikdörtgeninde tanımlı olsun. Aşağıdaki koşulu sağlayan bir \(I\) sayısı varsa \(f\)’ye \(R\) üzerinde integrallenebilir (integrable) denir: her \(\varepsilon > 0\) için öyle bir \(N\) vardır ki \(m, n > N\) olan her bölünüşte ve örnek noktalar \(R_{ij}\) içinden nasıl seçilirse seçilsin
\[\left| \sum_{i=1}^{m} \sum_{j=1}^{n} f(x_{ij}^*, y_{ij}^*)\,\Delta A - I \right| < \varepsilon\]
olur. Bu durumda \(I\) sayısına \(f\)’nin \(R\) üzerindeki iki katlı integrali (double integral) denir ve
\[\iint_R f(x, y)\,dA = \lim_{m, n \to \infty} \sum_{i=1}^{m} \sum_{j=1}^{n} f(x_{ij}^*, y_{ij}^*)\,\Delta A\]
yazılır.
Yani iki katlı integral, bölünüş inceldikçe iki katlı Riemann toplamlarının yaklaştığı sayıdır ve bu sayı örnek noktaların seçimine bağlı değildir. \(dA\) simgesi “küçük alan parçası” diye okunur; tek değişkendeki \(dx\)’in karşılığıdır.
Tanımla ilgili iki küçük not düşelim:
- Alt dikdörtgenlerin eşit boyutta olması şart değildir. Farklı boyutlu alt dikdörtgenler de kullanılabilir; yeter ki limitte hepsinin kenar uzunlukları \(0\)’a gitsin. Eşit bölünüş yalnız hesapları sadeleştirir.
- Örnek noktayı her \(R_{ij}\)’nin sağ üst köşesi \((x_i, y_j)\) olarak seçersek formül daha sade görünür:
\[\iint_R f(x, y)\,dA = \lim_{m, n \to \infty} \sum_{i=1}^{m} \sum_{j=1}^{n} f(x_i, y_j)\,\Delta A.\]
\(f \ge 0\) olduğunda kutularla yaptığımız yaklaşımın limiti olan bu sayıyı cismin hacmi olarak tanımlarız.
Tanım 1.3 (Yüzeyin Altındaki Hacim) \(f\), \(R\) üzerinde integrallenebilir ve her \((x, y) \in R\) için \(f(x, y) \ge 0\) olsun. \(R\) dikdörtgeninin üstünde ve \(z = f(x, y)\) yüzeyinin altında kalan cismin hacmi
\[V = \iint_R f(x, y)\,dA\]
sayısıdır.
Yani pozitif bir fonksiyonun iki katlı integrali, grafiğinin altındaki hacimdir. Bu tanım, tek değişkenli analizdeki dilim yöntemiyle (bkz. Analiz 2) bulunan hacimle uyumludur; bunu Fubini Teoremi’nin ardından göreceğiz.
Peki hangi fonksiyonlar integrallenebilir? Uygulamada karşılaşacağımız fonksiyonların hemen hepsi.
Teorem 1.1 (Hangi Fonksiyonlar İntegrallenebilir) \(R = [a, b] \times [c, d]\) olsun.
(i) \(R\) üzerinde sürekli her fonksiyon \(R\) üzerinde integrallenebilir.
(ii) Daha genel olarak, \(R\) üzerinde sınırlı olan (yani her \((x, y) \in R\) için \(|f(x, y)| \le M\) olacak biçimde bir \(M\) sabiti bulunan) ve sonlu sayıda düzgün eğri dışında sürekli olan her \(f\) fonksiyonu \(R\) üzerinde integrallenebilir.
İspatın fikri
(i) Kapalı ve sınırlı \(R\) üzerinde sürekli olan \(f\) düzgün süreklidir (bkz. Analiz 4). Buna göre her \(\varepsilon > 0\) için alt dikdörtgenler yeterince küçük seçildiğinde \(f\)’nin her \(R_{ij}\) içindeki değerleri birbirinden \(\varepsilon\)’dan az farklıdır. Aynı bölünüşte iki farklı örnek nokta seçimiyle kurulan iki Riemann toplamının farkı bu yüzden en çok
\[\sum_{i=1}^{m} \sum_{j=1}^{n} \varepsilon\,\Delta A = \varepsilon\,(b - a)(d - c)\]
olur. İki farklı ince bölünüşün toplamları ise ikisinin ortak inceltmesine (bütün bölüm noktalarını birlikte kullanan bölünüşe) ait bir toplamla karşılaştırılır ve onlar da birbirine yakın çıkar. Bölünüş inceldikçe bütün Riemann toplamları birbirine yaklaştığından ortak bir limitleri vardır.
(ii) Önce her süreksizlik eğrisinin, toplam alanı istendiği kadar küçük olan karelerle örtülebildiğini görelim. Eğri, türevi sürekli olan bir \(\mathbf{r}(t) = x(t)\,\mathbf{i} + y(t)\,\mathbf{j}\), \(\alpha \le t \le \beta\) parametrizasyonuyla verilsin. \(x'\) ve \(y'\) kapalı ve sınırlı bir aralıkta sürekli olduklarından sınırlıdır: bir \(L\) sabiti için her \(t\)’de \(|x'(t)| \le L\) ve \(|y'(t)| \le L\) olur. Ortalama Değer Teoremi’nden (bkz. Analiz 2) \(|x(t) - x(s)| \le L\,|t - s|\) ve \(|y(t) - y(s)| \le L\,|t - s|\) elde edilir. \([\alpha, \beta]\) aralığını \(k\) eş parçaya bölelim. Her parçada \(|t - s| \le (\beta - \alpha)/k\) olduğundan eğrinin o parçası, kenarı \(L(\beta - \alpha)/k\) olan bir karenin içinde kalır. Bu \(k\) karenin toplam alanı
\[k \left( \frac{L(\beta - \alpha)}{k} \right)^2 = \frac{L^2 (\beta - \alpha)^2}{k}\]
olur ve \(k\) büyüdükçe \(0\)’a gider. Bölünüş yeterince ince seçildiğinde bu karelere değen alt dikdörtgenlerin toplam alanı da istendiği kadar küçük olur. Bu dikdörtgenlerdeki katkı en çok \(2M\) ile bu küçük alanın çarpımı kadar değişebilir, geri kalan dikdörtgenlerde ise (i)’deki akıl yürütme işler.
“Birbirine yaklaşan toplamların ortak bir limiti vardır” adımı ise gerçel sayıların tamlığına dayanan Cauchy ölçütünü gerektirir; bu adımın ayrıntısı ileri analizin konusudur. \(\blacksquare\)
Örnek 1.1 (Dört Kutuyla Hacim Tahmini) \(R = [0, 2] \times [0, 2]\) karesinin üstünde ve \(z = 16 - x^2 - 2y^2\) eliptik paraboloidinin altında kalan cismin hacmini tahmin ediniz. Bunun için \(R\)’yi dört eş kareye bölünüz ve her karenin sağ üst köşesini örnek nokta olarak alınız.
Çözüm
\(R\)’yi dört eş kareye bölmek, \(m = n = 2\) almak demektir. O zaman \(\Delta x = \Delta y = 1\) ve her karenin alanı \(\Delta A = 1\)’dir. Karelerin sağ üst köşeleri \((1, 1)\), \((1, 2)\), \((2, 1)\) ve \((2, 2)\) noktalarıdır. \(f(x, y) = 16 - x^2 - 2y^2\) için
\[ \begin{aligned} V &\approx \sum_{i=1}^{2} \sum_{j=1}^{2} f(x_i, y_j)\,\Delta A \\[1mm] &= f(1, 1)\,\Delta A + f(1, 2)\,\Delta A + f(2, 1)\,\Delta A + f(2, 2)\,\Delta A \\[1mm] &= 13 \cdot 1 + 7 \cdot 1 + 10 \cdot 1 + 4 \cdot 1 = 34 \end{aligned} \]
bulunur. Bu sayı, aşağıda paraboloidin altına çizilen dört kutunun toplam hacmidir.
\(\blacksquare\)
Kare sayısını artırdıkça tahminler iyileşir. Aynı yöntemle (sağ üst köşeler) elde edilen değerler şunlardır:
| \(m = n\) | \(2\) | \(4\) | \(8\) | \(16\) |
|---|---|---|---|---|
| Kare sayısı | \(4\) | \(16\) | \(64\) | \(256\) |
| Tahmin | \(34\) | \(41{,}5\) | \(44{,}875\) | \(46{,}46875\) |
Cismin gerçek hacmi \(48\)’dir; bunu Örnek 1.8 içinde Fubini Teoremi’yle hesaplayacağız. \(x, y \ge 0\) iken \(f\) hem \(x\) hem \(y\) arttıkça azaldığından, her karenin sağ üst köşesi \(f\)’nin o karedeki en küçük değerini verir. Bu yüzden bütün kutular cismin içinde kalır ve tahminler gerçek değere alttan yaklaşır.
Etkileşimli sahne: kutular inceldikçe hacme yaklaşır. Sahneyi sürükleyerek döndürebilirsiniz; düşey eksen küçültülmüş ölçektedir. Yarı saydam mavi yüzey \(z = 16 - x^2 - 2y^2\) paraboloidi, turuncu kutular da \(R = [0, 2] \times [0, 2]\) karesinin \(m \times n\) bölünüşüne karşılık gelen Riemann toplamının kutularıdır. \(m\) ve \(n\) kaydırıcılarıyla bölünüşü inceltin; değer satırı kutuların toplam hacmini, yani Riemann toplamını, cismin gerçek hacmi olan \(48\) ile karşılaştırır. Örnek nokta sağ üst köşeyken \(m = n = 2\) için örnekteki \(34\) çıkar; \(m = n = 4\), \(8\) ve \(16\) için tablodaki \(41{,}5\), \(44{,}875\) ve \(46{,}46875\) gelir ve kutular hep yüzeyin altında kalır. Örnek noktayı karelerin merkezine taşıyınca kutuların tepeleri yüzeyi keser ve toplam \(48\)’in biraz üstüne çıkar: \(m = n = 2\) için \(49\), \(m = n = 4\) için \(48{,}25\), \(m = n = 8\) için \(48{,}0625\). \(m = n\) ikiye katlandıkça fark dörtte birine iner; merkezler aynı kutu sayısıyla çok daha iyi bir tahmin verir. Bu seçim, birazdan göreceğimiz orta nokta kuralıdır (Tanım 1.4).
Örnek 1.2 (Hacim Olarak Yorumlanan Bir İntegral) \(R = [-1, 1] \times [-2, 2]\) olmak üzere
\[\iint_R \sqrt{1 - x^2}\,dA\]
integralini hesaplayınız.
Çözüm
Bu integrali tanımdan, yani Riemann toplamlarının limiti olarak hesaplamak çok zordur. Ama \(\sqrt{1 - x^2} \ge 0\) olduğundan integrali bir hacim olarak yorumlayabiliriz (Tanım 1.3).
\(z = \sqrt{1 - x^2}\) ise \(z \ge 0\) ve \(x^2 + z^2 = 1\)’dir. Bu denklem \(y\) içermediğinden uzayda ekseni \(y\) ekseni olan, yarıçapı \(1\) olan dairesel bir silindiri gösterir; \(z \ge 0\) koşulu da silindirin üst yarısını seçer. Demek ki integral, bu yarım silindirin altında ve \(R\) dikdörtgeninin üstünde kalan \(S\) cisminin hacmidir.
\(S\), \(y\) eksenine dik her düzlemle aynı kesiti veren bir cisimdir: kesit, yarıçapı \(1\) olan bir yarım dairedir. Cismin \(y\) yönündeki uzunluğu \(2 - (-2) = 4\) olduğundan hacmi kesit alanı ile uzunluğun çarpımıdır:
\[\iint_R \sqrt{1 - x^2}\,dA = \frac{1}{2}\,\pi\,(1)^2 \cdot 4 = 2\pi.\]
\(\blacksquare\)
1.3 Temel Özellikler
Riemann toplamları toplamaya ve sabitle çarpmaya uyar; bu uyum limite de taşınır ve integral hesabında sürekli kullanacağımız şu kuralları verir.
Önerme 1.1 (Lineerlik ve Karşılaştırma) \(f\) ve \(g\), \(R = [a, b] \times [c, d]\) üzerinde integrallenebilir ve \(c\) bir sabit olsun. O zaman \(f + g\) ile \(cf\) de \(R\) üzerinde integrallenebilir ve
(i) toplam kuralı:
\[\iint_R \big[ f(x, y) + g(x, y) \big]\,dA = \iint_R f(x, y)\,dA + \iint_R g(x, y)\,dA,\]
(ii) sabit çarpan kuralı:
\[\iint_R c\,f(x, y)\,dA = c \iint_R f(x, y)\,dA,\]
(iii) karşılaştırma: her \((x, y) \in R\) için \(f(x, y) \ge g(x, y)\) ise
\[\iint_R f(x, y)\,dA \ge \iint_R g(x, y)\,dA\]
olur.
İspat
\(I_f\) ve \(I_g\), sırasıyla \(f\) ile \(g\)’nin \(R\) üzerindeki integralleri olsun. Bir bölünüş ve örnek noktalar seçip \(f\), \(g\), \(f + g\) ve \(cf\) için bu seçimle kurulan Riemann toplamlarını \(S_f\), \(S_g\), \(S_{f+g}\) ve \(S_{cf}\) ile gösterelim. Toplamlar terim terim kurulduğundan
\[S_{f+g} = S_f + S_g, \qquad S_{cf} = c\,S_f\]
olur.
(i) \(\varepsilon > 0\) verilsin. \(f\) ve \(g\) integrallenebilir olduğundan öyle \(N_1\) ve \(N_2\) vardır ki \(m, n > N_1\) iken \(|S_f - I_f| < \varepsilon/2\), \(m, n > N_2\) iken \(|S_g - I_g| < \varepsilon/2\) olur. \(N = \max\{N_1, N_2\}\) alınırsa \(m, n > N\) iken üçgen eşitsizliğiyle
\[|S_{f+g} - (I_f + I_g)| \le |S_f - I_f| + |S_g - I_g| < \varepsilon\]
bulunur. Bu, \(f + g\)’nin integrallenebilir olduğunu ve integralinin \(I_f + I_g\) olduğunu gösterir.
(ii) \(\varepsilon > 0\) verilsin ve \(m, n > N\) iken \(|S_f - I_f| < \varepsilon/(|c| + 1)\) olacak biçimde \(N\) seçilsin. O zaman \(m, n > N\) iken
\[|S_{cf} - c\,I_f| = |c|\,|S_f - I_f| < \frac{|c|\,\varepsilon}{|c| + 1} < \varepsilon\]
olur; demek ki \(cf\) integrallenebilir ve integrali \(c\,I_f\)’dir.
(iii) \(h = f - g = f + (-1)g\) olsun. (i) ve (ii) gereği \(h\) integrallenebilir ve integrali \(I_h = I_f - I_g\)’dir. Her \((x, y) \in R\) için \(h(x, y) \ge 0\) olduğundan \(h\)’nin her Riemann toplamı \(S_h \ge 0\)’dır. \(I_h < 0\) olsaydı \(\varepsilon = -I_h > 0\) için, \(m, n\) yeterince büyükken \(|S_h - I_h| < \varepsilon\), dolayısıyla
\[S_h < I_h + \varepsilon = I_h - I_h = 0\]
olurdu; bu \(S_h \ge 0\) ile çelişir. Öyleyse \(I_h \ge 0\), yani \(I_f \ge I_g\)’dir. \(\blacksquare\)
Karşılaştırma kuralının en sık kullanılan özel hâli şudur: \(R\) üzerinde \(f \ge 0\) ise \(\iint_R f\,dA \ge 0\) olur.
1.4 Orta Nokta Kuralı
Tek değişkenli integraller için kullanılan sayısal yöntemlerin (orta nokta, yamuk ve Simpson kuralları) iki katlı integrallerde de karşılıkları vardır. Burada yalnız en basitini, orta nokta kuralını ele alıyoruz.
Tanım 1.4 (İki Katlı İntegral için Orta Nokta Kuralı) \(R = [a, b] \times [c, d]\) dikdörtgeni yukarıdaki gibi \(mn\) tane \(R_{ij}\) alt dikdörtgenine bölünsün.
\[\bar{x}_i = \frac{x_{i-1} + x_i}{2}, \qquad \bar{y}_j = \frac{y_{j-1} + y_j}{2}\]
sırasıyla \([x_{i-1}, x_i]\) ve \([y_{j-1}, y_j]\) aralıklarının orta noktaları olmak üzere
\[\iint_R f(x, y)\,dA \approx \sum_{i=1}^{m} \sum_{j=1}^{n} f(\bar{x}_i, \bar{y}_j)\,\Delta A\]
yaklaşımına orta nokta kuralı (Midpoint Rule) denir.
Yani orta nokta kuralı, örnek noktası her \(R_{ij}\)’nin merkezi \((\bar{x}_i, \bar{y}_j)\) olarak seçilmiş bir iki katlı Riemann toplamıdır. \(f\) integrallenebilirse bu toplam \(m, n \to \infty\) iken integrale yaklaşır; pratikte küçük \(m\) ve \(n\) değerleriyle bile iyi sonuç verir.
İpucuOrta nokta kuralı dört adımda
- \(\Delta x = (b - a)/m\), \(\Delta y = (d - c)/n\) ve \(\Delta A = \Delta x\,\Delta y\) değerlerini bulun.
- \(x\) yönündeki \(\bar{x}_1, \dots, \bar{x}_m\) ve \(y\) yönündeki \(\bar{y}_1, \dots, \bar{y}_n\) orta noktalarını yazın.
- \(f\)’yi \(mn\) tane \((\bar{x}_i, \bar{y}_j)\) merkezinde hesaplayın.
- Bu değerleri toplayıp \(\Delta A\) ile çarpın.
Örnek 1.3 (Orta Nokta Kuralıyla Tahmin) \(R = [0, 2] \times [1, 2]\) olmak üzere \(\displaystyle \iint_R (x - 3y^2)\,dA\) integralini \(m = n = 2\) alarak orta nokta kuralıyla tahmin ediniz.
Çözüm
Adım 1. \(\Delta x = (2 - 0)/2 = 1\), \(\Delta y = (2 - 1)/2 = 1/2\) ve \(\Delta A = 1 \cdot \tfrac{1}{2} = \tfrac{1}{2}\)’dir.
Adım 2. \(x\) yönündeki alt aralıklar \([0, 1]\) ve \([1, 2]\), \(y\) yönündekiler \([1, \tfrac{3}{2}]\) ve \([\tfrac{3}{2}, 2]\)’dir. Orta noktalar
\[\bar{x}_1 = \frac{1}{2}, \quad \bar{x}_2 = \frac{3}{2}, \quad \bar{y}_1 = \frac{5}{4}, \quad \bar{y}_2 = \frac{7}{4}\]
olur.
Adım 3. \(f(x, y) = x - 3y^2\) için
\[ \begin{aligned} f\Big(\frac{1}{2}, \frac{5}{4}\Big) &= \frac{8}{16} - \frac{75}{16} = -\frac{67}{16}, & f\Big(\frac{1}{2}, \frac{7}{4}\Big) &= \frac{8}{16} - \frac{147}{16} = -\frac{139}{16}, \\[1mm] f\Big(\frac{3}{2}, \frac{5}{4}\Big) &= \frac{24}{16} - \frac{75}{16} = -\frac{51}{16}, & f\Big(\frac{3}{2}, \frac{7}{4}\Big) &= \frac{24}{16} - \frac{147}{16} = -\frac{123}{16} \end{aligned} \]
bulunur.
Adım 4. Toplayıp \(\Delta A = \tfrac{1}{2}\) ile çarparsak
\[ \begin{aligned} \iint_R (x - 3y^2)\,dA &\approx \Big( -\frac{67}{16} - \frac{139}{16} - \frac{51}{16} - \frac{123}{16} \Big) \cdot \frac{1}{2} \\[1mm] &= -\frac{380}{16} \cdot \frac{1}{2} = -\frac{95}{8} = -11{,}875 \end{aligned} \]
elde ederiz. \(\blacksquare\)
Her alt dikdörtgeni dört eş parçaya bölerek devam edersek orta nokta yaklaşımları şöyle olur:
| Alt dikdörtgen sayısı | Orta nokta yaklaşımı |
|---|---|
| \(1\) | \(-11{,}5\) |
| \(4\) | \(-11{,}875\) |
| \(16\) | \(-11{,}96875\) |
| \(64\) | \(-11{,}9921875\) |
| \(256\) | \(-11{,}998046875\) |
| \(1024\) | \(-11{,}99951171875\) |
İntegralin kesin değeri \(-12\)’dir (Örnek 1.6). Tabloda her satırda hatanın tam olarak dörtte birine indiğini görüyoruz: \(0{,}5\); \(0{,}125\); \(0{,}03125\); …
UyarıHer integral bir hacim değildir
Bir iki katlı integrali hacim olarak yorumlamak yalnız \(f \ge 0\) iken doğrudur. Yukarıdaki \(f(x, y) = x - 3y^2\) fonksiyonu \(R\) üzerinde negatif değerler alır; integralin \(-12\) çıkması bu yüzdendir ve bir hacim değildir. Negatif değer alan fonksiyonların integralini hacimlerle nasıl yorumlayacağımızı Örnek 1.6 ve Örnek 1.7 sonrasında göreceğiz.
1.5 Ardışık İntegraller
Tek değişkenli integralleri tanımdan hesaplamak zordur; iki katlı integralleri tanımdan hesaplamak daha da zordur. Bu kısımda iki katlı integrali, art arda alınan iki tek katlı integrale çevirmenin zeminini hazırlıyoruz.
\(f\), \(R = [a, b] \times [c, d]\) üzerinde sürekli olsun. \(\int_c^d f(x, y)\,dy\) yazdığımızda \(x\)’i sabit tutar ve \(f(x, y)\)’yi \(y\)’ye göre \(y = c\)’den \(y = d\)’ye kadar integralleriz. Bu işleme \(y\)’ye göre kısmi integral denir; kısmi türevde olduğu gibi diğer değişken sabit sayılır. Sonuç \(x\)’e bağlı bir sayıdır, yani \(x\)’in bir fonksiyonudur:
\[A(x) = \int_c^d f(x, y)\,dy.\]
Bu fonksiyonu \(x\)’e göre \(x = a\)’dan \(x = b\)’ye kadar integrallersek
\[\int_a^b A(x)\,dx = \int_a^b \left[ \int_c^d f(x, y)\,dy \right] dx\]
elde ederiz. Sağdaki ifade, art arda alınan iki tek katlı integraldir.
Tanım 1.5 (Ardışık İntegral) \(f\), \(R = [a, b] \times [c, d]\) üzerinde tanımlı olsun ve aşağıda geçen tek katlı integraller var olsun.
\[\int_a^b \int_c^d f(x, y)\,dy\,dx = \int_a^b \left[ \int_c^d f(x, y)\,dy \right] dx\]
ifadesine ve benzer biçimde
\[\int_c^d \int_a^b f(x, y)\,dx\,dy = \int_c^d \left[ \int_a^b f(x, y)\,dx \right] dy\]
ifadesine ardışık integral (iterated integral) denir.
Yani \(\int_a^b \int_c^d f(x, y)\,dy\,dx\) yazdığımızda önce \(x\)’i sabit tutup \(y\)’ye göre \(c\)’den \(d\)’ye integral alırız; çıkan \(x\) fonksiyonunu sonra \(x\)’e göre \(a\)’dan \(b\)’ye integralleriz. İkinci ifadede sıra tersidir. Her iki durumda da içten dışa doğru çalışırız: en içteki diferansiyel (\(dy\) ya da \(dx\)) ilk integralin değişkenini, en içteki integral işaretinin sınırları da onun sınırlarını gösterir. Köşeli parantezler genellikle yazılmaz.
İpucuArdışık integral iki adımda
- İç integral. Dıştaki değişkeni sabit sayıp içteki değişkene göre bir ilkel bulun ve içteki sınırları yerine koyun. Sonuç yalnız dıştaki değişkene bağlıdır.
- Dış integral. Bu fonksiyonun dıştaki sınırlar arasında tek değişkenli integralini alın.
Örnek 1.4 (Önce y Değişkenine Göre Ardışık İntegral) \(\displaystyle \int_0^3 \int_1^2 x^2 y\,dy\,dx\) ardışık integralini hesaplayınız.
Çözüm
İç integral. \(x\)’i sabit sayarsak \(x^2\) bir sabit çarpandır ve
\[\int_1^2 x^2 y\,dy = \left[ x^2\,\frac{y^2}{2} \right]_{y=1}^{y=2} = x^2 \cdot \frac{4}{2} - x^2 \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{2}\,x^2\]
olur. Yani yukarıdaki \(A(x)\) fonksiyonu bu örnekte \(A(x) = \tfrac{3}{2}x^2\)’dir.
Dış integral. Bu fonksiyonu \(x\)’e göre \(0\)’dan \(3\)’e integrallersek
\[\int_0^3 \int_1^2 x^2 y\,dy\,dx = \int_0^3 \frac{3}{2}\,x^2\,dx = \left[ \frac{x^3}{2} \right]_0^3 = \frac{27}{2}\]
bulunur. \(\blacksquare\)
Örnek 1.5 (Önce x Değişkenine Göre Ardışık İntegral) \(\displaystyle \int_1^2 \int_0^3 x^2 y\,dx\,dy\) ardışık integralini hesaplayınız.
Çözüm
İç integral. Bu kez \(y\)’yi sabit sayarız; \(y\) bir sabit çarpandır:
\[\int_0^3 x^2 y\,dx = \left[ \frac{x^3}{3}\,y \right]_{x=0}^{x=3} = \frac{27}{3}\,y - 0 = 9y.\]
Dış integral.
\[\int_1^2 \int_0^3 x^2 y\,dx\,dy = \int_1^2 9y\,dy = \left[ \frac{9y^2}{2} \right]_1^2 = 18 - \frac{9}{2} = \frac{27}{2}.\]
\(\blacksquare\)
İki örnekte integral sırası farklı olduğu hâlde aynı sonucu bulduk. Bu bir rastlantı değildir: bir sonraki teorem, sürekli fonksiyonlarda iki ardışık integralin her zaman eşit olduğunu, üstelik ikisinin de iki katlı integrale eşit olduğunu söyler.
1.6 Fubini Teoremi
Ardışık integrallerin iki katlı integrale eşit olduğunu söyleyen Fubini Teoremi, iki katlı integral hesabının temel aracıdır. Önce bunun neden doğru olması gerektiğini hacim üzerinden görelim.
\(f \ge 0\) ise \(\iint_R f(x, y)\,dA\) integrali, \(R\)’nin üstünde ve \(z = f(x, y)\) yüzeyinin altında kalan \(S\) cisminin hacmidir. Öte yandan dilim yöntemine göre bu hacim
\[V = \int_a^b A(x)\,dx\]
ile de hesaplanır; burada \(A(x)\), \(S\)’nin \(x\) noktasından geçen ve \(x\) eksenine dik düzlemle kesitinin alanıdır. \(x\) sabitken bu kesit, \(c \le y \le d\) aralığında \(z = f(x, y)\) eğrisinin altında kalan bölgedir. Bu bölgenin alanı tam da \(y\)’ye göre kısmi integraldir:
\[A(x) = \int_c^d f(x, y)\,dy.\]
Böylece
\[\iint_R f(x, y)\,dA = V = \int_a^b A(x)\,dx = \int_a^b \int_c^d f(x, y)\,dy\,dx\]
olmalıdır. Cismi \(y\) eksenine dik düzlemlerle dilimlersek aynı akıl yürütme diğer sırayı verir. Teoremin kesin ifadesi ve ispatı şöyledir.
Teorem 1.2 (Fubini Teoremi) \(f\), \(R = [a, b] \times [c, d]\) dikdörtgeninde sürekli olsun. O zaman
\[ \begin{aligned} \iint_R f(x, y)\,dA &= \int_a^b \int_c^d f(x, y)\,dy\,dx \\[1mm] &= \int_c^d \int_a^b f(x, y)\,dx\,dy \end{aligned} \]
olur.
İspat
İlk eşitliği gösterelim; ikincisi \(x\) ile \(y\)’nin rolleri değiştirilerek aynı biçimde gösterilir.
Adım 1: İfadeler anlamlıdır. \(f\) sürekli olduğundan Teorem 1.1 gereği iki katlı integral vardır. Her sabit \(x\) için \(y \mapsto f(x, y)\) sürekli olduğundan iç integral vardır. Ayrıca \(c \le \gamma < \delta \le d\) olmak üzere
\[F(x) = \int_{\gamma}^{\delta} f(x, y)\,dy\]
biçimindeki her fonksiyon \([a, b]\) üzerinde süreklidir (bkz. Analiz 3), bu yüzden dış integraller de vardır.
Adım 2: Ardışık integrali parçalara ayırmak. \(m\) ve \(n\)’yi sabitleyip \(R\)’yi \(R_{ij}\) alt dikdörtgenlerine bölelim ve
\[I_{ij} = \int_{x_{i-1}}^{x_i} \int_{y_{j-1}}^{y_j} f(x, y)\,dy\,dx\]
diyelim. Tek değişkenli integral aralıklara göre toplamsal olduğundan, önce iç integrali \([c, d]\)’nin alt aralıklarına, sonra dış integrali \([a, b]\)’nin alt aralıklarına bölerek
\[\int_a^b \int_c^d f(x, y)\,dy\,dx = \sum_{i=1}^{m} \sum_{j=1}^{n} I_{ij}\]
buluruz.
Adım 3: Her parçayı sıkıştırmak. \(R_{ij}\) kapalı ve sınırlı olduğundan sürekli \(f\) burada bir en küçük \(m_{ij}\) ve bir en büyük \(M_{ij}\) değeri alır (bkz. Analiz 4). \(x \in [x_{i-1}, x_i]\) sabitken her \(y \in [y_{j-1}, y_j]\) için \(m_{ij} \le f(x, y) \le M_{ij}\) olduğundan
\[m_{ij}\,\Delta y \le \int_{y_{j-1}}^{y_j} f(x, y)\,dy \le M_{ij}\,\Delta y\]
olur. Bunu \(x\)’e göre \([x_{i-1}, x_i]\) üzerinde integrallersek
\[m_{ij}\,\Delta A \le I_{ij} \le M_{ij}\,\Delta A\]
elde ederiz.
Adım 4: Uygun örnek noktası. Adım 3’e göre \(I_{ij}/\Delta A\) sayısı \(m_{ij}\) ile \(M_{ij}\) arasındadır. \(f\), \(m_{ij}\) değerini \(R_{ij}\)’nin bir \(P\) noktasında, \(M_{ij}\) değerini bir \(Q\) noktasında alır. \(P\)’yi \(Q\)’ya birleştiren doğru parçası \(R_{ij}\) içinde kalır ve
\[g(t) = f\big( P + t(Q - P) \big), \qquad 0 \le t \le 1\]
fonksiyonu süreklidir; \(g(0) = m_{ij}\) ve \(g(1) = M_{ij}\)’dir. Ara Değer Teoremi’ne (bkz. Analiz 1) göre \(g(t) = I_{ij}/\Delta A\) olan bir \(t\) vardır. \((x_{ij}^*, y_{ij}^*) = P + t(Q - P)\) dersek bu nokta \(R_{ij}\) içindedir ve
\[I_{ij} = f(x_{ij}^*, y_{ij}^*)\,\Delta A\]
olur.
Adım 5: Limite geçmek. Adım 2 ve Adım 4’ü birleştirirsek her \(m\) ve \(n\) için
\[\int_a^b \int_c^d f(x, y)\,dy\,dx = \sum_{i=1}^{m} \sum_{j=1}^{n} f(x_{ij}^*, y_{ij}^*)\,\Delta A\]
buluruz. Sağ taraf bir iki katlı Riemann toplamıdır. \(f\) integrallenebilir olduğundan \(m, n \to \infty\) iken bu toplamlar, örnek noktalar nasıl seçilmiş olursa olsun \(\iint_R f(x, y)\,dA\)’ya yaklaşır. Sol taraf ise \(m\) ve \(n\)’ye bağlı değildir. O hâlde iki taraf eşittir:
\[\int_a^b \int_c^d f(x, y)\,dy\,dx = \iint_R f(x, y)\,dA.\]
\(\blacksquare\)
Fubini Teoremi daha genel koşullarda da geçerlidir: \(f\), \(R\) üzerinde sınırlıysa, yalnız sonlu sayıda düzgün eğri üzerinde süreksizse ve ardışık integraller varsa yine
\[\iint_R f(x, y)\,dA = \int_a^b \int_c^d f(x, y)\,dy\,dx = \int_c^d \int_a^b f(x, y)\,dx\,dy\]
olur. Bu genel hâlin ispatı ileri analiz gerektirir. Teorem, adını 1907’de çok genel bir biçimini ispatlayan İtalyan matematikçi Guido Fubini’den (1879–1943) alır; sürekli fonksiyonlar için olan hâli ise bundan neredeyse bir yüzyıl önce Cauchy tarafından biliniyordu.
İki ardışık integralin birbirine eşitliği, parametreye bağlı integraller yardımıyla ayrıca da gösterilebilir (bkz. Analiz 3). Bu eşitlik, karışık kısmi türevlerin eşitliğini söyleyen Clairaut Teoremi’ni (bkz. Analiz 4) hatırlatır: orada türev alma sırası, burada integral alma sırası önemsizdir. Fubini Teoremi bunun da ötesinde ardışık integralin iki katlı integrale eşit olduğunu söyler. Ayrıca \(f \ge 0\) için Tanım 1.3 ile tanımladığımız hacmin dilim yönteminin verdiği \(\int_a^b A(x)\,dx\) hacmiyle aynı olduğunu da göstermiş olduk.
Örnek 1.6 (Fubini Teoremiyle İki Yoldan Hesap) \(R = [0, 2] \times [1, 2]\) olmak üzere \(\displaystyle \iint_R (x - 3y^2)\,dA\) integralini hesaplayınız. Bu integrali Örnek 1.3 içinde orta nokta kuralıyla tahmin etmiştik.
Çözüm
\(f(x, y) = x - 3y^2\) bir polinom olduğundan süreklidir; Fubini Teoremi’ni iki sırada da uygulayabiliriz.
Önce \(y\)’ye göre. İç integralde \(x\) sabittir:
\[ \begin{aligned} \iint_R (x - 3y^2)\,dA &= \int_0^2 \int_1^2 (x - 3y^2)\,dy\,dx = \int_0^2 \Big[ xy - y^3 \Big]_{y=1}^{y=2} dx \\[1mm] &= \int_0^2 \big[ (2x - 8) - (x - 1) \big]\,dx = \int_0^2 (x - 7)\,dx \\[1mm] &= \left[ \frac{x^2}{2} - 7x \right]_0^2 = 2 - 14 = -12. \end{aligned} \]
Önce \(x\)’e göre. Bu kez iç integralde \(y\) sabittir:
\[ \begin{aligned} \iint_R (x - 3y^2)\,dA &= \int_1^2 \int_0^2 (x - 3y^2)\,dx\,dy = \int_1^2 \left[ \frac{x^2}{2} - 3xy^2 \right]_{x=0}^{x=2} dy \\[1mm] &= \int_1^2 (2 - 6y^2)\,dy = \Big[ 2y - 2y^3 \Big]_1^2 \\[1mm] &= (4 - 16) - (2 - 2) = -12. \end{aligned} \]
İki yol da aynı sonucu verir: \(\iint_R (x - 3y^2)\,dA = -12\). \(\blacksquare\)
Sonucun negatif çıkması bir hata değildir. \(R\) üzerinde \(x \le 2\) ve \(y \ge 1\) olduğundan \(x - 3y^2 \le 2 - 3 = -1 < 0\)’dır; yani \(f\)’nin grafiği tümüyle \(xy\)-düzleminin altındadır. Bu durumda \(-f \ge 0\) olur ve Önerme 1.1 gereği
\[\iint_R f(x, y)\,dA = -\iint_R \big[ -f(x, y) \big]\,dA\]
olur. Sağdaki integral, \(R\)’nin altında ve grafiğin üstünde kalan cismin hacmidir. Demek ki negatif bir fonksiyonun integrali, grafik ile \(R\) arasındaki hacmin ters işaretlisidir; burada bu hacim \(12\)’dir.
Örnek 1.7 (İntegral Sırasının Seçimi) \(R = [1, 2] \times [0, \pi]\) olmak üzere \(\displaystyle \iint_R y \sin(xy)\,dA\) integralini hesaplayınız.
Çözüm
İntegrand süreklidir. Önce \(x\)’e göre integral alırsak iç integralde \(y\) sabittir. \(x\)’e göre türev alındığında
\[\frac{\partial}{\partial x}\big[ -\cos(xy) \big] = y \sin(xy)\]
olduğundan \(-\cos(xy)\), iç integrandın \(x\)’e göre bir ilkelidir. Buna göre
\[ \begin{aligned} \iint_R y \sin(xy)\,dA &= \int_0^{\pi} \int_1^2 y \sin(xy)\,dx\,dy = \int_0^{\pi} \Big[ -\cos(xy) \Big]_{x=1}^{x=2} dy \\[1mm] &= \int_0^{\pi} \big( -\cos 2y + \cos y \big)\,dy = \left[ -\frac{1}{2}\sin 2y + \sin y \right]_0^{\pi} \\[1mm] &= 0 - 0 = 0 \end{aligned} \]
bulunur. \(\blacksquare\)
Bu örnekteki \(f(x, y) = y \sin(xy)\) hem pozitif hem negatif değerler alır. Böyle bir fonksiyonun integrali iki hacmin farkıdır:
\[\iint_R f(x, y)\,dA = V_1 - V_2.\]
Burada \(V_1\), \(R\)’nin üstünde ve grafiğin altında kalan hacim (\(f\)’nin pozitif olduğu yerlerden gelir), \(V_2\) ise \(R\)’nin altında ve grafiğin üstünde kalan hacimdir (\(f\)’nin negatif olduğu yerlerden gelir). İntegralin \(0\) çıkması, bu örnekte bu iki hacmin eşit olduğunu söyler.
Uyarıİntegral sırasını akıllıca seçin
Aynı integrali önce \(y\)’ye göre alarak, yani \(\displaystyle \int_1^2 \int_0^{\pi} y \sin(xy)\,dy\,dx\) biçiminde hesaplamaya kalksaydık iç integral için kısmi integrasyon, dış integral için de bir kez daha kısmi integrasyon gerekirdi. Fubini Teoremi iki sıranın aynı sonucu verdiğini güvenceye alır; bu yüzden hesaba başlamadan önce hangi sıranın daha kolay integraller verdiğine bakmak gerekir.
Örnek 1.8 (Eliptik Paraboloidin Altındaki Hacim) \(x^2 + 2y^2 + z = 16\) eliptik paraboloidi, \(x = 2\) ve \(y = 2\) düzlemleri ve üç koordinat düzlemiyle sınırlanan \(S\) cisminin hacmini bulunuz.
Çözüm
Paraboloidin denklemi \(z = 16 - x^2 - 2y^2\) biçiminde yazılabilir. Koordinat düzlemleri ile \(x = 2\) ve \(y = 2\) düzlemleri, cismin tabanını \(R = [0, 2] \times [0, 2]\) karesi olarak belirler. \(R\) üzerinde \(x^2 \le 4\) ve \(2y^2 \le 8\) olduğundan \(16 - x^2 - 2y^2 \ge 4 > 0\)’dır; yani \(S\), \(R\)’nin üstünde ve paraboloidin altında kalan cisimdir. Bu, Örnek 1.1 içinde hacmini tahmin ettiğimiz cisimdir. Fubini Teoremi’yle (önce \(x\)’e göre):
\[ \begin{aligned} V &= \iint_R (16 - x^2 - 2y^2)\,dA = \int_0^2 \int_0^2 (16 - x^2 - 2y^2)\,dx\,dy \\[1mm] &= \int_0^2 \left[ 16x - \frac{x^3}{3} - 2y^2 x \right]_{x=0}^{x=2} dy = \int_0^2 \left( \frac{88}{3} - 4y^2 \right) dy \\[1mm] &= \left[ \frac{88}{3}\,y - \frac{4}{3}\,y^3 \right]_0^2 = \frac{176}{3} - \frac{32}{3} = 48. \end{aligned} \]
\(\blacksquare\)
1.7 Çarpım Biçimindeki Fonksiyonlar
İntegrand, yalnız \(x\)’e bağlı bir fonksiyonla yalnız \(y\)’ye bağlı bir fonksiyonun çarpımıysa iki katlı integral iki tek katlı integralin çarpımına dönüşür.
Önerme 1.2 (Çarpım Biçimindeki Fonksiyonun İntegrali) \(g\), \([a, b]\) üzerinde ve \(h\), \([c, d]\) üzerinde sürekli olsun. \(R = [a, b] \times [c, d]\) için
\[\iint_R g(x)\,h(y)\,dA = \int_a^b g(x)\,dx \int_c^d h(y)\,dy\]
olur.
İspat
\(f(x, y) = g(x)\,h(y)\) iki sürekli fonksiyonun çarpımı olduğundan \(R\) üzerinde süreklidir. Fubini Teoremi’ni önce \(x\)’e göre integral alacak biçimde uygularsak
\[\iint_R g(x)\,h(y)\,dA = \int_c^d \left[ \int_a^b g(x)\,h(y)\,dx \right] dy\]
olur. İç integralde \(y\) sabit olduğundan \(h(y)\) bir sabittir ve integralin dışına çıkar:
\[\int_a^b g(x)\,h(y)\,dx = h(y) \int_a^b g(x)\,dx = K\,h(y), \qquad K = \int_a^b g(x)\,dx.\]
\(K\) bir sayı olduğundan dış integralin de dışına çıkar:
\[\int_c^d K\,h(y)\,dy = K \int_c^d h(y)\,dy = \int_a^b g(x)\,dx \int_c^d h(y)\,dy.\]
\(\blacksquare\)
Örnek 1.9 (Çarpım Biçiminde Bir İntegrand) \(R = [0, \pi/2] \times [0, \pi/2]\) olmak üzere \(\displaystyle \iint_R \sin x \cos y\,dA\) integralini hesaplayınız.
Çözüm
İntegrand \(g(x) = \sin x\) ile \(h(y) = \cos y\)’nin çarpımıdır. Önerme 1.2 gereği
\[ \begin{aligned} \iint_R \sin x \cos y\,dA &= \int_0^{\pi/2} \sin x\,dx \int_0^{\pi/2} \cos y\,dy \\[1mm] &= \Big[ -\cos x \Big]_0^{\pi/2} \Big[ \sin y \Big]_0^{\pi/2} = 1 \cdot 1 = 1 \end{aligned} \]
bulunur. \(R\) üzerinde \(\sin x \cos y \ge 0\) olduğundan bu sayı, \(R\)’nin üstünde ve \(z = \sin x \cos y\) yüzeyinin altında kalan cismin hacmidir. \(\blacksquare\)
1.8 Ortalama Değer
Tek değişkenli bir \(f\) fonksiyonunun \([a, b]\) aralığındaki ortalama değeri
\[f_{\text{ort}} = \frac{1}{b - a} \int_a^b f(x)\,dx\]
idi (bkz. Analiz 2). İki değişkende aralığın uzunluğunun yerini dikdörtgenin alanı alır.
Tanım 1.6 (Dikdörtgen Üzerinde Ortalama Değer) \(f\), \(R = [a, b] \times [c, d]\) üzerinde integrallenebilir ve \(A(R) = (b - a)(d - c)\), \(R\)’nin alanı olsun.
\[f_{\text{ort}} = \frac{1}{A(R)} \iint_R f(x, y)\,dA\]
sayısına \(f\)’nin \(R\) üzerindeki ortalama değeri denir.
Yani ortalama değer, integrali alana bölmekle bulunur. \(f \ge 0\) ise tanımdaki eşitliği
\[A(R) \cdot f_{\text{ort}} = \iint_R f(x, y)\,dA\]
biçiminde okuyabiliriz: tabanı \(R\) ve yüksekliği \(f_{\text{ort}}\) olan kutunun hacmi, \(f\)’nin grafiğinin altındaki cismin hacmine eşittir. \(z = f(x, y)\) dağlık bir araziyi gösteriyorsa, tepeleri \(f_{\text{ort}}\) yüksekliğinden kesip kesilen parçalarla vadileri doldurduğumuzda arazi tümüyle düzleşir.
Örnek 1.10 (Ortalama Kar Kalınlığı) Doğu–batı yönünde \(388\) km, güney–kuzey yönünde \(276\) km olan dikdörtgen biçimli bir bölgeye iki gün boyunca kar yağıyor. Bölge \(4 \times 4 = 16\) eş dikdörtgene bölünüyor ve her parçanın merkezindeki kar kalınlığı (cm) ölçülüyor; ölçümler aşağıdaki şekildedir. Bölgedeki ortalama kar kalınlığını orta nokta kuralıyla tahmin ediniz.
Çözüm
Başlangıç noktasını bölgenin güneybatı köşesine koyalım. \(x\) doğuya, \(y\) kuzeye doğru kilometre cinsinden ölçülsün ve \(f(x, y)\), \((x, y)\) noktasındaki kar kalınlığı olsun. Bölge \(R = [0, 388] \times [0, 276]\) dikdörtgenidir ve \(A(R) = 388 \cdot 276\)’dır. Aradığımız sayı
\[f_{\text{ort}} = \frac{1}{A(R)} \iint_R f(x, y)\,dA\]
ortalamasıdır.
İntegrali \(m = n = 4\) ile orta nokta kuralıyla tahmin edelim. Her alt dikdörtgenin alanı
\[\Delta A = \frac{1}{16}\,(388)(276) = 6693 \ \text{km}^2\]
olur. Şekildeki \(16\) merkez değerini alt satırdan başlayarak toplarsak
\[ \begin{aligned} &(0 + 15 + 8 + 7) + (2 + 25 + 18{,}5 + 11) \\[1mm] &\quad + (4{,}5 + 28 + 17 + 13{,}5) + (12 + 15 + 17{,}5 + 13) \\[1mm] &= 30 + 56{,}5 + 63 + 57{,}5 = 207 \end{aligned} \]
bulunur. Buna göre
\[\iint_R f(x, y)\,dA \approx \sum_{i=1}^{4} \sum_{j=1}^{4} f(\bar{x}_i, \bar{y}_j)\,\Delta A = 6693 \cdot 207\]
ve
\[f_{\text{ort}} \approx \frac{6693 \cdot 207}{388 \cdot 276} = \frac{207}{16} \approx 12{,}9\]
olur. Bölgeye ortalama olarak yaklaşık \(13\) cm kar düşmüştür. \(\Delta A / A(R) = 1/16\) olduğundan bu tahmin, \(16\) ölçümün aritmetik ortalamasından başka bir şey değildir. \(\blacksquare\)
1.9 Alıştırmalar
Aşağıdaki alıştırmalar Riemann toplamlarıyla tahminden başlayıp ardışık integral hesabına, hacim ve ortalama değer problemlerine ve Fubini Teoremi’nin koşullarına uzanır.
Alıştırma 1.1 (Sağ Alt Köşelerle Riemann Toplamı) \(R = [0, 4] \times [-1, 2]\) olsun. \(m = 2\), \(n = 3\) alıp örnek noktaları alt dikdörtgenlerin sağ alt köşeleri olarak seçerek \(\displaystyle \iint_R (1 - xy^2)\,dA\) integralini bir Riemann toplamıyla tahmin ediniz.
Çözüm
\(\Delta x = (4 - 0)/2 = 2\), \(\Delta y = (2 - (-1))/3 = 1\) ve \(\Delta A = 2\)’dir. \(x\) yönündeki alt aralıklar \([0, 2]\), \([2, 4]\); \(y\) yönündekiler \([-1, 0]\), \([0, 1]\), \([1, 2]\)’dir. \(R_{ij}\)’nin sağ alt köşesi \((x_i, y_{j-1})\) noktasıdır; yani \(x \in \{2, 4\}\) ve \(y \in \{-1, 0, 1\}\) değerlerini kullanırız. \(f(x, y) = 1 - xy^2\) için
\[ \begin{aligned} f(2, -1) &= -1, & f(2, 0) &= 1, & f(2, 1) &= -1, \\[1mm] f(4, -1) &= -3, & f(4, 0) &= 1, & f(4, 1) &= -3 \end{aligned} \]
olur. Bu değerlerin toplamı \(-6\)’dır. Dolayısıyla
\[\iint_R (1 - xy^2)\,dA \approx (-6) \cdot \Delta A = (-6) \cdot 2 = -12\]
bulunur. \(\blacksquare\)
Alıştırma 1.2 (Ölçüm Tablosundan Hacim Tahmini) \(20\) m’ye \(30\) m’lik dikdörtgen biçimli bir su deposu suyla dolu. Deponun derinliği bir köşeden başlayarak \(5\) m aralıklarla ölçülmüş ve aşağıdaki tabloya yazılmıştır (satırlar \(20\) m’lik kenar, sütunlar \(30\) m’lik kenar boyunca uzaklığı, hücreler metre cinsinden derinliği gösterir). Orta nokta kuralını \(20\) m’lik kenarda \(m = 2\), \(30\) m’lik kenarda \(n = 3\) parçayla kullanarak depodaki suyun hacmini tahmin ediniz.
| \(0\) | \(5\) | \(10\) | \(15\) | \(20\) | \(25\) | \(30\) | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(0\) | \(2\) | \(3\) | \(4\) | \(6\) | \(7\) | \(8\) | \(8\) |
| \(5\) | \(2\) | \(3\) | \(4\) | \(7\) | \(8\) | \(10\) | \(8\) |
| \(10\) | \(2\) | \(4\) | \(6\) | \(8\) | \(10\) | \(12\) | \(10\) |
| \(15\) | \(2\) | \(3\) | \(4\) | \(5\) | \(6\) | \(8\) | \(7\) |
| \(20\) | \(2\) | \(2\) | \(2\) | \(2\) | \(3\) | \(4\) | \(4\) |
Çözüm
\(x\) değişkeni \(20\) m’lik kenar boyunca, \(y\) değişkeni \(30\) m’lik kenar boyunca ölçülsün ve \(f(x, y)\), \((x, y)\) noktasındaki derinlik olsun. Suyun hacmi, \(R = [0, 20] \times [0, 30]\) üzerinde \(\iint_R f(x, y)\,dA\) integralidir.
\(m = 2\) için \(\Delta x = 10\) ve orta noktalar \(\bar{x}_1 = 5\), \(\bar{x}_2 = 15\)’tir. \(n = 3\) için \(\Delta y = 10\) ve orta noktalar \(\bar{y}_1 = 5\), \(\bar{y}_2 = 15\), \(\bar{y}_3 = 25\)’tir. \(\Delta A = 10 \cdot 10 = 100\) m² olur. Merkezlerdeki derinlikleri tablodan okursak
\[ \begin{aligned} f(5, 5) &= 3, & f(5, 15) &= 7, & f(5, 25) &= 10, \\[1mm] f(15, 5) &= 3, & f(15, 15) &= 5, & f(15, 25) &= 8 \end{aligned} \]
ve toplam \(36\) bulunur. Buna göre
\[V \approx \sum_{i=1}^{2} \sum_{j=1}^{3} f(\bar{x}_i, \bar{y}_j)\,\Delta A = 36 \cdot 100 = 3600 \ \text{m}^3\]
olur. \(\blacksquare\)
Alıştırma 1.3 (Alt ve Üst Köşe Toplamlarını Sıralamak) \(V\), \(f(x, y) = \sqrt{52 - x^2 - y^2}\) grafiğinin altında ve \(2 \le x \le 4\), \(2 \le y \le 6\) dikdörtgeninin üstünde kalan cismin hacmi olsun. Dikdörtgen \(x = 3\) ve \(y = 4\) doğrularıyla dört alt dikdörtgene bölünüyor. \(L\) örnek noktaları sol alt köşeler, \(U\) de sağ üst köşeler alınarak kurulan Riemann toplamları olsun. \(V\), \(L\) ve \(U\) sayılarını hesaplamadan küçükten büyüğe sıralayınız ve gerekçesini açıklayınız.
Çözüm
Alt dikdörtgenler \([2, 3] \times [2, 4]\), \([2, 3] \times [4, 6]\), \([3, 4] \times [2, 4]\) ve \([3, 4] \times [4, 6]\)’dır.
\(f\)’nin davranışı. Dikdörtgen üzerinde \(x \ge 2\) ve \(y \ge 2\)’dir. \(y\) sabitken \(x\) arttıkça \(x^2\) artar, \(52 - x^2 - y^2\) azalır ve karekök artan bir fonksiyon olduğundan \(f\) azalır. Aynı biçimde \(x\) sabitken \(f\), \(y\) arttıkça azalır. Ayrıca \(x^2 + y^2 \le 16 + 36 = 52\) olduğundan \(f\) her yerde tanımlı ve \(f \ge 0\)’dır.
Sonuç. Bir alt dikdörtgenin sol alt köşesi hem en küçük \(x\)’e hem en küçük \(y\)’ye sahiptir; bu yüzden \(f\)’nin o alt dikdörtgendeki en büyük değeri sol alt köşededir. Sol alt köşedeki yükseklikle dikilen kutu, cismin o alt dikdörtgen üzerindeki parçasını içine alır; bu yüzden \(V \le L\)’dir. Sağ üst köşe ise \(f\)’nin en küçük değerini verir; o yükseklikle dikilen kutu cismin içinde kalır ve \(U \le V\) olur. \(f\) kesin azalan olduğundan her kutu ile cisim arasında hacmi pozitif bir boşluk kalır; böylece
\[U < V < L\]
bulunur.
Sıralamayı sayılarla da görebiliriz. Her alt dikdörtgenin alanı \(2\)’dir ve
\[ \begin{aligned} L &= 2\big( 2\sqrt{11} + 4\sqrt{2} + \sqrt{39} + 3\sqrt{3} \big) \approx 47{,}46, \\[1mm] U &= 2\big( 3\sqrt{3} + \sqrt{7} + 2\sqrt{5} + 0 \big) \approx 24{,}63 \end{aligned} \]
olur; sayısal olarak \(V \approx 39{,}30\)’dur. \(\blacksquare\)
Alıştırma 1.4 (Hacim Olarak Yorumlayarak Hesaplamak) \(R = [0, 1] \times [0, 1]\) olmak üzere \(\displaystyle \iint_R (4 - 2y)\,dA\) integralini, onu bir cismin hacmi olarak yorumlayarak hesaplayınız.
Çözüm
\(R\) üzerinde \(4 - 2y \ge 4 - 2 = 2 > 0\) olduğundan integral, birim karenin üstünde ve \(z = 4 - 2y\) düzleminin altında kalan cismin hacmidir.
\(z = 4 - 2y\) ifadesi \(x\)’e bağlı değildir. Bu yüzden cismin \(x\) eksenine dik her kesiti aynıdır: \(yz\)-düzleminde köşeleri \((y, z) = (0, 0)\), \((1, 0)\), \((1, 2)\) ve \((0, 4)\) olan bir yamuk. Yamuğun paralel kenarları \(4\) ve \(2\), yüksekliği \(1\)’dir; alanı
\[\frac{4 + 2}{2} \cdot 1 = 3\]
olur. Cisim, bu yamuğun \(x\) yönünde \(1\) birim boyunca ötelenmesiyle oluşan bir prizmadır; hacmi kesit alanı ile uzunluğun çarpımıdır:
\[\iint_R (4 - 2y)\,dA = 3 \cdot 1 = 3.\]
Fubini Teoremi’yle kontrol edelim:
\[\int_0^1 \int_0^1 (4 - 2y)\,dy\,dx = \int_0^1 \Big[ 4y - y^2 \Big]_0^1\,dx = \int_0^1 3\,dx = 3.\]
\(\blacksquare\)
Alıştırma 1.5 (Logaritma Veren Bir Ardışık İntegral) \(\displaystyle \int_1^4 \int_1^2 \left( \frac{x}{y} + \frac{y}{x} \right) dy\,dx\) ardışık integralini hesaplayınız.
Çözüm
İç integral. \(x\) sabitken \(\dfrac{x}{y}\)’nin \(y\)’ye göre ilkeli \(x \ln y\), \(\dfrac{y}{x}\)’in ilkeli \(\dfrac{y^2}{2x}\)’tir:
\[ \begin{aligned} \int_1^2 \left( \frac{x}{y} + \frac{y}{x} \right) dy &= \left[ x \ln y + \frac{y^2}{2x} \right]_{y=1}^{y=2} \\[1mm] &= \left( x \ln 2 + \frac{2}{x} \right) - \left( 0 + \frac{1}{2x} \right) = x \ln 2 + \frac{3}{2x}. \end{aligned} \]
Dış integral.
\[ \begin{aligned} \int_1^4 \left( x \ln 2 + \frac{3}{2x} \right) dx &= \left[ \frac{x^2}{2}\ln 2 + \frac{3}{2}\ln x \right]_1^4 \\[1mm] &= 8 \ln 2 + \frac{3}{2}\ln 4 - \frac{1}{2}\ln 2 \\[1mm] &= 8 \ln 2 + 3 \ln 2 - \frac{1}{2}\ln 2 = \frac{21}{2}\ln 2. \end{aligned} \]
\(\blacksquare\)
Alıştırma 1.6 (Uygun Sırayı Seçerek Hesap) \(R = [0, 2] \times [0, 3]\) olmak üzere \(\displaystyle \iint_R y e^{-xy}\,dA\) integralini hesaplayınız.
Çözüm
İntegrand süreklidir, Fubini Teoremi her iki sırayı da kullanmamıza izin verir. \(y\) çarpanı, üsteki \(-xy\) ifadesinin \(x\)’e göre türevi olan \(-y\)’nin ters işaretlisidir:
\[\frac{\partial}{\partial x}\big( -e^{-xy} \big) = y e^{-xy}.\]
Bu yüzden önce \(x\)’e göre integral almak, ilkeli doğrudan verir. (\(y\)’ye göre önce integral alsaydık kısmi integrasyon gerekirdi.)
\[ \begin{aligned} \iint_R y e^{-xy}\,dA &= \int_0^3 \int_0^2 y e^{-xy}\,dx\,dy = \int_0^3 \Big[ -e^{-xy} \Big]_{x=0}^{x=2} dy \\[1mm] &= \int_0^3 \big( 1 - e^{-2y} \big)\,dy = \left[ y + \frac{1}{2}e^{-2y} \right]_0^3 \\[1mm] &= \left( 3 + \frac{1}{2}e^{-6} \right) - \frac{1}{2} = \frac{5}{2} + \frac{1}{2}e^{-6}. \end{aligned} \]
\(\blacksquare\)
Alıştırma 1.7 (Kesit Alanlarıyla Hacim) \(S\), \(z = x^2\sqrt{y}\) yüzeyinin altında ve \(R = [0, 2] \times [1, 4]\) dikdörtgeninin üstünde kalan cisim olsun. \(0 \le x \le 2\) için \(S\)’nin \(x\) eksenine dik ve \(x\) noktasından geçen düzlemle kesitinin alanı \(A(x)\)’i bulunuz ve hacmi \(\int_0^2 A(x)\,dx\) olarak hesaplayınız.
Çözüm
Kesit alanı. \(x\) sabitken kesit, \(1 \le y \le 4\) aralığında \(z = x^2\sqrt{y}\) eğrisinin altında kalan bölgedir. Alanı, \(x^2\) sabit çarpan olmak üzere
\[A(x) = \int_1^4 x^2 \sqrt{y}\,dy = x^2 \left[ \frac{2}{3}\,y^{3/2} \right]_1^4 = x^2 \cdot \frac{2}{3}\,(8 - 1) = \frac{14}{3}\,x^2\]
olur. Örneğin \(x = 1\)’deki kesitin alanı \(A(1) = 14/3\), \(x = 2\)’deki kesitin alanı \(A(2) = 56/3\)’tür.
Hacim.
\[V = \int_0^2 A(x)\,dx = \int_0^2 \frac{14}{3}\,x^2\,dx = \frac{14}{3} \cdot \frac{8}{3} = \frac{112}{9}.\]
Cismi \(y\) eksenine dik düzlemlerle dilimleseydik kesit alanı \(A(y) = \sqrt{y} \int_0^2 x^2\,dx = \tfrac{8}{3}\sqrt{y}\) olurdu ve \(\int_1^4 \tfrac{8}{3}\sqrt{y}\,dy = \tfrac{8}{3} \cdot \tfrac{14}{3} = \tfrac{112}{9}\) ile aynı sonuca ulaşırdık; Fubini Teoremi’nin söylediği de budur. \(\blacksquare\)
Alıştırma 1.8 (Paraboloit ile Düzlem Arasındaki Cisim) \(z = 2 + x^2 + (y - 2)^2\) paraboloidi ile \(z = 1\), \(x = 1\), \(x = -1\), \(y = 0\) ve \(y = 4\) düzlemlerinin sınırladığı cismin hacmini bulunuz.
Çözüm
Cismi tanımak. \(x = \pm 1\) ve \(y = 0\), \(y = 4\) düzlemleri cismin izdüşümünü \(R = [-1, 1] \times [0, 4]\) dikdörtgeni olarak belirler. \(R\) üzerinde \(2 + x^2 + (y - 2)^2 \ge 2 > 1\) olduğundan paraboloit her yerde \(z = 1\) düzleminin üstündedir. Cisim, altta \(z = 1\) düzlemi, üstte paraboloit ile sınırlıdır; \((x, y)\) noktasının üstündeki yüksekliği
\[\big( 2 + x^2 + (y - 2)^2 \big) - 1 = 1 + x^2 + (y - 2)^2\]
olur. Cismin hacmi, paraboloidin altındaki hacimden tabanı \(R\) ve yüksekliği \(1\) olan kutunun hacminin çıkarılmasıyla bulunur; Önerme 1.1 gereği bu fark
\[V = \iint_R \big[ 1 + x^2 + (y - 2)^2 \big]\,dA\]
integralidir.
Hesap. Önce \(y\)’ye göre integral alalım:
\[ \begin{aligned} &\int_0^4 \big[ 1 + x^2 + (y - 2)^2 \big]\,dy \\[1mm] &\quad = 4 + 4x^2 + \left[ \frac{(y - 2)^3}{3} \right]_0^4 \\[1mm] &\quad = 4 + 4x^2 + \frac{8}{3} + \frac{8}{3} = 4x^2 + \frac{28}{3}. \end{aligned} \]
Sonra \(x\)’e göre:
\[V = \int_{-1}^{1} \left( 4x^2 + \frac{28}{3} \right) dx = \left[ \frac{4x^3}{3} + \frac{28}{3}\,x \right]_{-1}^{1} = \frac{8}{3} + \frac{56}{3} = \frac{64}{3}.\]
\(\blacksquare\)
Alıştırma 1.9 (Bir Dikdörtgende Ortalama Değer) \(f(x, y) = x^2 y\) fonksiyonunun, köşeleri \((-1, 0)\), \((-1, 5)\), \((1, 5)\) ve \((1, 0)\) olan \(R\) dikdörtgeni üzerindeki ortalama değerini bulunuz.
Çözüm
Köşelerden \(R = [-1, 1] \times [0, 5]\) ve \(A(R) = 2 \cdot 5 = 10\) olduğu görülür. İntegrand çarpım biçiminde olduğundan Önerme 1.2 ile
\[\iint_R x^2 y\,dA = \int_{-1}^{1} x^2\,dx \int_0^5 y\,dy = \frac{2}{3} \cdot \frac{25}{2} = \frac{25}{3}\]
bulunur. Ortalama değer
\[f_{\text{ort}} = \frac{1}{A(R)} \iint_R x^2 y\,dA = \frac{1}{10} \cdot \frac{25}{3} = \frac{5}{6}\]
olur. \(\blacksquare\)
Alıştırma 1.10 (Simetriyle Hesap) \(R = [-\pi, \pi] \times [-\pi, \pi]\) olmak üzere \(\displaystyle \iint_R \big( 1 + x^2 \sin y + y^2 \sin x \big)\,dA\) integralini hesaplayınız.
Çözüm
Önerme 1.1 gereği integrali üç parçaya ayırabiliriz:
\[\iint_R 1\,dA + \iint_R x^2 \sin y\,dA + \iint_R y^2 \sin x\,dA.\]
Birinci parça. Önerme 1.2 ile
\[\iint_R 1\,dA = \int_{-\pi}^{\pi} dx \int_{-\pi}^{\pi} dy = 2\pi \cdot 2\pi = 4\pi^2\]
olur; bu, \(R\)’nin alanıdır.
İkinci parça. Yine Önerme 1.2 ile
\[\iint_R x^2 \sin y\,dA = \int_{-\pi}^{\pi} x^2\,dx \int_{-\pi}^{\pi} \sin y\,dy = \frac{2\pi^3}{3} \cdot 0 = 0\]
olur; çünkü \(\sin y\) tek fonksiyondur ve simetrik bir aralıkta integrali sıfırdır.
Üçüncü parça. Aynı nedenle, bu kez \(\sin x\) tek olduğundan
\[\iint_R y^2 \sin x\,dA = \int_{-\pi}^{\pi} \sin x\,dx \int_{-\pi}^{\pi} y^2\,dy = 0 \cdot \frac{2\pi^3}{3} = 0\]
olur.
Sonuç olarak
\[\iint_R \big( 1 + x^2 \sin y + y^2 \sin x \big)\,dA = 4\pi^2\]
bulunur. \(\blacksquare\)
Alıştırma 1.11 (Fubini Teoreminin Koşulu Neden Gerekli) \[f(x, y) = \frac{x - y}{(x + y)^3}\]
olsun. \(\displaystyle \int_0^1 \int_0^1 f(x, y)\,dy\,dx\) ve \(\displaystyle \int_0^1 \int_0^1 f(x, y)\,dx\,dy\) ardışık integrallerini hesaplayınız. Sonuç Fubini Teoremi ile çelişir mi?
Çözüm
Önce \(y\)’ye göre. \(0 < x \le 1\) sabit olsun. Payı \(x - y = 2x - (x + y)\) diye yazarsak
\[f(x, y) = \frac{2x}{(x + y)^3} - \frac{1}{(x + y)^2}\]
olur. \(y\)’ye göre türev alınarak doğrulanabileceği gibi bunun bir ilkeli \(-\dfrac{x}{(x + y)^2} + \dfrac{1}{x + y}\)’dir. Buna göre
\[ \begin{aligned} \int_0^1 f(x, y)\,dy &= \left[ -\frac{x}{(x + y)^2} + \frac{1}{x + y} \right]_{y=0}^{y=1} \\[1mm] &= -\frac{x}{(x + 1)^2} + \frac{1}{x + 1} - \left( -\frac{1}{x} + \frac{1}{x} \right) = \frac{1}{(x + 1)^2} \end{aligned} \]
bulunur. (\(x = 0\) için iç integral ıraksaktır; tek bir nokta dış integrali etkilemez.) Dış integral
\[\int_0^1 \int_0^1 f(x, y)\,dy\,dx = \int_0^1 \frac{dx}{(x + 1)^2} = \left[ -\frac{1}{x + 1} \right]_0^1 = -\frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{2}\]
olur.
Önce \(x\)’e göre. \(x\) ile \(y\)’nin yerini değiştirmek \(f\)’nin işaretini değiştirir: \(f(y, x) = -f(x, y)\). Bu yüzden yukarıdaki hesap, harflerin rolleri değiştirilerek, \(\int_0^1 f(x, y)\,dx = -\dfrac{1}{(y + 1)^2}\) verir ve
\[\int_0^1 \int_0^1 f(x, y)\,dx\,dy = -\int_0^1 \frac{dy}{(y + 1)^2} = -\frac{1}{2}\]
bulunur.
Yorum. İki ardışık integral farklıdır, ama bu Fubini Teoremi ile çelişmez. Teorem \(f\)’nin kapalı \(R = [0, 1] \times [0, 1]\) dikdörtgeninin her noktasında sürekli olmasını (genel hâlinde en azından sınırlı olmasını) ister. Buradaki \(f\) ise \((0, 0)\) noktasında tanımlı bile değildir ve bu noktanın yakınında sınırsızdır: örneğin \(f(x, 0) = x/x^3 = 1/x^2\), \(x \to 0^+\) iken sonsuza gider. Demek ki teoremin koşulu sağlanmıyor. Hatta \(f\), \(R\) üzerinde integrallenebilir de değildir: sol alt köşedeki alt dikdörtgende örnek noktayı \((x, 0)\) biçiminde ve \(x\)’i yeterince küçük seçerek Riemann toplamlarını istediğimiz kadar büyütebiliriz. \(\blacksquare\)
Alıştırma 1.12 (İntegralle Tanımlanan Fonksiyonun Karışık Türevleri) \(f\), \([a, b] \times [c, d]\) üzerinde sürekli olsun. \(a < x < b\) ve \(c < y < d\) için
\[g(x, y) = \int_a^x \int_c^y f(s, t)\,dt\,ds\]
tanımlansın. \(g_{xy} = g_{yx} = f(x, y)\) olduğunu gösteriniz.
Çözüm
Buradaki \(g_{xy} = (g_x)_y\), önce \(x\)’e sonra \(y\)’ye göre alınan karışık kısmi türevdir.
\(g_{xy}\). \(y\)’yi sabit tutalım ve \(\varphi(s) = \int_c^y f(s, t)\,dt\) diyelim. \(f\), \([a, b] \times [c, y]\) üzerinde sürekli olduğundan \(\varphi\), \([a, b]\) üzerinde süreklidir (bkz. Analiz 3). \(g(x, y) = \int_a^x \varphi(s)\,ds\) olduğundan, analizin ikinci temel teoremi (bkz. Analiz 2) gereği
\[g_x(x, y) = \varphi(x) = \int_c^y f(x, t)\,dt\]
olur. Şimdi \(x\)’i sabit tutalım. \(t \mapsto f(x, t)\) sürekli olduğundan aynı teorem bu kez \(y\)’ye göre uygulanır:
\[g_{xy}(x, y) = \frac{\partial}{\partial y} \int_c^y f(x, t)\,dt = f(x, y).\]
\(g_{yx}\). \(f\), \([a, x] \times [c, y]\) dikdörtgeninde sürekli olduğundan Fubini Teoremi integral sırasını değiştirmemize izin verir:
\[g(x, y) = \int_c^y \int_a^x f(s, t)\,ds\,dt.\]
Yukarıdaki akıl yürütmeyi \(x\) ile \(y\)’nin rolleri değiştirilerek tekrarlarsak önce \(g_y(x, y) = \int_a^x f(s, y)\,ds\), sonra \(g_{yx}(x, y) = f(x, y)\) bulunur.
Böylece \(g_{xy} = g_{yx} = f(x, y)\) olur. \(\blacksquare\)
Bu bölümde integral hep bir dikdörtgen üzerinde alındı. Uygulamada ise integrasyon bölgesi çoğu zaman bir daire, bir üçgen ya da iki eğri arasında kalan bir bölgedir. Bir sonraki bölümde iki katlı integrali böyle genel bölgelere genişletiyor ve ardışık integralin sınırlarının bu bölgelerde nasıl kurulduğunu görüyoruz: Genel Bölgelerde İki Katlı İntegraller.