14  Rotasyonel ve Diverjans

Tek değişkenli bir fonksiyonun türevi, fonksiyonun nasıl değiştiğini ölçer. Vektör alanları için de türeve benzeyen iki temel işlem vardır ve bu işlemler vektör analizinin akışkanlar mekaniği, elektrik ve manyetizma gibi uygulamalarında merkezî bir rol oynar. Birincisi olan rotasyonel, bir vektör alanından yeni bir vektör alanı üretir. İkincisi olan diverjans ise bir vektör alanından skaler bir fonksiyon üretir. Gradyanla birlikte bu iki işlem, birinci mertebe kısmi türevlerin vektör analizindeki üç temel biçimidir.

Bir akışkanın hız alanı düşünüldüğünde rotasyonel, bir noktanın çevresindeki akışkanın hangi eksen etrafında ve ne hızla döndüğünü ölçer. Diverjans ise o noktadan dışarı ne kadar akışkan aktığını ölçer. Bu bölümde iki işlemi tanımlayacak, aralarındaki iki temel özdeşliği ispatlayacak ve rotasyonelin bir alanın konservatif olup olmadığına nasıl karar verdiğini göreceğiz. Son olarak Green Teoremi’ni bu işlemlerle iki vektör biçiminde yazacağız; bu biçimler Stokes ve diverjans teoremlerinin düzlemdeki karşılıklarıdır. Rotasyonel için kullanılan İngilizce curl adını 1871’de James Clerk Maxwell önermiştir. Aynı işlem Türkçede ve birçok Avrupa dilinde \(\operatorname{rot} \mathbf{F}\) diye de yazılır.

import { PLOTLY, watchTheme, withAlpha, fmt, fmtTrim, planeLayout, field2d, path2d, arrowHeads2d, point2d, render } from "./ojs/scene3d.js"

Plotly = require(PLOTLY)

theme = Generators.observe(watchTheme)

14.1 Rotasyonel

Önce rotasyoneli bileşenlerle tanımlayalım, sonra onu akılda tutmanın kolay bir yolunu görelim.

Tanım 14.1 (Rotasyonel) \(\mathbf{F} = P\,\mathbf{i} + Q\,\mathbf{j} + R\,\mathbf{k}\), \(\mathbb{R}^3\)’ün açık bir \(E\) kümesinde tanımlı bir vektör alanı olsun (bkz. Tanım 10.1) ve \(P\), \(Q\), \(R\)’nin bütün birinci mertebe kısmi türevleri \(E\)’de var olsun. \(E\) üzerinde

\[ \operatorname{curl} \mathbf{F} = \left( \frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z} \right) \mathbf{i} + \left( \frac{\partial P}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial x} \right) \mathbf{j} + \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) \mathbf{k} \tag{1} \]

ile tanımlanan vektör alanına \(\mathbf{F}\)’nin rotasyoneli (curl) denir. \(\operatorname{rot} \mathbf{F}\) diye de yazılır.

Yani rotasyonelin her bileşeni iki “çapraz” kısmi türevin farkıdır. \(\mathbf{i}\) bileşeninde \(x\)’e göre türev hiç geçmez; yalnız \(R\)’nin \(y\)’ye ve \(Q\)’nun \(z\)’ye göre türevleri girer. \(\mathbf{j}\) ve \(\mathbf{k}\) bileşenleri, \(x \to y \to z \to x\) ve \(P \to Q \to R \to P\) döngüsel kaydırmasıyla elde edilir. Hiçbir bileşen kendi değişkenine göre türevlenmez: \(\partial P / \partial x\), \(\partial Q / \partial y\) ve \(\partial R / \partial z\) rotasyonelde yer almaz.

Formül (1)’i ezberlemenin kolay bir yolu vardır. Nabla (del) adı verilen vektör diferansiyel operatörünü

\[\nabla = \mathbf{i}\,\frac{\partial}{\partial x} + \mathbf{j}\,\frac{\partial}{\partial y} + \mathbf{k}\,\frac{\partial}{\partial z}\]

diye yazalım. Bu operatör skaler bir \(f\) fonksiyonuna uygulandığında \(f\)’nin gradyanını verir (bkz. Analiz 4):

\[\nabla f = \mathbf{i}\,\frac{\partial f}{\partial x} + \mathbf{j}\,\frac{\partial f}{\partial y} + \mathbf{k}\,\frac{\partial f}{\partial z} = \frac{\partial f}{\partial x}\,\mathbf{i} + \frac{\partial f}{\partial y}\,\mathbf{j} + \frac{\partial f}{\partial z}\,\mathbf{k}.\]

\(\nabla\)’yı bileşenleri \(\partial / \partial x\), \(\partial / \partial y\), \(\partial / \partial z\) olan biçimsel bir vektör gibi düşünürsek \(\mathbf{F}\) ile vektörel çarpımını da determinantla yazabiliriz:

\[ \begin{aligned} \nabla \times \mathbf{F} &= \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\[1mm] \dfrac{\partial}{\partial x} & \dfrac{\partial}{\partial y} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\[3mm] P & Q & R \end{vmatrix} \\[1mm] &= \left( \frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z} \right) \mathbf{i} - \left( \frac{\partial R}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial z} \right) \mathbf{j} + \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) \mathbf{k}. \end{aligned} \]

Determinantı birinci satıra göre açarken “çarpma” yerine türev alınır; örneğin \(\partial / \partial y\) ile \(R\)’nin “çarpımı” \(\partial R / \partial y\) demektir. Ortadaki eksi işareti parantezin içini \(\partial P / \partial z - \partial R / \partial x\) yapar ve (1) formülü elde edilir. Böylece

\[\operatorname{curl} \mathbf{F} = \nabla \times \mathbf{F} \tag{2}\]

yazabiliriz. Rotasyoneli hesaplamanın en pratik yolu bu determinantı açmaktır.

Örnek 14.1 (Bir Rotasyonel Hesabı) \(\mathbf{F}(x, y, z) = xz\,\mathbf{i} + xyz\,\mathbf{j} - y^2\,\mathbf{k}\) alanının rotasyonelini bulunuz.

Çözüm

Bileşenler \(P = xz\), \(Q = xyz\) ve \(R = -y^2\)’dir. (2) formülündeki determinantı birinci satıra göre açalım:

\[ \begin{aligned} \operatorname{curl} \mathbf{F} &= \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\[1mm] \dfrac{\partial}{\partial x} & \dfrac{\partial}{\partial y} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\[3mm] xz & xyz & -y^2 \end{vmatrix} \\[1mm] &= \left[ \frac{\partial}{\partial y}(-y^2) - \frac{\partial}{\partial z}(xyz) \right] \mathbf{i} - \left[ \frac{\partial}{\partial x}(-y^2) - \frac{\partial}{\partial z}(xz) \right] \mathbf{j} \\[1mm] &\quad + \left[ \frac{\partial}{\partial x}(xyz) - \frac{\partial}{\partial y}(xz) \right] \mathbf{k}. \end{aligned} \]

Türevleri tek tek hesaplarsak

\[ \begin{aligned} \operatorname{curl} \mathbf{F} &= (-2y - xy)\,\mathbf{i} - (0 - x)\,\mathbf{j} + (yz - 0)\,\mathbf{k} \\[1mm] &= -y(2 + x)\,\mathbf{i} + x\,\mathbf{j} + yz\,\mathbf{k} \end{aligned} \]

bulunur.

\(\blacksquare\)

14.2 Rotasyonel ve Konservatif Alanlar

İkinci mertebe kısmi türevleri sürekli bir fonksiyonun gradyan alanının rotasyoneli sıfırdır. Bu basit gözlem, bir alanın konservatif olmadığını göstermenin en hızlı yoludur. Alan bütün \(\mathbb{R}^3\)’te tanımlı ve bileşenlerinin birinci mertebe kısmi türevleri sürekliyse tersi de doğrudur.

Teorem 14.1 (Gradyanın Rotasyoneli) \(f\), \(\mathbb{R}^3\)’ün açık bir \(E\) kümesinde tanımlı ve ikinci mertebe kısmi türevleri \(E\)’de sürekli olan üç değişkenli bir fonksiyon olsun. Bu durumda \(E\) üzerinde

\[\operatorname{curl} (\nabla f) = \mathbf{0}\]

olur.

İspat

\(\nabla f = f_x\,\mathbf{i} + f_y\,\mathbf{j} + f_z\,\mathbf{k}\) olduğundan (2) formülüyle

\[ \begin{aligned} \operatorname{curl} (\nabla f) &= \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\[1mm] \dfrac{\partial}{\partial x} & \dfrac{\partial}{\partial y} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\[3mm] \dfrac{\partial f}{\partial x} & \dfrac{\partial f}{\partial y} & \dfrac{\partial f}{\partial z} \end{vmatrix} \\[1mm] &= \left( \frac{\partial^2 f}{\partial y\,\partial z} - \frac{\partial^2 f}{\partial z\,\partial y} \right) \mathbf{i} + \left( \frac{\partial^2 f}{\partial z\,\partial x} - \frac{\partial^2 f}{\partial x\,\partial z} \right) \mathbf{j} \\[1mm] &\quad + \left( \frac{\partial^2 f}{\partial x\,\partial y} - \frac{\partial^2 f}{\partial y\,\partial x} \right) \mathbf{k} \end{aligned} \]

bulunur; burada \(\dfrac{\partial^2 f}{\partial y\,\partial z} = \dfrac{\partial}{\partial y}\left( \dfrac{\partial f}{\partial z} \right)\) anlamındadır. Üçüncü değişken sabit tutulduğunda \(f\), kalan iki değişkenin ikinci mertebe kısmi türevleri sürekli bir fonksiyonudur. Bu yüzden Clairaut Teoremi’ne göre (bkz. Analiz 4) her parantezdeki iki karışık türev birbirine eşittir. Sonuç olarak

\[\operatorname{curl} (\nabla f) = 0\,\mathbf{i} + 0\,\mathbf{j} + 0\,\mathbf{k} = \mathbf{0}\]

olur.

\(\blacksquare\)

Bu sonuç, her \(\mathbf{a}\) vektörü için \(\mathbf{a} \times \mathbf{a} = \mathbf{0}\) olmasını andırır: \(\nabla \times (\nabla f)\) ifadesinde de “aynı vektör” kendisiyle çarpılmaktadır. Konservatif bir alan bir fonksiyonun gradyanı olduğundan teoremi şöyle de söyleyebiliriz.

Sonuç 14.1 (Konservatif Alanın Rotasyoneli) \(\mathbf{F} = P\,\mathbf{i} + Q\,\mathbf{j} + R\,\mathbf{k}\), açık bir \(E\) kümesinde konservatif (bkz. Tanım 10.4) ve \(P\), \(Q\), \(R\)’nin birinci mertebe kısmi türevleri \(E\)’de sürekli olsun. Bu durumda \(E\) üzerinde \(\operatorname{curl} \mathbf{F} = \mathbf{0}\)’dır.

İspat

\(\mathbf{F}\) konservatif olduğundan \(E\)’de \(\mathbf{F} = \nabla f\) olacak bir \(f\) potansiyel fonksiyonu vardır. Buna göre \(f_x = P\), \(f_y = Q\) ve \(f_z = R\)’dir. \(P\), \(Q\), \(R\)’nin birinci mertebe kısmi türevleri sürekli olduğundan \(f\)’nin bütün ikinci mertebe kısmi türevleri de süreklidir. Teorem 14.1 ile \(\operatorname{curl} \mathbf{F} = \operatorname{curl} (\nabla f) = \mathbf{0}\) elde edilir.

\(\blacksquare\)

Yani rotasyoneli tek bir noktada bile sıfırdan farklı olan bir alan konservatif olamaz. Bu, bir alanın konservatif olmadığını göstermenin pratik bir yoludur.

Örnek 14.2 (Konservatif Olmayan Bir Alan) \(\mathbf{F}(x, y, z) = xz\,\mathbf{i} + xyz\,\mathbf{j} - y^2\,\mathbf{k}\) alanının konservatif olmadığını gösteriniz.

Çözüm

Bu alanın rotasyonelini Örnek 14.1 içinde hesapladık:

\[\operatorname{curl} \mathbf{F} = -y(2 + x)\,\mathbf{i} + x\,\mathbf{j} + yz\,\mathbf{k}.\]

Örneğin \((1, 0, 0)\) noktasında \(\operatorname{curl} \mathbf{F} = 0\,\mathbf{i} + 1\,\mathbf{j} + 0\,\mathbf{k} = \mathbf{j} \ne \mathbf{0}\)’dır. Bileşenler polinom olduğundan kısmi türevleri her yerde süreklidir. \(\mathbf{F}\) konservatif olsaydı Sonuç 14.1 gereği rotasyoneli her yerde \(\mathbf{0}\) olurdu. Bu yüzden \(\mathbf{F}\) konservatif değildir.

\(\blacksquare\)

Sonuç 14.1 ifadesinin tersi genel olarak doğru değildir. Ancak alan bütün \(\mathbb{R}^3\)’te tanımlı ve bileşenlerinin birinci mertebe kısmi türevleri sürekliyse ters yön de doğrudur. Aşağıdaki teorem, düzlemdeki konservatiflik ölçütünün (Teorem 12.5) üç boyutlu karşılığıdır. Tanım kümesi basit bağlantılı olduğunda, yani kabaca içindeki her kapalı eğri kümeden çıkmadan bir noktaya büzülebildiğinde de sonuç doğrudur; bu genel hâlin ispatı Stokes Teoremi gerektirir.

Teorem 14.2 (Rotasyoneli Sıfır Olan Alan Konservatiftir) \(\mathbf{F} = P\,\mathbf{i} + Q\,\mathbf{j} + R\,\mathbf{k}\) bütün \(\mathbb{R}^3\)’te tanımlı ve \(P\), \(Q\), \(R\)’nin birinci mertebe kısmi türevleri \(\mathbb{R}^3\)’te sürekli bir vektör alanı olsun. \(\operatorname{curl} \mathbf{F} = \mathbf{0}\) ise \(\mathbf{F}\) konservatiftir.

İspat

\(\operatorname{curl} \mathbf{F} = \mathbf{0}\) koşulu, (1) formülüne göre her noktada şu üç eşitlik demektir:

\[\frac{\partial R}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial z}, \qquad \frac{\partial P}{\partial z} = \frac{\partial R}{\partial x}, \qquad \frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial P}{\partial y}.\]

Potansiyel fonksiyonu açıkça kuracağız. Her \((x, y, z)\) için

\[f(x, y, z) = \int_0^x P(t, 0, 0)\,dt + \int_0^y Q(x, t, 0)\,dt + \int_0^z R(x, y, t)\,dt\]

diyelim. Bir üst sınır negatifse \(\int_0^y = -\int_y^0\) diye anlaşılır; aşağıdaki kurallar bu durumda da geçerlidir. Geometrik olarak \(f(x, y, z)\), \(\mathbf{F}\)’nin orijinden (şekilde O) \((x, y, z)\) noktasına eksenlere paralel üç doğru parçası boyunca alınan eğrisel integralidir:

Potansiyel, orijinden (O) (x, y, z) noktasına eksenlere paralel üç doğru parçası boyunca toplanır: C₁ üzerinde yalnız x, C₂ üzerinde yalnız y, C₃ üzerinde yalnız z değişir; bu yüzden sırasıyla yalnız P, Q ve R katkı verir.

İspatta iki araç kullanacağız. Birincisi, sürekli bir fonksiyonun integralinin değişken üst sınırına göre türevinin integrandın o noktadaki değeri olmasıdır (bkz. Analiz 2). İkincisi integral işareti altında türevdir: integrand ve parametreye göre kısmi türevi sürekliyse, parametreye göre türev integralin içine girer (bkz. Analiz 3). \(P\), \(Q\), \(R\) ve kısmi türevleri sürekli olduğundan iki araç da her terime uygulanabilir. Şimdi \(\nabla f = \mathbf{F}\) olduğunu üç adımda gösterelim.

Adım 1: \(f_z = R\). İlk iki terim \(z\)’ye bağlı değildir. Üçüncü terime birinci aracı uygularsak

\[\frac{\partial f}{\partial z}(x, y, z) = R(x, y, z)\]

olur.

Adım 2: \(f_y = Q\). İlk terim \(y\)’ye bağlı değildir. İkinci terimin \(y\)’ye göre türevi birinci araçla \(Q(x, y, 0)\)’dır. Üçüncü terimde \(y\) bir parametredir; ikinci aracı ve \(\partial R / \partial y = \partial Q / \partial z\) eşitliğini kullanırsak

\[\frac{\partial}{\partial y} \int_0^z R(x, y, t)\,dt = \int_0^z \frac{\partial R}{\partial y}(x, y, t)\,dt = \int_0^z \frac{\partial Q}{\partial z}(x, y, t)\,dt\]

olur. Son integral, Newton–Leibniz formülüyle (bkz. Analiz 2) \(Q(x, y, z) - Q(x, y, 0)\)’a eşittir. Toplarsak

\[\frac{\partial f}{\partial y}(x, y, z) = Q(x, y, 0) + Q(x, y, z) - Q(x, y, 0) = Q(x, y, z)\]

bulunur.

Adım 3: \(f_x = P\). İlk terimin \(x\)’e göre türevi birinci araçla \(P(x, 0, 0)\)’dır. Kalan iki terimde \(x\) bir parametredir. İkinci araç ile \(\partial Q / \partial x = \partial P / \partial y\) ve \(\partial R / \partial x = \partial P / \partial z\) eşitliklerini kullanırsak

\[ \begin{aligned} \frac{\partial}{\partial x} \int_0^y Q(x, t, 0)\,dt &= \int_0^y \frac{\partial P}{\partial y}(x, t, 0)\,dt = P(x, y, 0) - P(x, 0, 0), \\[1mm] \frac{\partial}{\partial x} \int_0^z R(x, y, t)\,dt &= \int_0^z \frac{\partial P}{\partial z}(x, y, t)\,dt = P(x, y, z) - P(x, y, 0) \end{aligned} \]

olur; son eşitlikler yine Newton–Leibniz formülünden gelir. Üç türevi toplarsak

\[\frac{\partial f}{\partial x} = P(x, 0, 0) + \big[ P(x, y, 0) - P(x, 0, 0) \big] + \big[ P(x, y, z) - P(x, y, 0) \big] = P(x, y, z)\]

bulunur.

Böylece \(\nabla f = P\,\mathbf{i} + Q\,\mathbf{j} + R\,\mathbf{k} = \mathbf{F}\) olur, yani \(\mathbf{F}\) konservatiftir ve \(f\) onun bir potansiyel fonksiyonudur.

\(\blacksquare\)

UyarıTanım kümesi koşulu atlanamaz

\(z\) ekseni dışındaki noktalar kümesi \(E = \{(x, y, z) : x^2 + y^2 \ne 0\}\) üzerinde

\[\mathbf{F}(x, y, z) = \frac{-y\,\mathbf{i} + x\,\mathbf{j}}{x^2 + y^2}\]

alanını düşünelim. \(R = 0\) ve \(P\), \(Q\) \(z\)’ye bağlı olmadığından rotasyonelin yalnız \(\mathbf{k}\) bileşeni kalır ve

\[\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{y^2 - x^2}{(x^2 + y^2)^2} - \frac{y^2 - x^2}{(x^2 + y^2)^2} = 0\]

olduğundan \(E\) üzerinde \(\operatorname{curl} \mathbf{F} = \mathbf{0}\)’dır. Öte yandan \(xy\)-düzlemindeki birim çember \(\mathbf{r}(t) = \cos t\,\mathbf{i} + \sin t\,\mathbf{j}\), \(0 \le t \le 2\pi\) boyunca \(\mathbf{F}(\mathbf{r}(t)) \cdot \mathbf{r}'(t) = \sin^2 t + \cos^2 t = 1\) olduğundan

\[\oint_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \int_0^{2\pi} 1\,dt = 2\pi \ne 0\]

bulunur. Konservatif bir alanın kapalı eğri üzerindeki integrali \(0\) olacağından (Teorem 12.1) \(\mathbf{F}\), \(E\) üzerinde konservatif değildir. Sorun \(E\)’nin bir “deliği” olmasıdır: \(z\) ekseni kümeden çıkarılmıştır ve birim çember \(E\)’den çıkmadan bir noktaya büzülemez.

Rotasyonelin sıfır olduğunu gördükten sonra potansiyeli bulmak için kısmi integrallerle çalışırız. Yöntemi bir reçete olarak özetleyelim.

İpucuKonservatiflik testi ve potansiyel üç adımda

1. Rotasyoneli hesapla. \(\operatorname{curl} \mathbf{F} \ne \mathbf{0}\) olan bir nokta varsa \(\mathbf{F}\) konservatif değildir (Sonuç 14.1).
2. Tanım kümesine bak. \(\operatorname{curl} \mathbf{F} = \mathbf{0}\) ise ve \(\mathbf{F}\) bütün \(\mathbb{R}^3\)’te tanımlı, bileşenlerinin kısmi türevleri sürekliyse \(\mathbf{F}\) konservatiftir (Teorem 14.2).
3. Potansiyeli bul. \(f_x = P\) eşitliğini \(x\)’e göre integralleyip \(f = \int P\,dx + g(y, z)\) yaz. Bunu \(y\)’ye göre türevleyip \(Q\) ile karşılaştırarak \(g\)’yi belirle, sonra \(z\)’ye göre türevleyip \(R\) ile karşılaştırarak kalan fonksiyonu bul. Sonuca rastgele bir sabit eklenebilir.

Örnek 14.3 (Konservatif Olduğunun Gösterilmesi) Aşağıdaki alanın konservatif olduğunu gösteriniz:

\[\mathbf{F}(x, y, z) = y^2 z^3\,\mathbf{i} + 2xyz^3\,\mathbf{j} + 3xy^2 z^2\,\mathbf{k}.\]

Çözüm

Bileşenler \(P = y^2 z^3\), \(Q = 2xyz^3\) ve \(R = 3xy^2 z^2\)’dir. Rotasyonelin bileşenlerini (1) formülüyle hesaplayalım:

\[ \begin{aligned} \frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z} &= 6xyz^2 - 6xyz^2 = 0, \\[1mm] \frac{\partial P}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial x} &= 3y^2 z^2 - 3y^2 z^2 = 0, \\[1mm] \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} &= 2yz^3 - 2yz^3 = 0. \end{aligned} \]

Demek ki \(\operatorname{curl} \mathbf{F} = \mathbf{0}\)’dır. \(\mathbf{F}\) bütün \(\mathbb{R}^3\)’te tanımlıdır ve bileşenleri polinom olduğundan kısmi türevleri süreklidir. Teorem 14.2 gereği \(\mathbf{F}\) konservatiftir.

\(\blacksquare\)

Örnek 14.4 (Potansiyel Fonksiyonun Bulunması) Örnek 14.3 içindeki

\[\mathbf{F}(x, y, z) = y^2 z^3\,\mathbf{i} + 2xyz^3\,\mathbf{j} + 3xy^2 z^2\,\mathbf{k}\]

alanı için \(\mathbf{F} = \nabla f\) olacak bir \(f\) fonksiyonu bulunuz.

Çözüm

\(\nabla f = \mathbf{F}\) eşitliği bileşenlerde şu üç denklemi verir:

\[f_x(x, y, z) = y^2 z^3, \tag{3}\]

\[f_y(x, y, z) = 2xyz^3, \tag{4}\]

\[f_z(x, y, z) = 3xy^2 z^2. \tag{5}\]

Önce (3) eşitliğini \(x\)’e göre integralleyelim. \(y\) ve \(z\) sabit tutulduğundan integral sabiti \(y\) ile \(z\)’ye bağlı olabilir:

\[f(x, y, z) = xy^2 z^3 + g(y, z).\]

Bunu \(y\)’ye göre türevlersek \(f_y = 2xyz^3 + g_y(y, z)\) olur. (4) ile karşılaştırınca \(g_y(y, z) = 0\) bulunur, yani \(g\) yalnız \(z\)’ye bağlıdır: \(g(y, z) = h(z)\). Şimdi

\[f(x, y, z) = xy^2 z^3 + h(z), \qquad f_z(x, y, z) = 3xy^2 z^2 + h'(z)\]

olur. (5) ile karşılaştırınca \(h'(z) = 0\), yani \(h(z) = K\) sabittir. Sonuç olarak

\[f(x, y, z) = xy^2 z^3 + K\]

bulunur. Gerçekten

\[\nabla (xy^2 z^3) = y^2 z^3\,\mathbf{i} + 2xyz^3\,\mathbf{j} + 3xy^2 z^2\,\mathbf{k} = \mathbf{F}\]

olur. Aynı sonucu Teorem 14.2 ispatındaki formül de verir. \(P(t, 0, 0) = 0\) ve \(Q(x, t, 0) = 0\) olduğundan

\[f(x, y, z) = 0 + 0 + \int_0^z 3xy^2 t^2\,dt = xy^2 z^3\]

olur.

\(\blacksquare\)

14.3 Rotasyonelin Fiziksel Anlamı

Rotasyonel (“dönmeyle ilgili”) ve curl (“kıvrılma”) adları, bu vektörün dönme hareketiyle ilişkisinden gelir. İlişkiyi bir akışkan üzerinden anlatalım.

\(\mathbf{F}\) bir akışkanın hız alanı olsun; yani her noktada \(\mathbf{F}\), o noktadaki akışkan parçacığının hız vektörü olsun. \((x, y, z)\) noktasının yakınındaki parçacıklar, \(\operatorname{curl} \mathbf{F}(x, y, z)\) vektörü doğrultusundaki eksen etrafında dönme eğilimindedir. Dönme yönü sağ el kuralıyla belirlenir: sağ elin başparmağı \(\operatorname{curl} \mathbf{F}\) yönünü gösterirse öteki parmaklar dönme yönünde kıvrılır. Başka bir deyişle, vektörün ucundan bakıldığında dönme saatin tersi yönündedir. \(\operatorname{curl} \mathbf{F}\)’nin uzunluğu ise dönmenin ne kadar hızlı olduğunu ölçer. Örneğin sabit \(\omega\) açısal hızıyla dönen bir cismin hız alanının rotasyoneli, dönme ekseni doğrultusunda ve uzunluğu \(2\omega\) olan bir vektördür (bkz. Alıştırma 14.12).

Hız alanı F olan bir akışkanda (x, y, z) noktasının yakınındaki parçacıklar, curl F(x, y, z) doğrultusundaki eksen etrafında döner. Vektörün ucundan bakıldığında dönme saatin tersi yönündedir (sağ el kuralı); vektörün uzunluğu dönmenin hızını ölçer.

Bu yorumun düzlem akışları için gerekçesini bölümün sonunda (Sonuç 14.2), genel hâlini ise Stokes Teoremi bölümünde göreceğiz. Rotasyoneli sıfır olan noktalara özel bir ad verilir.

Tanım 14.2 (Dönmesiz Alan) \(\mathbf{F}\) bir \(A\) noktasında \(\operatorname{curl} \mathbf{F}(A) = \mathbf{0}\) sağlıyorsa \(\mathbf{F}\)’ye \(A\) noktasında dönmesiz (irrotational) denir. \(\mathbf{F}\) bir kümenin her noktasında dönmesizse o kümede dönmesiz alan adını alır.

Yani dönmesiz bir akışta akışkan, noktaların çevresinde girdap yapmaz. Bunu akışkana bırakılan küçük bir kürekli çarkla düşünebiliriz. \(\operatorname{curl} \mathbf{F} = \mathbf{0}\) olan yerde çark akışla birlikte sürüklenir ama kendi ekseni etrafında dönmez. \(\operatorname{curl} \mathbf{F} \ne \mathbf{0}\) olan yerde ise ekseni etrafında döner. Teorem 14.1, ikinci mertebe kısmi türevleri sürekli olan her fonksiyonun gradyan alanının dönmesiz olduğunu söyler.

Düzlemde akan bir akışkanı düşünelim: \(\mathbf{F} = P(x, y)\,\mathbf{i} + Q(x, y)\,\mathbf{j}\) olsun, yani alan \(z\)’den bağımsız ve \(z\)-bileşeni \(0\) olsun. Bu durumda (1) formülünde \(R = 0\) ve \(\partial P / \partial z = \partial Q / \partial z = 0\) olduğundan

\[\operatorname{curl} \mathbf{F} = \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) \mathbf{k}\]

bulunur. Rotasyonel her yerde \(\mathbf{k}\)’ye paraleldir. \(\partial Q / \partial x - \partial P / \partial y > 0\) olan yerde çark (yukarıdan bakınca) saatin tersi yönünde, negatif olan yerde saat yönünde döner.

Aşağıdaki şeklin (a) panelinde \(\mathbf{F} = \sin y\,\mathbf{i} + \cos x\,\mathbf{j}\) için \(\operatorname{curl} \mathbf{F} = -(\sin x + \cos y)\,\mathbf{k}\)’dir. \(A_1 = (-\pi/2, \pi/2)\) noktasında \(\operatorname{curl} \mathbf{F} = -(-1 + 0)\,\mathbf{k} = \mathbf{k}\) olur. Oradaki akışkan sağa doğru akar, ama hızın düşey bileşeni \(\cos x\), \(A_1\)’in solunda aşağı, sağında yukarı doğrudur; bu yüzden çark saatin tersi yönünde döner. \(A_2 = (\pi/2, \pi/2)\) noktasında durum tersinedir: \(\operatorname{curl} \mathbf{F} = -\mathbf{k}\)’dir ve çark saat yönünde döner. (b) panelindeki \(\mathbf{F} = 2xy\,\mathbf{i} + (x^2 + y)\,\mathbf{j}\) alanı ise her yerde dönmesizdir, çünkü \(\partial Q / \partial x - \partial P / \partial y = 2x - 2x = 0\)’dır.

İki düzlem akışı (alanlar z'den bağımsızdır, z-bileşenleri 0'dır). (a) A₁ = (−π/2, π/2) noktasında curl F = k olduğundan buraya konan küçük çark saatin tersi yönünde, A₂ = (π/2, π/2) noktasında curl F = −k olduğundan saat yönünde döner. (b) Her yerde curl F = 0 olduğundan A noktasındaki çark akışla birlikte sürüklenir ama kendi ekseni etrafında dönmez.

Etkileşimli sahne: çark, rotasyonelin işaretine göre döner. Açılır listeden şekildeki iki alandan birini ya da birazdan göreceğimiz kayma akışını (Örnek 14.5) seçin. \(x_0\) ve \(y_0\) kaydırıcıları çarkı taşır, \(\varepsilon\) de çarkın yarıçapıdır. (a) alanında konum kaydırıcıları koordinatı \(\pi\) biriminde verir; başlangıçtaki \(-0{,}5\) ve \(0{,}5\) değerleri \(A_1 = (-\pi/2, \pi/2)\) noktasıdır. Çarkın çemberi üzerindeki kısa oklar, \(\mathbf{F}\)’nin çembere teğet bileşenleridir; çark, bu bileşenlerin ağır bastığı yöne döner. Değer satırı \(\operatorname{curl} \mathbf{F} \cdot \mathbf{k}\) değerini ve dönme yönünü verir: \(A_1\)’de \(1\), \(A_2 = (\pi/2, \pi/2)\) noktasında \(-1\), (b) alanında her yerde \(0\), kayma akışında her yerde \(-1\). İkinci satırdaki dolanım, \(\mathbf{F}\)’nin teğet bileşeninin çember boyunca integralidir; satır bunun dairenin alanına oranını verir. \(A_1\)’de bu oran \(\varepsilon = 0{,}4\) için \(0{,}980\), \(\varepsilon = 0{,}05\) için \(1{,}000\) olur, yani \(\varepsilon\) küçüldükçe \(\operatorname{curl} \mathbf{F} \cdot \mathbf{k}\) değerine yaklaşır. Bunun nedenini bölümün sonunda göreceğiz (Sonuç 14.2).

rotWheelFields = ({
  wave: {
    label: "(a) sin y i + cos x j",
    F: (x, y) => [Math.sin(y), Math.cos(x)],
    curl: (x, y) => -(Math.sin(x) + Math.cos(y)),
    box: [-3.3, 3.3, -3.3, 3.3],
    grid: [[(-7 * Math.PI) / 8, (7 * Math.PI) / 8], [(-7 * Math.PI) / 8, (7 * Math.PI) / 8], 8, 8],
    piUnits: true,
    xr: [-1, 1],
    yr: [-1, 1],
    start: [-0.5, 0.5],
    eps: [0.05, 1],
    eps0: 0.4
  },
  gradient: {
    label: "(b) 2xy i + (x² + y) j",
    F: (x, y) => [2 * x * y, x * x + y],
    // dQ/dx - dP/dy = 2x - 2x
    curl: () => 0,
    box: [-1.6, 1.6, -1.6, 1.6],
    grid: [[-1.4, 1.4], [-1.4, 1.4], 8, 8],
    piUnits: false,
    xr: [-1.5, 1.5],
    yr: [-1.5, 1.5],
    start: [-0.8, 1.2],
    eps: [0.05, 0.5],
    eps0: 0.2
  },
  shear: {
    label: "kayma akışı: y i",
    F: (x, y) => [y, 0],
    curl: () => -1,
    box: [-2, 2, 0, 3],
    grid: [[-1.75, 1.75], [0.25, 2.75], 8, 6],
    piUnits: false,
    xr: [-1.5, 1.5],
    yr: [0.5, 2.5],
    start: [0, 1.5],
    eps: [0.05, 0.5],
    eps0: 0.3
  }
})

viewof rotWheelField = Inputs.select(Object.keys(rotWheelFields), { value: "wave", label: "alan", format: (key) => rotWheelFields[key].label })

viewof rotWheelPoint = {
  const field = rotWheelFields[rotWheelField];
  const unit = field.piUnits ? " / π" : "";
  return Inputs.form({
    x: Inputs.range(field.xr, { value: field.start[0], step: 0.05, label: `x₀${unit}` }),
    y: Inputs.range(field.yr, { value: field.start[1], step: 0.05, label: `y₀${unit}` }),
    eps: Inputs.range(field.eps, { value: field.eps0, step: 0.05, label: "ε" }),
    tangent: Inputs.toggle({ value: true, label: "teğetler" })
  });
}

rotWheelPlot = html`<div class="scene3d" role="img" aria-label="Duzlem akisi ve kucuk bir cark: secilen alanin oklari, (x0, y0) noktasinda yaricapi epsilon olan cark, alanin cark cemberine teget bilesenleri ve curl F . k isaretine gore carkin donme yonu"></div>`

{
  const field = rotWheelFields[rotWheelField];
  const { x, y, eps, tangent } = rotWheelPoint;
  const unit = field.piUnits ? Math.PI : 1;
  const x0 = x * unit;
  const y0 = y * unit;
  const [xa, xb, ya, yb] = field.box;
  const [gx, gy, nx, ny] = field.grid;
  // One length scale for the field arrows and the tangential components, so the two compare.
  const spread = (a, b, k) => Array.from({ length: k }, (_, i) => a + ((b - a) * i) / (k - 1));
  const spacing = Math.min((gx[1] - gx[0]) / (nx - 1), (gy[1] - gy[0]) / (ny - 1));
  let longest = 1e-12;
  for (const px of spread(gx[0], gx[1], nx)) {
    for (const py of spread(gy[0], gy[1], ny)) longest = Math.max(longest, Math.hypot(...field.F(px, py)));
  }
  const scale = (0.8 * spacing) / longest;
  const head = 0.03 * (xb - xa);
  // Several plane arrows in one line trace: a shaft and a two-stroke head each.
  const arrowTrace = (starts, vectors, color, name) => {
    const X = [];
    const Y = [];
    const c = Math.cos(0.45);
    const s = Math.sin(0.45);
    starts.forEach((p, k) => {
      const v = vectors[k];
      const length = Math.hypot(v[0], v[1]);
      if (length < 1e-9) return;
      const ux = v[0] / length;
      const uy = v[1] / length;
      const tip = [p[0] + v[0], p[1] + v[1]];
      const h = Math.min(head, 0.45 * length);
      X.push(p[0], tip[0], null, tip[0] + h * (-ux * c + uy * s), tip[0], tip[0] + h * (-ux * c - uy * s), null);
      Y.push(p[1], tip[1], null, tip[1] + h * (-ux * s - uy * c), tip[1], tip[1] + h * (ux * s - uy * c), null);
    });
    return { type: "scatter", mode: "lines", x: X, y: Y, line: { color, width: 2.5 }, name, showlegend: Boolean(name), hoverinfo: "skip" };
  };
  const rim = (t) => [x0 + eps * Math.cos(t), y0 + eps * Math.sin(t)];
  // Tangential components (F . T) T at twelve points of the wheel's rim.
  const starts = [];
  const parts = [];
  for (let k = 0; k < 12; k++) {
    const a = (2 * Math.PI * k) / 12;
    const p = rim(a);
    const T = [-Math.sin(a), Math.cos(a)];
    const [P, Q] = field.F(p[0], p[1]);
    const along = P * T[0] + Q * T[1];
    starts.push(p);
    parts.push([along * T[0] * scale, along * T[1] * scale]);
  }
  // Circulation around the rim (periodic trapezoid rule, exact to rounding for these fields).
  const samples = 720;
  let circulation = 0;
  for (let k = 0; k < samples; k++) {
    const a = (2 * Math.PI * k) / samples;
    const [P, Q] = field.F(...rim(a));
    circulation += (-P * Math.sin(a) + Q * Math.cos(a)) * eps;
  }
  circulation *= (2 * Math.PI) / samples;
  const density = circulation / (Math.PI * eps * eps);
  const g = field.curl(x0, y0);
  const turning = Math.abs(g) > 1e-9;
  const sense = g > 0 ? 1 : -1;
  const radius = 1.4 * eps;
  const arc = (t) => [x0 + radius * Math.cos(0.3 + sense * t), y0 + radius * Math.sin(0.3 + sense * t)];
  const spokes = { type: "scatter", mode: "lines", x: [], y: [], line: { color: theme.practice, width: 2.5 }, showlegend: false, hoverinfo: "skip" };
  for (let k = 0; k < 4; k++) {
    const a = Math.PI / 4 + (k * Math.PI) / 2;
    spokes.x.push(x0, x0 + eps * Math.cos(a), null);
    spokes.y.push(y0, y0 + eps * Math.sin(a), null);
  }
  const traces = [
    field2d(field.F, gx, gy, [nx, ny], withAlpha(theme.theory, 0.8), { scale, head, name: "F" }),
    path2d(rim, 0, 2 * Math.PI, theme.practice, "çark", { width: 2.5 }),
    spokes,
    point2d([x0, y0], theme.practice, undefined, { size: 6 })
  ];
  if (turning) {
    traces.push(
      path2d(arc, 0, 4.4, theme.practice, undefined, { width: 2, dash: "dot" }),
      arrowHeads2d(arc, 0, 4.4, 2, theme.practice, { size: Math.min(0.6 * radius, 0.05 * (xb - xa)) })
    );
  }
  if (tangent) traces.push(arrowTrace(starts, parts, theme.base, "teğet bileşen"));
  render(Plotly, rotWheelPlot, traces, planeLayout(theme, { x: [xa, xb], y: [ya, yb], revision: rotWheelField }));
  // Coordinates: multiples of pi for field (a), plain numbers otherwise.
  const piText = (k) => {
    if (Math.abs(k) < 1e-9) return "0";
    for (const d of [1, 2, 4]) {
      const n = Math.round(k * d);
      if (Math.abs(k * d - n) < 1e-6) return `${n < 0 ? "−" : ""}${Math.abs(n) === 1 ? "" : Math.abs(n)}π${d === 1 ? "" : "/" + d}`;
    }
    return `${fmtTrim(k, 2)}π`;
  };
  const coords = field.piUnits ? [piText(x), piText(y)] : [fmtTrim(x0, 2), fmtTrim(y0, 2)];
  const where = coords.some((text) => text.includes(",")) ? `(${coords[0]}; ${coords[1]})` : `(${coords[0]}, ${coords[1]})`;
  const [P0, Q0] = field.F(x0, y0);
  const turn = !turning ? "dönmez" : g > 0 ? "saatin tersi yönünde döner" : "saat yönünde döner";
  return html`<div class="scene3d-readout">(x₀, y₀) = ${where} &nbsp;·&nbsp; F(x₀, y₀) = (${fmt(P0, 2)}; ${fmt(Q0, 2)}) &nbsp;·&nbsp; curl F · k = ${fmt(g, 3)}: çark ${turn}<br>ε = ${fmtTrim(eps, 2)} &nbsp;·&nbsp; dolanım / (πε²) = ${fmt(density, 3)}</div>`;
}

Akış çizgileri düz olsa bile alan dönmesiz olmayabilir. Aşağıdaki ısınma örneği bunu gösteriyor.

Örnek 14.5 (Kayma Akışı) Bir kanalda suyun hızı, bir kıyıdan uzaklaştıkça doğrusal olarak artsın: \(\mathbf{F}(x, y, z) = y\,\mathbf{i}\), \(y > 0\). Akışa bırakılan küçük bir çarkın hangi yönde döndüğünü bulunuz.

Çözüm

Bileşenler \(P = y\), \(Q = 0\) ve \(R = 0\)’dır. (1) formülüyle

\[\operatorname{curl} \mathbf{F} = (0 - 0)\,\mathbf{i} + (0 - 0)\,\mathbf{j} + \left( 0 - \frac{\partial y}{\partial y} \right) \mathbf{k} = -\mathbf{k}\]

bulunur. Rotasyonel sıfırdan farklı olduğundan çark döner. Rotasyonel \(-\mathbf{k}\) yönünde olduğundan, sağ el kuralına göre çark yukarıdan bakınca saat yönünde döner. Bunun fiziksel nedeni açıktır: çarkın üst kanatlarına (daha büyük \(y\)) çarpan su, alt kanatlarına çarpandan daha hızlı sağa akar. Akış çizgileri düz doğrular olduğu hâlde alan hiçbir noktada dönmesiz değildir.

\(\blacksquare\)

14.4 Diverjans

Rotasyonel bir vektör alanı üretiyordu. İkinci işlem ise bir vektör alanından skaler bir fonksiyon üretir.

Tanım 14.3 (Diverjans) \(\mathbf{F} = P\,\mathbf{i} + Q\,\mathbf{j} + R\,\mathbf{k}\), \(\mathbb{R}^3\)’ün açık bir \(E\) kümesinde tanımlı bir vektör alanı olsun ve \(\partial P / \partial x\), \(\partial Q / \partial y\), \(\partial R / \partial z\) kısmi türevleri \(E\)’de var olsun.

\[\operatorname{div} \mathbf{F} = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z} \tag{6}\]

ile tanımlanan üç değişkenli fonksiyona \(\mathbf{F}\)’nin diverjansı denir. Düzlemdeki bir \(\mathbf{F} = P\,\mathbf{i} + Q\,\mathbf{j}\) alanının diverjansı da benzer biçimde, iki değişkenli \(\operatorname{div} \mathbf{F} = \partial P / \partial x + \partial Q / \partial y\) fonksiyonudur.

Yani diverjans, her bileşenin kendi değişkenine göre türevlerinin toplamıdır; bunlar tam da rotasyonelde yer almayan türevlerdir. Rotasyonel bir vektör alanı, diverjans ise skaler bir fonksiyondur. \(\nabla\) operatörüyle diverjans biçimsel bir iç çarpım olarak yazılır:

\[\operatorname{div} \mathbf{F} = \nabla \cdot \mathbf{F} \tag{7}\]

Gerçekten \(\nabla \cdot \mathbf{F} = \dfrac{\partial}{\partial x}(P) + \dfrac{\partial}{\partial y}(Q) + \dfrac{\partial}{\partial z}(R)\) olur.

Örnek 14.6 (Bir Diverjans Hesabı) \(\mathbf{F}(x, y, z) = xz\,\mathbf{i} + xyz\,\mathbf{j} - y^2\,\mathbf{k}\) alanının diverjansını bulunuz.

Çözüm

Tanımdaki (6) formülüyle

\[\operatorname{div} \mathbf{F} = \frac{\partial}{\partial x}(xz) + \frac{\partial}{\partial y}(xyz) + \frac{\partial}{\partial z}(-y^2) = z + xz\]

bulunur.

\(\blacksquare\)

\(\mathbf{F}\) bir vektör alanıysa \(\operatorname{curl} \mathbf{F}\) de bir vektör alanıdır; bu yüzden onun diverjansını hesaplayabiliriz. Bileşenlerin ikinci mertebe kısmi türevleri sürekliyse sonuç her zaman sıfırdır.

Teorem 14.3 (Rotasyonelin Diverjansı) \(\mathbf{F} = P\,\mathbf{i} + Q\,\mathbf{j} + R\,\mathbf{k}\), \(\mathbb{R}^3\)’ün açık bir \(E\) kümesinde tanımlı ve \(P\), \(Q\), \(R\)’nin ikinci mertebe kısmi türevleri \(E\)’de sürekli bir vektör alanı olsun. Bu durumda \(E\) üzerinde

\[\operatorname{div} \operatorname{curl} \mathbf{F} = 0\]

olur.

İspat

Diverjans ve rotasyonelin tanımlarından

\[ \begin{aligned} \operatorname{div} \operatorname{curl} \mathbf{F} &= \nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{F}) \\[1mm] &= \frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z} \right) + \frac{\partial}{\partial y} \left( \frac{\partial P}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial x} \right) + \frac{\partial}{\partial z} \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) \\[1mm] &= \frac{\partial^2 R}{\partial x\,\partial y} - \frac{\partial^2 Q}{\partial x\,\partial z} + \frac{\partial^2 P}{\partial y\,\partial z} - \frac{\partial^2 R}{\partial y\,\partial x} + \frac{\partial^2 Q}{\partial z\,\partial x} - \frac{\partial^2 P}{\partial z\,\partial y} \end{aligned} \]

bulunur. \(P\), \(Q\), \(R\)’nin ikinci mertebe kısmi türevleri sürekli olduğundan Clairaut Teoremi’ne göre (bkz. Analiz 4) karışık türevler sıradan bağımsızdır:

\[\frac{\partial^2 R}{\partial x\,\partial y} = \frac{\partial^2 R}{\partial y\,\partial x}, \qquad \frac{\partial^2 Q}{\partial x\,\partial z} = \frac{\partial^2 Q}{\partial z\,\partial x}, \qquad \frac{\partial^2 P}{\partial y\,\partial z} = \frac{\partial^2 P}{\partial z\,\partial y}.\]

Böylece altı terim ikişer ikişer sadeleşir ve \(\operatorname{div} \operatorname{curl} \mathbf{F} = 0\) olur.

\(\blacksquare\)

Bu teorem, her \(\mathbf{a}\) ve \(\mathbf{b}\) vektörü için geçerli olan \(\mathbf{a} \cdot (\mathbf{a} \times \mathbf{b}) = 0\) özdeşliğini andırır. Teorem 14.1 nasıl konservatif olmayan alanları ayırt etmeye yarıyorsa, bu teorem de bir alanın başka bir alanın rotasyoneli olamayacağını göstermeye yarar.

Örnek 14.7 (Rotasyonel Olamayan Bir Alan) \(\mathbf{F}(x, y, z) = xz\,\mathbf{i} + xyz\,\mathbf{j} - y^2\,\mathbf{k}\) alanının, bileşenlerinin ikinci mertebe kısmi türevleri sürekli olan hiçbir \(\mathbf{G}\) vektör alanının rotasyoneli olarak yazılamayacağını gösteriniz.

Çözüm

Örnek 14.6 içinde \(\operatorname{div} \mathbf{F} = z + xz\) bulduk. Örneğin \((0, 0, 1)\) noktasında \(\operatorname{div} \mathbf{F} = 1 \ne 0\)’dır.

Bir \(\mathbf{G}\) için \(\mathbf{F} = \operatorname{curl} \mathbf{G}\) olsaydı Teorem 14.3 gereği her noktada

\[\operatorname{div} \mathbf{F} = \operatorname{div} \operatorname{curl} \mathbf{G} = 0\]

olurdu. Bu, \(\operatorname{div} \mathbf{F} \ne 0\) olmasıyla çelişir. Demek ki \(\mathbf{F}\) başka bir vektör alanının rotasyoneli değildir.

\(\blacksquare\)

14.5 Diverjansın Fiziksel Anlamı

Diverjans (divergence: ıraksama, dağılma) adı da akışkanlar üzerinden anlaşılır.

\(\mathbf{F}(x, y, z)\) bir akışkanın (sıvı ya da gaz) hızı olsun. Bu durumda \(\operatorname{div} \mathbf{F}(x, y, z)\), \((x, y, z)\) noktasının çevresinden birim zamanda, birim hacim başına dışarı çıkan net akışkan miktarıdır. Başka bir deyişle diverjans, akışkanın o noktadan dağılma eğilimini ölçer. Pozitifse noktanın çevresinden çıkan akışkan girenden fazladır, negatifse giren fazladır.

Bunu kabaca görmek için kenarları \(\Delta x\), \(\Delta y\), \(\Delta z\) olan küçük bir kutu düşünelim. Kutunun \(x\) eksenine dik bir yüzünden birim zamanda geçen akışkan hacmi yaklaşık olarak hızın o yüze dik bileşeni ile yüzün alanının çarpımıdır. Sağdaki yüzden \(P(x + \Delta x, y, z)\,\Delta y\,\Delta z\) kadar akışkan çıkar, soldaki yüzden \(P(x, y, z)\,\Delta y\,\Delta z\) kadar girer. Bu iki yüzün net katkısı

\[\big[ P(x + \Delta x, y, z) - P(x, y, z) \big]\,\Delta y\,\Delta z \approx \frac{\partial P}{\partial x}\,\Delta x\,\Delta y\,\Delta z\]

olur. Öteki iki yüz çiftinin katkıları da \(\dfrac{\partial Q}{\partial y}\,\Delta V\) ve \(\dfrac{\partial R}{\partial z}\,\Delta V\) olduğundan, kutudan birim zamanda çıkan net akışkan yaklaşık \(\operatorname{div} \mathbf{F}\,\Delta V\)’dir. Bu yorumun düzlemdeki kesin biçimini bu bölümün sonunda (Sonuç 14.2), uzaydaki biçimini Diverjans Teoremi bölümünde göreceğiz.

Tanım 14.4 (Sıkıştırılamaz Alan) Bir kümenin her noktasında \(\operatorname{div} \mathbf{F} = 0\) ise \(\mathbf{F}\)’ye o kümede sıkıştırılamaz (incompressible) alan denir.

Yani sıkıştırılamaz bir akışta hiçbir noktanın çevresinde akışkan birikmez ya da seyrelmez; her küçük bölgeye ne kadar akışkan giriyorsa o kadarı çıkar. Teorem 14.3, bileşenlerinin ikinci mertebe kısmi türevleri sürekli olan her alanın rotasyonelinin sıkıştırılamaz olduğunu söyler.

Aşağıdaki şeklin (a) panelinde \(\mathbf{F} = (1 + x^2)\,\mathbf{i} + y\,\mathbf{j}\) için \(\operatorname{div} \mathbf{F} = 2x + 1\)’dir. \(A_1 = (-1{,}5;\ 1)\) noktasında \(\operatorname{div} \mathbf{F} = -2 < 0\)’dır. Orada hızın yatay bileşeni \(1 + x^2\), \(x\) sıfıra yaklaştıkça küçülür; çevreye soldan giren oklar sağdan çıkanlardan uzundur ve net akış içeri doğrudur. \(A_2 = (1, 1)\) noktasında ise \(\operatorname{div} \mathbf{F} = 3 > 0\)’dır; çıkan oklar daha uzundur ve net akış dışarı doğrudur. (b) panelindeki \(\mathbf{F} = -x\,\mathbf{i} + y\,\mathbf{j}\) alanı için \(\operatorname{div} \mathbf{F} = -1 + 1 = 0\)’dır. Alan sıkıştırılamazdır: yatay yönde içeri giren akış, düşey yönde dışarı çıkan akışla tam olarak dengelenir.

(a) A₁ = (−1,5; 1) noktasında div F = −2 < 0: kesikli çemberin içine giren oklar çıkanlardan uzundur, net akış içeri doğrudur. A₂ = (1, 1) noktasında div F = 3 > 0: çıkan oklar daha uzundur, net akış dışarı doğrudur. (b) div F = 0 her yerde; A = (1, 1) çevresine giren ve çıkan akış dengededir.

Etkileşimli sahne: küçük bir çemberden geçen net akış. Açılır listeden şekildeki iki alandan birini ya da \(x^3\,\mathbf{i} + y^3\,\mathbf{j}\) alanını (Örnek 14.9) seçin. \(x_0\) ve \(y_0\) kaydırıcıları kesikli çemberin merkezini, \(\varepsilon\) de yarıçapını değiştirir. Çember üzerindeki kısa oklar, \(\mathbf{F}\)’nin çemberden dışarı bakan birim normal doğrultusundaki bileşenleridir: dışarı bakan ok çıkan, içeri bakan ok giren akışı gösterir. Değer satırı merkezdeki diverjansı, çemberden birim zamanda dışarı çıkan net akışı (\(\oint_C \mathbf{F} \cdot \mathbf{n}\,ds\); \(\mathbf{n}\) için bkz. Tanım 14.6) ve bu akının dairenin alanına oranını verir. (a) alanında bu oran her \(\varepsilon\) için merkezdeki diverjansa eşittir: \(A_1\)’de \(-2\), \(A_2\)’de \(3\); \(x_0 = -0{,}5\) doğrusu üzerinde ise giren ve çıkan akış dengededir. (b) alanında akı her çember için \(0\)’dır. \(x^3\,\mathbf{i} + y^3\,\mathbf{j}\) alanında merkez orijinde ve \(\varepsilon = 1\) iken çember birim çemberdir ve akı \(3\pi/2 \approx 4{,}7124\) çıkar. \(\varepsilon\) küçüldükçe oran \(3\varepsilon^2/2\) olur ve orijindeki diverjans olan \(0\)’a iner (Sonuç 14.2).

rotFluxFields = ({
  stretch: {
    label: "(a) (1 + x²) i + y j",
    F: (x, y) => [1 + x * x, y],
    div: (x) => 2 * x + 1,
    box: [-2.2, 2.2, -2.2, 2.2],
    grid: [[-1.75, 1.75], [-1.75, 1.75], 8, 8],
    xr: [-2, 2],
    yr: [-2, 2],
    start: [-1.5, 1],
    eps0: 0.3
  },
  saddle: {
    label: "(b) −x i + y j",
    F: (x, y) => [-x, y],
    div: () => -1 + 1,
    box: [-2.2, 2.2, -2.2, 2.2],
    grid: [[-1.75, 1.75], [-1.75, 1.75], 8, 8],
    xr: [-2, 2],
    yr: [-2, 2],
    start: [1, 1],
    eps0: 0.3
  },
  cubic: {
    label: "x³ i + y³ j",
    F: (x, y) => [x ** 3, y ** 3],
    div: (x, y) => 3 * x * x + 3 * y * y,
    box: [-1.6, 1.6, -1.6, 1.6],
    grid: [[-1.4, 1.4], [-1.4, 1.4], 8, 8],
    xr: [-1, 1],
    yr: [-1, 1],
    start: [0, 0],
    eps0: 1
  }
})

viewof rotFluxField = Inputs.select(Object.keys(rotFluxFields), { value: "stretch", label: "alan", format: (key) => rotFluxFields[key].label })

viewof rotFluxPoint = {
  const field = rotFluxFields[rotFluxField];
  return Inputs.form({
    x: Inputs.range(field.xr, { value: field.start[0], step: 0.05, label: "x₀" }),
    y: Inputs.range(field.yr, { value: field.start[1], step: 0.05, label: "y₀" }),
    eps: Inputs.range([0.05, 1], { value: field.eps0, step: 0.05, label: "ε" })
  });
}

rotFluxPlot = html`<div class="scene3d" role="img" aria-label="Duzlem akisi ve kesikli bir cember: secilen alanin oklari, merkezi (x0, y0) ve yaricapi epsilon olan cember ve alanin cemberin dis normali dogrultusundaki bilesenleri; disari bakan oklar cikan, iceri bakan oklar giren akisi gosterir"></div>`

{
  const field = rotFluxFields[rotFluxField];
  const { x: x0, y: y0, eps } = rotFluxPoint;
  const [xa, xb, ya, yb] = field.box;
  const [gx, gy, nx, ny] = field.grid;
  const head = 0.03 * (xb - xa);
  // Several plane arrows in one line trace: a shaft and a two-stroke head each.
  const arrowTrace = (starts, vectors, color, name) => {
    const X = [];
    const Y = [];
    const c = Math.cos(0.45);
    const s = Math.sin(0.45);
    starts.forEach((p, k) => {
      const v = vectors[k];
      const length = Math.hypot(v[0], v[1]);
      if (length < 1e-9) return;
      const ux = v[0] / length;
      const uy = v[1] / length;
      const tip = [p[0] + v[0], p[1] + v[1]];
      const h = Math.min(head, 0.45 * length);
      X.push(p[0], tip[0], null, tip[0] + h * (-ux * c + uy * s), tip[0], tip[0] + h * (-ux * c - uy * s), null);
      Y.push(p[1], tip[1], null, tip[1] + h * (-ux * s - uy * c), tip[1], tip[1] + h * (ux * s - uy * c), null);
    });
    return { type: "scatter", mode: "lines", x: X, y: Y, line: { color, width: 2.5 }, name, showlegend: Boolean(name), hoverinfo: "skip" };
  };
  const rim = (t) => [x0 + eps * Math.cos(t), y0 + eps * Math.sin(t)];
  // Normal components (F . n) n at sixteen points of the circle; the longest is drawn 0.6 eps long.
  const starts = [];
  const normals = [];
  const values = [];
  for (let k = 0; k < 16; k++) {
    const a = (2 * Math.PI * k) / 16;
    const p = rim(a);
    const [P, Q] = field.F(p[0], p[1]);
    starts.push(p);
    normals.push([Math.cos(a), Math.sin(a)]);
    values.push(P * Math.cos(a) + Q * Math.sin(a));
  }
  const largest = Math.max(...values.map(Math.abs));
  const scale = largest > 1e-12 ? (0.6 * eps) / largest : 0;
  const parts = normals.map((n, k) => [n[0] * values[k] * scale, n[1] * values[k] * scale]);
  // Flux through the circle (periodic trapezoid rule, exact to rounding for these fields).
  const samples = 720;
  let flux = 0;
  for (let k = 0; k < samples; k++) {
    const a = (2 * Math.PI * k) / samples;
    const [P, Q] = field.F(...rim(a));
    flux += (P * Math.cos(a) + Q * Math.sin(a)) * eps;
  }
  flux *= (2 * Math.PI) / samples;
  const density = flux / (Math.PI * eps * eps);
  const traces = [
    field2d(field.F, gx, gy, [nx, ny], withAlpha(theme.theory, 0.8), { head, name: "F" }),
    path2d(rim, 0, 2 * Math.PI, theme.practice, "C", { width: 2, dash: "dash" }),
    point2d([x0, y0], theme.practice, undefined, { size: 6 }),
    arrowTrace(starts, parts, theme.base, "normal bileşen")
  ];
  render(Plotly, rotFluxPlot, traces, planeLayout(theme, { x: [xa, xb], y: [ya, yb], revision: rotFluxField }));
  const coords = [fmtTrim(x0, 2), fmtTrim(y0, 2)];
  const where = coords.some((text) => text.includes(",")) ? `(${coords[0]}; ${coords[1]})` : `(${coords[0]}, ${coords[1]})`;
  const net = Math.abs(flux) < 1e-9 ? "giren ve çıkan dengede" : flux > 0 ? "net akış dışarı" : "net akış içeri";
  const digits = Math.abs(flux) < 0.01 ? 6 : 4;
  return html`<div class="scene3d-readout">(x₀, y₀) = ${where} &nbsp;·&nbsp; ε = ${fmtTrim(eps, 2)} &nbsp;·&nbsp; div F(x₀, y₀) = ${fmtTrim(field.div(x0, y0), 4)}<br>∮ F · n ds = ${fmtTrim(flux, digits)} (${net}) &nbsp;·&nbsp; akı / (πε²) = ${fmtTrim(density, 4)}</div>`;
}

14.6 Laplace Operatörü

Gradyanı ve diverjansı art arda uygulayınca, kısmi türevlerden tanıdığımız bir operatör ortaya çıkar.

\(f\), ikinci mertebe kısmi türevleri olan üç değişkenli bir fonksiyon ise

\[\operatorname{div} (\nabla f) = \nabla \cdot (\nabla f) = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial z^2}\]

olur. Bu ifade \(f\)’nin Laplasyenidir (bkz. Analiz 4). Orada \(\Delta f\) diye yazılan bu ifadeyi vektör analizinde çoğunlukla \(\nabla^2 f\) diye yazarız. Laplace operatörü de \(\nabla^2 = \nabla \cdot \nabla\) ile gösterilir. \(\nabla^2 f = 0\) denklemi Laplace denklemidir; bu denklemi sağlayan fonksiyonlar harmonik fonksiyonlardır (bkz. Analiz 4).

Örnek 14.8 (Bir Harmonik Fonksiyon) \(f(x, y, z) = x^2 + y^2 - 2z^2\) fonksiyonunun harmonik olduğunu gösteriniz.

Çözüm

Gradyan \(\nabla f = 2x\,\mathbf{i} + 2y\,\mathbf{j} - 4z\,\mathbf{k}\)’dir. Diverjansını alırsak

\[\nabla^2 f = \operatorname{div} (\nabla f) = \frac{\partial}{\partial x}(2x) + \frac{\partial}{\partial y}(2y) + \frac{\partial}{\partial z}(-4z) = 2 + 2 - 4 = 0\]

bulunur. Demek ki \(f\) Laplace denklemini sağlar, yani harmoniktir. Buna göre \(\nabla f\) alanı hem dönmesizdir (Teorem 14.1) hem de sıkıştırılamazdır.

\(\blacksquare\)

Laplace operatörü bir vektör alanına da bileşen bileşen uygulanabilir.

Tanım 14.5 (Vektör Alanının Laplasyeni) \(\mathbf{F} = P\,\mathbf{i} + Q\,\mathbf{j} + R\,\mathbf{k}\) ve \(P\), \(Q\), \(R\)’nin ikinci mertebe kısmi türevleri var olsun.

\[\nabla^2 \mathbf{F} = \nabla^2 P\,\mathbf{i} + \nabla^2 Q\,\mathbf{j} + \nabla^2 R\,\mathbf{k}\]

vektör alanına \(\mathbf{F}\)’nin Laplasyeni denir.

Yani bir vektör alanının Laplasyeni, her bileşenin ayrı ayrı Laplasyeni alınarak bulunur ve yine bir vektör alanıdır.

14.7 İşlemlerin Bileşkeleri

Gradyan, rotasyonel, diverjans ve Laplasyen art arda uygulanırken her işlemin neye uygulandığına dikkat etmek gerekir. Bunu bir tabloda toplayalım.

İşlem	Neye uygulanır	Sonuç
\(\nabla f\) (gradyan)	skaler fonksiyon	vektör alanı
\(\nabla \times \mathbf{F}\) (rotasyonel)	vektör alanı	vektör alanı
\(\nabla \cdot \mathbf{F}\) (diverjans)	vektör alanı	skaler fonksiyon
\(\nabla^2 f\) (Laplasyen)	skaler fonksiyon	skaler fonksiyon

Bir bileşkenin anlamlı olup olmadığına bu tabloyla karar verilir. Örneğin \(\operatorname{grad} (\operatorname{div} \mathbf{F})\) anlamlıdır ve bir vektör alanıdır. Buna karşılık \(\operatorname{curl} f\), \(\operatorname{div} f\) ve \(\operatorname{div} (\operatorname{div} \mathbf{F})\) anlamsızdır, çünkü rotasyonel ve diverjans yalnız vektör alanlarına uygulanır. Gerekli türevler sürekli olduğunda iki bileşke her zaman sıfırdır:

\[\operatorname{curl} (\operatorname{grad} f) = \mathbf{0}, \qquad \operatorname{div} (\operatorname{curl} \mathbf{F}) = 0.\]

İlki Teorem 14.1, ikincisi Teorem 14.3 ile ispatlandı.

14.8 Green Teoreminin Vektör Biçimleri

Rotasyonel ve diverjans, Green Teoremi’ni (Teorem 13.1) vektör diliyle iki farklı biçimde yazmamıza izin verir. Bu biçimler ileride uzaya taşınacak ve Stokes ile diverjans teoremlerine dönüşecek.

Bu kısım boyunca \(D\) düzlemde bir bölge, \(C\) onun pozitif yönlü sınır eğrisi, \(P\) ve \(Q\) da Green Teoremi’nin varsayımlarını sağlayan fonksiyonlar olsun. \(\mathbf{F} = P\,\mathbf{i} + Q\,\mathbf{j}\) alanını, üçüncü bileşeni \(0\) olan bir uzay alanı olarak düşünürsek

\[ \operatorname{curl} \mathbf{F} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\[1mm] \dfrac{\partial}{\partial x} & \dfrac{\partial}{\partial y} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\[3mm] P(x, y) & Q(x, y) & 0 \end{vmatrix} = \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) \mathbf{k} \]

olur, dolayısıyla

\[(\operatorname{curl} \mathbf{F}) \cdot \mathbf{k} = \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) \mathbf{k} \cdot \mathbf{k} = \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\]

bulunur. Bu, Green Teoremi’ndeki iki katlı integralin integrandıdır.

Teorem 14.4 (Green Teoreminin Teğet Biçimi) Yukarıdaki varsayımlar altında, \(\mathbf{T}\) eğrinin birim teğet vektörü olmak üzere

\[\oint_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \oint_C \mathbf{F} \cdot \mathbf{T}\,ds = \iint_D (\operatorname{curl} \mathbf{F}) \cdot \mathbf{k}\,dA \tag{8}\]

olur.

İspat

Birinci eşitlik, bir vektör alanının eğrisel integralinin teğet bileşen cinsinden yazılışıdır (bkz. Tanım 11.6). Ayrıca \(\mathbf{r}(t) = x(t)\,\mathbf{i} + y(t)\,\mathbf{j}\) için \(\mathbf{F} \cdot \mathbf{r}'(t) = P\,x'(t) + Q\,y'(t)\) olduğundan

\[\oint_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \oint_C P\,dx + Q\,dy\]

yazılabilir. Green Teoremi’ne göre bu integral \(\iint_D \left( \dfrac{\partial Q}{\partial x} - \dfrac{\partial P}{\partial y} \right) dA\)’ya eşittir. Yukarıda integrandın \((\operatorname{curl} \mathbf{F}) \cdot \mathbf{k}\) olduğunu gördük; (8) elde edilir.

\(\blacksquare\)

Yani \(\mathbf{F}\)’nin teğet bileşeninin \(C\) boyunca integrali, \(\operatorname{curl} \mathbf{F}\)’nin düşey bileşeninin \(C\)’nin çevrelediği \(D\) bölgesi üzerindeki iki katlı integraline eşittir. Teğet bileşenin kapalı eğri boyunca integrali, \(\mathbf{F}\)’nin \(C\) etrafındaki dolanımı diye de adlandırılır.

Şimdi teğet bileşen yerine normal bileşenle benzer bir formül türetelim. Bunun için önce eğrinin dışarıyı gösteren normalini tanımlayalım. \(C\), \(\mathbf{r}(t) = x(t)\,\mathbf{i} + y(t)\,\mathbf{j}\), \(a \le t \le b\) ile verilsin ve \(\mathbf{r}'(t) \ne \mathbf{0}\) olsun. Birim teğet vektör

\[\mathbf{T}(t) = \frac{x'(t)}{|\mathbf{r}'(t)|}\,\mathbf{i} + \frac{y'(t)}{|\mathbf{r}'(t)|}\,\mathbf{j}\]

olur.

Tanım 14.6 (Dış Birim Normal) Yukarıdaki gösterimle

\[\mathbf{n}(t) = \frac{y'(t)}{|\mathbf{r}'(t)|}\,\mathbf{i} - \frac{x'(t)}{|\mathbf{r}'(t)|}\,\mathbf{j}\]

vektörüne \(C\)’nin \(\mathbf{r}(t)\) noktasındaki dış birim normali denir.

Yani \(\mathbf{n}\), \(\mathbf{T}\)’yi saat yönünde \(90°\) döndürerek elde edilir. Gerçekten \(|\mathbf{n}| = |\mathbf{T}| = 1\) ve

\[\mathbf{n} \cdot \mathbf{T} = \frac{y'\,x' - x'\,y'}{|\mathbf{r}'|^2} = 0\]

olur. \(C\) pozitif yönde dolaşılırken \(D\) hep solda kalır; \(\mathbf{T}\)’yi saat yönünde döndürmek sağa, yani \(D\)’nin dışına bakmak demektir. Örneğin birim çember \(\mathbf{r}(t) = \cos t\,\mathbf{i} + \sin t\,\mathbf{j}\) için \(\mathbf{n}(t) = \cos t\,\mathbf{i} + \sin t\,\mathbf{j} = \mathbf{r}(t)\) bulunur ve bu vektör gerçekten merkezden dışarı bakar.

C pozitif yönde (D solda kalacak biçimde) dolaşılır. T(t) birim teğet vektördür; n(t), T(t)'nin saat yönünde 90° döndürülmesiyle elde edilir ve D'nin dışını gösterir.

Teorem 14.5 (Green Teoreminin Normal Biçimi) Yukarıdaki varsayımlar altında, \(\mathbf{n}\) dış birim normal olmak üzere

\[\oint_C \mathbf{F} \cdot \mathbf{n}\,ds = \iint_D \operatorname{div} \mathbf{F}(x, y)\,dA \tag{9}\]

olur.

İspat

\(C\) parçalı düzgünse \(\mathbf{n}\) her düzgün parçada tanımlıdır; tanımsız kaldığı köşeler sonlu sayıda noktadır ve integrali etkilemez. Eğrisel integraller parçalar üzerindeki integrallerin toplamı olduğundan aşağıdaki hesap her düzgün parçada ayrı ayrı yapılıp sonuçlar toplanır. Gösterimi sade tutmak için hesabı \(C\) tek bir düzgün parçaymış gibi yazıyoruz.

Yay uzunluğuna göre eğrisel integral \(ds = |\mathbf{r}'(t)|\,dt\) ile hesaplanır (bkz. Tanım 11.1). \(\mathbf{F} \cdot \mathbf{n}\) çarpımını tanımdaki \(\mathbf{n}\) ile açalım:

\[ \begin{aligned} \oint_C \mathbf{F} \cdot \mathbf{n}\,ds &= \int_a^b \big( \mathbf{F} \cdot \mathbf{n} \big)(t)\,|\mathbf{r}'(t)|\,dt \\[1mm] &= \int_a^b \left[ \frac{P(x(t), y(t))\,y'(t)}{|\mathbf{r}'(t)|} - \frac{Q(x(t), y(t))\,x'(t)}{|\mathbf{r}'(t)|} \right] |\mathbf{r}'(t)|\,dt \\[1mm] &= \int_a^b \Big[ P(x(t), y(t))\,y'(t) - Q(x(t), y(t))\,x'(t) \Big]\,dt \\[1mm] &= \oint_C (-Q)\,dx + P\,dy. \end{aligned} \]

\(-Q\) ve \(P\) fonksiyonları da Green Teoremi’nin varsayımlarını sağlar. Teoremi bu çifte uygularsak

\[\oint_C (-Q)\,dx + P\,dy = \iint_D \left[ \frac{\partial P}{\partial x} - \frac{\partial (-Q)}{\partial y} \right] dA = \iint_D \left( \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} \right) dA\]

bulunur. Son integrand \(\operatorname{div} \mathbf{F}\)’dir; (9) elde edilir.

\(\blacksquare\)

Yani \(\mathbf{F}\)’nin normal bileşeninin \(C\) boyunca integrali, diverjansın \(D\) üzerindeki iki katlı integraline eşittir. \(\mathbf{F}\) bir akışkanın hız alanıysa sol taraf, akışkanın \(C\)’den birim zamanda dışarı çıkan net miktarıdır.

Örnek 14.9 (Normal Biçimin Doğrulanması) \(\mathbf{F}(x, y) = x^3\,\mathbf{i} + y^3\,\mathbf{j}\) alanı, \(D\) birim daire bölgesi ve \(C\) pozitif yönlü birim çember için (9) formülünün iki tarafını ayrı ayrı hesaplayarak eşit olduklarını doğrulayınız.

Çözüm

Sol taraf. \(C\)’yi \(\mathbf{r}(t) = \cos t\,\mathbf{i} + \sin t\,\mathbf{j}\), \(0 \le t \le 2\pi\) ile parametrelendirelim. \(|\mathbf{r}'(t)| = 1\) olduğundan \(ds = dt\) ve \(\mathbf{n}(t) = \cos t\,\mathbf{i} + \sin t\,\mathbf{j}\)’dir. Buna göre

\[\mathbf{F} \cdot \mathbf{n} = \cos^3 t \cdot \cos t + \sin^3 t \cdot \sin t = \cos^4 t + \sin^4 t\]

olur. Bu ifadeyi sadeleştirelim:

\[ \begin{aligned} \cos^4 t + \sin^4 t &= (\cos^2 t + \sin^2 t)^2 - 2 \sin^2 t \cos^2 t = 1 - \tfrac{1}{2} \sin^2 2t \\[1mm] &= 1 - \frac{1 - \cos 4t}{4} = \frac{3}{4} + \frac{\cos 4t}{4}. \end{aligned} \]

\(\cos 4t\)’nin \([0, 2\pi]\) üzerindeki integrali \(0\) olduğundan

\[\oint_C \mathbf{F} \cdot \mathbf{n}\,ds = \int_0^{2\pi} \left( \frac{3}{4} + \frac{\cos 4t}{4} \right) dt = \frac{3}{4} \cdot 2\pi = \frac{3\pi}{2}\]

bulunur.

Sağ taraf. \(\operatorname{div} \mathbf{F} = 3x^2 + 3y^2\)’dir. Kutupsal koordinatlara geçersek (Teorem 3.1) \(3x^2 + 3y^2 = 3r^2\) ve \(dA = r\,dr\,d\theta\) olur:

\[\iint_D \operatorname{div} \mathbf{F}\,dA = \int_0^{2\pi} \int_0^1 3r^2 \cdot r\,dr\,d\theta = 2\pi \cdot \frac{3}{4} = \frac{3\pi}{2}.\]

İki taraf eşittir. Bu alanın dolanımı ise sıfırdır: \((\operatorname{curl} \mathbf{F}) \cdot \mathbf{k} = 0 - 0 = 0\) olduğundan (8) formülünün sağ tarafı \(0\)’dır.

\(\blacksquare\)

İki vektör biçimi, rotasyonel ve diverjans için verdiğimiz fiziksel yorumları düzlemde kesinleştirir. Bir noktanın çevresindeki çok küçük dairelerde birim alan başına dolanım rotasyonele, birim alan başına dışarı akış da diverjansa yaklaşır.

Sonuç 14.2 (Rotasyonel ve Diverjansın Yoğunluk Yorumu) \(\mathbf{F} = P\,\mathbf{i} + Q\,\mathbf{j}\) olsun ve \(P\), \(Q\)’nun birinci mertebe kısmi türevleri \((x_0, y_0)\) noktasını içeren açık bir kümede sürekli olsun. \(D_\varepsilon\) merkezi \((x_0, y_0)\), yarıçapı \(\varepsilon\) olan kapalı daire bölgesi, \(C_\varepsilon\) onun pozitif yönlü sınır çemberi ise

\[\lim_{\varepsilon \to 0^+} \frac{1}{\pi \varepsilon^2} \oint_{C_\varepsilon} \mathbf{F} \cdot \mathbf{T}\,ds = (\operatorname{curl} \mathbf{F})(x_0, y_0) \cdot \mathbf{k}\]

ve

\[\lim_{\varepsilon \to 0^+} \frac{1}{\pi \varepsilon^2} \oint_{C_\varepsilon} \mathbf{F} \cdot \mathbf{n}\,ds = \operatorname{div} \mathbf{F}(x_0, y_0)\]

olur.

İspat

\(g = \partial Q / \partial x - \partial P / \partial y\) diyelim; \(g\) süreklidir ve \(g = (\operatorname{curl} \mathbf{F}) \cdot \mathbf{k}\)’dir. \(\varepsilon\) yeterince küçükken \(D_\varepsilon\) açık kümenin içinde kalır. \(D_\varepsilon\)’un alanı \(A = \pi \varepsilon^2\) olmak üzere (8) formülünden

\[\frac{1}{A} \oint_{C_\varepsilon} \mathbf{F} \cdot \mathbf{T}\,ds = \frac{1}{A} \iint_{D_\varepsilon} g\,dA\]

olur. Alan özelliğine göre \(\iint_{D_\varepsilon} 1\,dA = A\) olduğundan (bkz. Önerme 2.1) \(g(x_0, y_0) = \dfrac{1}{A} \iint_{D_\varepsilon} g(x_0, y_0)\,dA\) yazabiliriz. \(M_\varepsilon\), \(|g(x, y) - g(x_0, y_0)|\) değerinin \(D_\varepsilon\) üzerindeki en büyük değeri olsun; \(g\) kapalı ve sınırlı \(D_\varepsilon\) üzerinde sürekli olduğundan bu değer vardır. \(D_\varepsilon\) üzerinde \(-M_\varepsilon \le g - g(x_0, y_0) \le M_\varepsilon\) olduğundan, sınırlama özelliğiyle (bkz. Önerme 2.1)

\[-M_\varepsilon A \le \iint_{D_\varepsilon} \big( g - g(x_0, y_0) \big)\,dA \le M_\varepsilon A\]

olur. Lineerlikle ortadaki integral \(\iint_{D_\varepsilon} g\,dA - A\,g(x_0, y_0)\)’dır. Eşitsizliği \(A\)’ya bölersek

\[\left| \frac{1}{A} \iint_{D_\varepsilon} g\,dA - g(x_0, y_0) \right| \le M_\varepsilon\]

bulunur. \(g\), \((x_0, y_0)\)’da sürekli olduğundan \(\varepsilon \to 0^+\) iken \(M_\varepsilon \to 0\)’dır; birinci limit elde edilir. İkinci limit aynı biçimde, \(g\) yerine \(\operatorname{div} \mathbf{F} = \partial P / \partial x + \partial Q / \partial y\) alınıp (9) formülü kullanılarak elde edilir.

\(\blacksquare\)

Yani \((\operatorname{curl} \mathbf{F}) \cdot \mathbf{k}\) bir noktadaki “dolanım yoğunluğu”, \(\operatorname{div} \mathbf{F}\) de “dışarı akış yoğunluğu” gibi davranır. Örneğin sabit \(\omega\) açısal hızıyla dönen bir akışkanda, dönme merkezi çevresindeki \(\varepsilon\) yarıçaplı çember üzerinde hız çembere teğettir ve büyüklüğü \(\omega \varepsilon\)’dur. Dolanım \(\omega \varepsilon \cdot 2\pi\varepsilon\) olur ve bunu \(\pi \varepsilon^2\) alanına bölünce \(2\omega\) bulunur. Bu, rotasyonelin açısal hızın iki katı olduğunu bir kez daha gösterir.

14.9 Alıştırmalar

Alıştırma 14.1 (Rotasyonelin Hesabı) Aşağıdaki alanın rotasyonelini bulunuz:

\[\mathbf{F}(x, y, z) = xye^z\,\mathbf{i} + yze^x\,\mathbf{k}.\]

Çözüm

Bileşenler \(P = xye^z\), \(Q = 0\) ve \(R = yze^x\)’tir. (1) formülündeki farkları tek tek hesaplayalım:

\[ \begin{aligned} \frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z} &= ze^x - 0 = ze^x, \\[1mm] \frac{\partial P}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial x} &= xye^z - yze^x, \\[1mm] \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} &= 0 - xe^z = -xe^z. \end{aligned} \]

Buna göre

\[\operatorname{curl} \mathbf{F} = ze^x\,\mathbf{i} + (xye^z - yze^x)\,\mathbf{j} - xe^z\,\mathbf{k}\]

bulunur.

\(\blacksquare\)

Alıştırma 14.2 (Diverjansın Hesabı) Aşağıdaki alanın diverjansını bulunuz:

\[\mathbf{F}(x, y, z) = xye^z\,\mathbf{i} + yze^x\,\mathbf{k}.\]

Çözüm

Bileşenler \(P = xye^z\), \(Q = 0\) ve \(R = yze^x\)’tir. (6) formülüyle

\[\operatorname{div} \mathbf{F} = \frac{\partial}{\partial x}(xye^z) + \frac{\partial}{\partial y}(0) + \frac{\partial}{\partial z}(yze^x) = ye^z + 0 + ye^x = y\,(e^z + e^x)\]

bulunur.

\(\blacksquare\)

Alıştırma 14.3 (Şekilden Diverjansın İşareti) Aşağıda bir \(\mathbf{F}\) vektör alanının \(xy\)-düzlemindeki kısmı çizilmiştir. Alan \(z\)’den bağımsızdır ve \(z\)-bileşeni \(0\)’dır. \(A\) noktasında \(\operatorname{div} \mathbf{F}\) pozitif mi, negatif mi, yoksa sıfır mıdır?

Alanın xy-düzlemindeki kısmı. Alan z'den bağımsızdır ve z-bileşeni 0'dır.

Çözüm

\(\mathbf{F} = P\,\mathbf{i} + Q\,\mathbf{j}\) yazalım. \(z\)-bileşeni \(0\) olduğundan \(\operatorname{div} \mathbf{F} = \partial P / \partial x + \partial Q / \partial y\)’dir. İki türevin işaretini şekilden okuyalım.

Yatay yönde. Her satırdaki oklar birbirinin aynısıdır; yani \(x\) değişirken ne \(P\) ne de \(Q\) değişir. Bu yüzden \(\partial P / \partial x = 0\)’dır.

Düşey yönde. Bir sütunda yukarı çıktıkça okların yatay bileşenleri aynı kalır, düşey bileşenleri büyür. Yani \(Q\), \(y\) arttıkça artar ve \(\partial Q / \partial y > 0\)’dır.

Buna göre \(A\) noktasında \(\operatorname{div} \mathbf{F} = 0 + \partial Q / \partial y > 0\), yani diverjans pozitiftir. Fiziksel olarak, \(A\)’nın çevresinden yukarı doğru çıkan oklar aşağıdan girenlerden uzundur ve net akış dışarı doğrudur. Gerçekten şekildeki alan \(\mathbf{F} = \mathbf{i} + \tfrac{1}{2} y\,\mathbf{j}\)’dir ve \(\operatorname{div} \mathbf{F} = \tfrac{1}{2}\) olur.

\(\blacksquare\)

Alıştırma 14.4 (Şekilden Rotasyonelin Yönü) Şekli Alıştırma 14.3 içinde verilen \(\mathbf{F}\) alanı için \(A\) noktasında \(\operatorname{curl} \mathbf{F} = \mathbf{0}\) mıdır? Değilse \(\operatorname{curl} \mathbf{F}\) hangi yönü gösterir?

Çözüm

Alan \(z\)’den bağımsız ve \(z\)-bileşeni \(0\) olduğundan \(\operatorname{curl} \mathbf{F} = \left( \partial Q / \partial x - \partial P / \partial y \right) \mathbf{k}\)’dir. İki türevi şekilden okuyalım.

\(\partial Q / \partial x\). Her satırdaki oklar aynıdır; sağa gidildikçe düşey bileşen değişmez. Bu yüzden \(\partial Q / \partial x = 0\)’dır.

\(\partial P / \partial y\). Bütün okların yatay bileşeni aynıdır; yukarı çıkınca yatay bileşen değişmez. Bu yüzden \(\partial P / \partial y = 0\)’dır.

Sonuç olarak \(A\) noktasında \(\operatorname{curl} \mathbf{F} = (0 - 0)\,\mathbf{k} = \mathbf{0}\)’dır. \(A\)’ya konan bir çarkın iki yanındaki akışkan aynı yatay hızla akar ve düşey hız da \(x\) ile değişmez; çark sürüklenir ama dönmez. Şekildeki \(\mathbf{F} = \mathbf{i} + \tfrac{1}{2} y\,\mathbf{j}\) alanı için gerçekten \(\partial Q / \partial x - \partial P / \partial y = 0 - 0 = 0\)’dır.

\(\blacksquare\)

Alıştırma 14.5 (Rotasyonelin Diverjansının Doğrulanması) Aşağıdaki alan için \(\operatorname{div} \operatorname{curl} \mathbf{F} = 0\) olduğunu doğrudan hesaplayarak doğrulayınız:

\[\mathbf{F}(x, y, z) = xyz^2\,\mathbf{i} + x^2 yz^3\,\mathbf{j} + y^2 z\,\mathbf{k}.\]

Çözüm

Bileşenler \(P = xyz^2\), \(Q = x^2 yz^3\) ve \(R = y^2 z\)’dir. Gereken kısmi türevler

\[ \begin{aligned} \frac{\partial R}{\partial y} &= 2yz, & \frac{\partial Q}{\partial z} &= 3x^2 yz^2, & \frac{\partial P}{\partial z} &= 2xyz, \\[1mm] \frac{\partial R}{\partial x} &= 0, & \frac{\partial Q}{\partial x} &= 2xyz^3, & \frac{\partial P}{\partial y} &= xz^2 \end{aligned} \]

olduğundan

\[\operatorname{curl} \mathbf{F} = (2yz - 3x^2 yz^2)\,\mathbf{i} + 2xyz\,\mathbf{j} + (2xyz^3 - xz^2)\,\mathbf{k}\]

bulunur. Şimdi bu alanın diverjansını alalım:

\[ \begin{aligned} \operatorname{div} \operatorname{curl} \mathbf{F} &= \frac{\partial}{\partial x}(2yz - 3x^2 yz^2) + \frac{\partial}{\partial y}(2xyz) + \frac{\partial}{\partial z}(2xyz^3 - xz^2) \\[1mm] &= -6xyz^2 + 2xz + 6xyz^2 - 2xz = 0. \end{aligned} \]

Teorem 14.3 ile uyumlu olarak sonuç sıfırdır.

\(\blacksquare\)

Alıştırma 14.6 (Bir Potansiyel Fonksiyon) Aşağıdaki alan için \(\mathbf{F} = \nabla f\) olacak bir \(f\) fonksiyonu var mıdır? Varsa bulunuz.

\[\mathbf{F}(x, y, z) = e^z \cos x\,\mathbf{i} + e^y \cos z\,\mathbf{j} + (e^z \sin x - e^y \sin z)\,\mathbf{k}\]

Çözüm

Adım 1: Rotasyonel. \(P = e^z \cos x\), \(Q = e^y \cos z\), \(R = e^z \sin x - e^y \sin z\) için

\[ \begin{aligned} \frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z} &= -e^y \sin z - (-e^y \sin z) = 0, \\[1mm] \frac{\partial P}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial x} &= e^z \cos x - e^z \cos x = 0, \\[1mm] \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} &= 0 - 0 = 0 \end{aligned} \]

olduğundan \(\operatorname{curl} \mathbf{F} = \mathbf{0}\)’dır. \(\mathbf{F}\) bütün \(\mathbb{R}^3\)’te tanımlıdır ve bileşenlerinin kısmi türevleri süreklidir. Teorem 14.2 gereği \(\mathbf{F}\) konservatiftir, yani böyle bir \(f\) vardır.

Adım 2: Potansiyel. \(f_x = e^z \cos x\) eşitliğini \(x\)’e göre integrallersek \(f = e^z \sin x + g(y, z)\) bulunur. \(y\)’ye göre türevlersek \(f_y = g_y(y, z)\) olur ve bu \(Q = e^y \cos z\)’ye eşit olmalıdır. \(y\)’ye göre integrallersek

\[g(y, z) = e^y \cos z + h(z)\]

bulunur. Şimdi \(f = e^z \sin x + e^y \cos z + h(z)\)’dir ve

\[f_z = e^z \sin x - e^y \sin z + h'(z)\]

olur. Bunu \(R\) ile karşılaştırınca \(h'(z) = 0\), yani \(h(z) = K\) sabittir. Sonuç olarak

\[f(x, y, z) = e^z \sin x + e^y \cos z + K\]

bulunur. Kontrol edelim:

\[\nabla f = e^z \cos x\,\mathbf{i} + e^y \cos z\,\mathbf{j} + (e^z \sin x - e^y \sin z)\,\mathbf{k} = \mathbf{F}.\]

\(\blacksquare\)

Alıştırma 14.7 (Rotasyoneli Verilen Alan) \(\mathbb{R}^3\)’te bileşenlerinin ikinci mertebe kısmi türevleri sürekli olan ve

\[\operatorname{curl} \mathbf{G} = x \sin y\,\mathbf{i} + \cos y\,\mathbf{j} + (z - xy)\,\mathbf{k}\]

eşitliğini sağlayan bir \(\mathbf{G}\) vektör alanı var mıdır?

Çözüm

Sağ taraftaki alana \(\mathbf{H}\) diyelim. Böyle bir \(\mathbf{G}\) varsa Teorem 14.3 gereği her noktada \(\operatorname{div} \mathbf{H} = \operatorname{div} \operatorname{curl} \mathbf{G} = 0\) olmalıdır. Oysa

\[\operatorname{div} \mathbf{H} = \frac{\partial}{\partial x}(x \sin y) + \frac{\partial}{\partial y}(\cos y) + \frac{\partial}{\partial z}(z - xy) = \sin y - \sin y + 1 = 1\]

bulunur. \(\operatorname{div} \mathbf{H} = 1 \ne 0\) olduğundan böyle bir \(\mathbf{G}\) alanı yoktur.

\(\blacksquare\)

Alıştırma 14.8 (Ayrık Değişkenli Alanlar) \(f\), \(g\), \(h\) türevlenebilir tek değişkenli fonksiyonlar olsun. Aşağıdaki biçimdeki her alanın dönmesiz olduğunu gösteriniz:

\[\mathbf{F}(x, y, z) = f(x)\,\mathbf{i} + g(y)\,\mathbf{j} + h(z)\,\mathbf{k}.\]

Çözüm

Bileşenler \(P = f(x)\), \(Q = g(y)\) ve \(R = h(z)\)’dir. Her bileşen yalnız kendi değişkenine bağlıdır, dolayısıyla öteki iki değişkene göre kısmi türevleri sıfırdır:

\[\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial P}{\partial z} = 0, \qquad \frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial Q}{\partial z} = 0, \qquad \frac{\partial R}{\partial x} = \frac{\partial R}{\partial y} = 0.\]

Rotasyonelde yalnız bu “çapraz” türevler geçtiğinden

\[\operatorname{curl} \mathbf{F} = (0 - 0)\,\mathbf{i} + (0 - 0)\,\mathbf{j} + (0 - 0)\,\mathbf{k} = \mathbf{0}\]

bulunur. Demek ki \(\mathbf{F}\) her noktada dönmesizdir (Tanım 14.2).

\(\blacksquare\)

Alıştırma 14.9 (Çarpımın Diverjansı) \(f\) skaler bir fonksiyon, \(\mathbf{F} = P\,\mathbf{i} + Q\,\mathbf{j} + R\,\mathbf{k}\) bir vektör alanı olsun ve gerekli kısmi türevler var olsun. \((f\mathbf{F})(x, y, z) = f(x, y, z)\,\mathbf{F}(x, y, z)\) olmak üzere

\[\operatorname{div} (f\mathbf{F}) = f \operatorname{div} \mathbf{F} + \mathbf{F} \cdot \nabla f\]

olduğunu gösteriniz.

Çözüm

\(f\mathbf{F} = fP\,\mathbf{i} + fQ\,\mathbf{j} + fR\,\mathbf{k}\)’dir. Her terime çarpımın türevi kuralını uygulayalım:

\[ \begin{aligned} \operatorname{div} (f\mathbf{F}) &= \frac{\partial (fP)}{\partial x} + \frac{\partial (fQ)}{\partial y} + \frac{\partial (fR)}{\partial z} \\[1mm] &= \left( f\,\frac{\partial P}{\partial x} + P\,\frac{\partial f}{\partial x} \right) + \left( f\,\frac{\partial Q}{\partial y} + Q\,\frac{\partial f}{\partial y} \right) + \left( f\,\frac{\partial R}{\partial z} + R\,\frac{\partial f}{\partial z} \right). \end{aligned} \]

\(f\) içeren terimleri ve kalanları ayrı ayrı toplarsak

\[\operatorname{div} (f\mathbf{F}) = f \left( \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z} \right) + \left( P\,\frac{\partial f}{\partial x} + Q\,\frac{\partial f}{\partial y} + R\,\frac{\partial f}{\partial z} \right)\]

bulunur. Birinci parantez \(\operatorname{div} \mathbf{F}\), ikinci parantez \(\mathbf{F} \cdot \nabla f\)’dir.

\(\blacksquare\)

Alıştırma 14.10 (Konum Vektörünün Kuvvetleri) \(\mathbf{r} = x\,\mathbf{i} + y\,\mathbf{j} + z\,\mathbf{k}\) ve \(r = |\mathbf{r}|\) olsun. Orijin dışında tanımlı \(\mathbf{F} = \mathbf{r} / r^p\) alanının sıkıştırılamaz olmasını sağlayan \(p\) değerini bulunuz.

Çözüm

Önce diverjansı genel \(p\) için hesaplayalım. \(r = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}\) olduğundan \(\partial r / \partial x = x / r\)’dir. \(\mathbf{F}\)’nin birinci bileşeni \(x\,r^{-p}\)’dir ve çarpım ile zincir kurallarıyla

\[\frac{\partial}{\partial x} \left( x\,r^{-p} \right) = r^{-p} + x \cdot (-p)\,r^{-p-1} \cdot \frac{x}{r} = r^{-p} - p\,x^2\,r^{-p-2}\]

olur. Öteki iki bileşen için aynı hesap \(r^{-p} - p\,y^2\,r^{-p-2}\) ve \(r^{-p} - p\,z^2\,r^{-p-2}\) verir. Toplarsak

\[\operatorname{div} \mathbf{F} = 3\,r^{-p} - p\,(x^2 + y^2 + z^2)\,r^{-p-2} = 3\,r^{-p} - p\,r^{-p} = \frac{3 - p}{r^p}\]

bulunur. Bu ifade orijin dışındaki her noktada ancak \(p = 3\) için sıfırdır. Demek ki aranan değer \(p = 3\)’tür. Bu durumda \(\mathbf{F} = \mathbf{r} / r^3\), büyüklüğü uzaklığın karesiyle ters orantılı olan alandır; kütle çekim ve elektrik alanları bu biçimdedir ve orijin dışında sıkıştırılamazdır.

\(\blacksquare\)

Alıştırma 14.11 (Green’in Birinci Özdeşliği) \(D\) ve \(C\) Green Teoremi’nin varsayımlarını sağlasın; \(f\)’nin birinci, \(g\)’nin ikinci mertebe kısmi türevleri \(D\)’yi içeren açık bir kümede sürekli olsun. Teorem 14.5 yardımıyla

\[\iint_D f\,\nabla^2 g\,dA = \oint_C f\,(\nabla g) \cdot \mathbf{n}\,ds - \iint_D \nabla f \cdot \nabla g\,dA\]

eşitliğini ispatlayınız.

Çözüm

Normal biçimdeki (9) formülünü \(f\,\nabla g = f g_x\,\mathbf{i} + f g_y\,\mathbf{j}\) alanına uygulayacağız. Bu alanın bileşenlerinin birinci mertebe kısmi türevleri süreklidir, dolayısıyla Green Teoremi’nin varsayımları sağlanır:

\[\oint_C (f\,\nabla g) \cdot \mathbf{n}\,ds = \iint_D \operatorname{div} (f\,\nabla g)\,dA.\]

Sağdaki diverjansı Alıştırma 14.9 içindeki kuralın iki değişkenli hâliyle hesaplayalım (\(\mathbf{F} = \nabla g\) alarak):

\[\operatorname{div} (f\,\nabla g) = f \operatorname{div} (\nabla g) + \nabla g \cdot \nabla f = f\,\nabla^2 g + \nabla f \cdot \nabla g.\]

Bunu yerine yazarsak

\[\oint_C f\,(\nabla g) \cdot \mathbf{n}\,ds = \iint_D f\,\nabla^2 g\,dA + \iint_D \nabla f \cdot \nabla g\,dA\]

olur. Son integrali sol tarafa geçirince istenen eşitlik elde edilir. Buradaki \((\nabla g) \cdot \mathbf{n}\) çarpımı, \(g\)’nin \(\mathbf{n}\) doğrultusundaki yönlü türevidir (bkz. Analiz 4); bu türeve \(g\)’nin normal türevi de denir.

\(\blacksquare\)

Alıştırma 14.12 (Dönen Bir Cismin Hız Alanı) Rijit bir \(B\) cismi \(z\) ekseni etrafında sabit \(\omega > 0\) açısal hızıyla, yukarıdan bakınca saatin tersi yönünde dönüyor. Dönmeyi \(\mathbf{w} = \omega\,\mathbf{k}\) vektörüyle gösterelim. \(B\)’nin bir \(P\) noktasının konum vektörü \(\mathbf{r} = \langle x, y, z \rangle\), hızı \(\mathbf{v}\) olsun. Hız alanının \(\operatorname{curl} \mathbf{v} = 2\mathbf{w}\) sağladığını gösteriniz.

B cismi z ekseni etrafında ω açısal hızıyla döner; w = ωk. P noktasının eksene uzaklığı d = |r| sin θ, hızı ise eksene ve r'ye dik, büyüklüğü ωd olan v vektörüdür.

Çözüm

Adım 1: \(\mathbf{v} = \mathbf{w} \times \mathbf{r}\). \(P\) noktası, dönme ekseninden uzaklığı \(d\) olan bir çember üzerinde döner. \(\theta\), \(\mathbf{r}\) ile \(z\) ekseni arasındaki açı ise \(d = |\mathbf{r}| \sin \theta\)’dır. Teğetsel hız, açısal hız ile eksene uzaklığın çarpımı olduğundan \(|\mathbf{v}| = \omega d = \omega\,|\mathbf{r}| \sin \theta\) olur. Öte yandan \(\mathbf{w} \times \mathbf{r}\) vektörünün uzunluğu \(|\mathbf{w}|\,|\mathbf{r}| \sin \theta = \omega\,|\mathbf{r}| \sin \theta\)’dır. Bu vektör hem \(\mathbf{k}\)’ye hem de \(\mathbf{r}\)’ye diktir, yani \(P\)’nin çizdiği yatay çembere teğettir. Sağ el kuralına göre yönü, yukarıdan bakınca saatin tersi yönündeki dönmenin yönüdür. Uzunlukları ve yönleri aynı olduğundan \(\mathbf{v} = \mathbf{w} \times \mathbf{r}\)’dir.

Adım 2: Bileşenler. Vektörel çarpımı determinantla hesaplayalım:

\[\mathbf{v} = \mathbf{w} \times \mathbf{r} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & 0 & \omega \\ x & y & z \end{vmatrix} = (0 - \omega y)\,\mathbf{i} - (0 - \omega x)\,\mathbf{j} + 0\,\mathbf{k} = -\omega y\,\mathbf{i} + \omega x\,\mathbf{j}.\]

Adım 3: Rotasyonel. \(\mathbf{v}\)’nin bileşenleri \(-\omega y\), \(\omega x\) ve \(0\)’dır. (1) formülünden

\[\operatorname{curl} \mathbf{v} = (0 - 0)\,\mathbf{i} + (0 - 0)\,\mathbf{j} + \big( \omega - (-\omega) \big)\,\mathbf{k} = 2\omega\,\mathbf{k} = 2\mathbf{w}\]

bulunur. Yani rijit bir dönmede hız alanının rotasyoneli dönme ekseni doğrultusundadır ve uzunluğu açısal hızın iki katıdır.

\(\blacksquare\)

Bu bölümde vektör alanları için iki türev işlemini, rotasyoneli ve diverjansı tanıdık. Rotasyonelin konservatifliği nasıl belirlediğini gördük ve Green Teoremi’ni bu işlemlerle iki vektör biçiminde yazdık. Bu biçimleri uzaya taşımak için önce eğrilerin yerini alacak yüzeyleri parametrik olarak tanımlamamız ve alanlarını hesaplamamız gerekiyor. Bu, sonraki bölümün konusudur: Parametrik Yüzeyler ve Alanları.