15  Parametrik Yüzeyler ve Alanları

Şimdiye kadar uzayda yalnız özel türden yüzeylerle çalıştık: düzlemler, silindirler, ikinci dereceden yüzeyler, \(z = f(x, y)\) biçimindeki fonksiyon grafikleri ve \(F(x, y, z) = k\) biçimindeki seviye yüzeyleri. Ama küre, simit biçimli torus ya da bir yay gibi kıvrılan bir tüp tek bir fonksiyonun grafiği olarak yazılamaz. Yüzey Alanı bölümündeki alan formülü de bu yüzden onlara doğrudan uygulanamaz.

Uzaydaki bir eğriyi tek parametreli bir \(\mathbf{r}(t)\) vektör fonksiyonuyla anlatıyorduk: \(t\) değiştikçe \(\mathbf{r}(t)\) vektörünün ucu eğriyi çizer. Bu bölümde aynı fikri iki parametreye taşıyacağız. İki parametreli bir \(\mathbf{r}(u, v)\) vektör fonksiyonunun ucu bir yüzey tarar.

Önce yüzeyleri bu yolla tanımayı ve parametrelemeyi öğreneceğiz. Sonra parametrik bir yüzeyin teğet düzlemini ve alanını bulacağız. Alan formülünün, grafiklerin ve dönel yüzeylerin alanı için bildiğimiz formülleri özel hâl olarak içerdiğini de göreceğiz.

import { PLOTLY, watchTheme, withAlpha, fmt, partials, sceneLayout, planeLayout, surface, gridCurves, path, point, points, legendItem, fill2d, point2d, render } from "./ojs/scene3d.js"

Plotly = require(PLOTLY)

theme = Generators.observe(watchTheme)

15.1 Parametrik Yüzeyler

Parametrik bir yüzeyi, düzlemdeki bir bölgenin bir vektör fonksiyonuyla uzaya taşınması olarak tanımlıyoruz.

Tanım 15.1 (Parametrik Yüzey) \(D\), \(uv\)-düzleminde bir bölge ve

\[\mathbf{r}(u, v) = x(u, v)\,\mathbf{i} + y(u, v)\,\mathbf{j} + z(u, v)\,\mathbf{k}, \qquad (u, v) \in D\]

\(D\) üzerinde tanımlı bir vektör fonksiyonu olsun. \((u, v)\) noktası \(D\)’yi tararken

\[x = x(u, v), \qquad y = y(u, v), \qquad z = z(u, v)\]

eşitlikleriyle elde edilen \((x, y, z)\) noktalarının \(S\) kümesine \(\mathbf{r}\) ile verilen parametrik yüzey (parametric surface) denir. Bu üç eşitliğe \(S\)’nin parametrik denklemleri, \(u\) ile \(v\)’ye parametreler, \(D\)’ye de parametre bölgesi denir.

Yani \(S\), \(\mathbf{r}(u, v)\) konum vektörünün ucunun çizdiği kümedir. Her \((u, v) \in D\) seçimi \(S\) üzerinde bir nokta verir; bütün seçimler birlikte \(S\)’nin tamamını verir. \(D\)’yi yüzeyin düz bir haritası gibi düşünebiliriz: \(\mathbf{r}\), haritadaki her noktanın yüzeyde hangi noktaya karşılık geldiğini söyler.

Haritadaki düşey ve yatay doğruların yüzeydeki görüntüleri, bir yüzeyi tanımanın en kullanışlı aracıdır.

Tanım 15.2 (Koordinat Eğrileri) \(S\), \(\mathbf{r}(u, v)\), \((u, v) \in D\) ile verilen bir parametrik yüzey olsun. \(u = u_0\) sabit tutulursa \(v \mapsto \mathbf{r}(u_0, v)\) tek parametreli bir vektör fonksiyonudur ve \(S\) üzerinde bir \(C_1\) eğrisi çizer. Aynı biçimde \(v = v_0\) sabit tutulursa \(u \mapsto \mathbf{r}(u, v_0)\) fonksiyonu \(S\) üzerinde bir \(C_2\) eğrisi çizer. Bu iki ailedeki eğrilere \(S\)’nin koordinat eğrileri (grid curves) denir.

Yani koordinat eğrileri, \(D\)’deki \(u = u_0\) düşey doğrularının ve \(v = v_0\) yatay doğrularının \(\mathbf{r}\) altındaki görüntüleridir. Bilgisayarla çizilmiş bir yüzey resmindeki ağ çoğu zaman bu eğrilerden oluşur. Bir noktanın \((u, v)\) parametrelerini vermek, coğrafyada bir yerin enlem ve boylamını vermeye benzer; bunu küre örneğinde açıkça göreceğiz.

r, uv-düzlemindeki D bölgesini uzaydaki S yüzeyine gönderir: (u₀, v₀) noktası, konum vektörü r(u₀, v₀) olan noktaya gider. D'deki u = u₀ düşey doğrusunun görüntüsü C₁, v = v₀ yatay doğrusunun görüntüsü C₂ koordinat eğrisidir.

Önce parametrik denklemleri verilen bir yüzeyi tanıyalım.

Örnek 15.1 (Parametrik Denklemlerden Bir Silindir) Vektör denklemi

\[\mathbf{r}(u, v) = 2\cos u\,\mathbf{i} + v\,\mathbf{j} + 2\sin u\,\mathbf{k}\]

olan yüzeyi belirleyiniz ve koordinat eğrilerini tanımlayınız.

Çözüm

Yüzey. Parametrik denklemler

\[x = 2\cos u, \qquad y = v, \qquad z = 2\sin u\]

olduğundan her \((u, v)\) için

\[x^2 + z^2 = 4\cos^2 u + 4\sin^2 u = 4\]

bulunur. Tersine, \(x^2 + z^2 = 4\) eşitliğini sağlayan her \((x, y, z)\) noktası yüzeydedir. Gerçekten \((x, z)\), \(2\) yarıçaplı çemberin üzerinde olduğundan \(x = 2\cos u\) ve \(z = 2\sin u\) olan bir \(u\) açısı vardır; \(v = y\) seçmek yeter. \(v\) üzerinde hiçbir kısıtlama olmadığından yüzey, ekseni \(y\) ekseni ve yarıçapı \(2\) olan dairesel silindirin tamamıdır.

Koordinat eğrileri. \(u = u_0\) sabitken

\[\mathbf{r}(u_0, v) = \langle 2\cos u_0,\ v,\ 2\sin u_0 \rangle\]

noktası, \(v\) değiştikçe \(y\) eksenine paralel bir doğru çizer. \(v = v_0\) sabitken \(\mathbf{r}(u, v_0)\) noktası \(y = v_0\) düzleminde kalır ve merkezi \((0, v_0, 0)\) olan \(2\) yarıçaplı bir çember çizer. Örneğin \(\mathbf{r}(0, 0) = (2, 0, 0)\) ve \(\mathbf{r}(\pi/2, 0) = (0, 0, 2)\) noktaları \(y = 0\) düzlemindeki çemberin üzerindedir.

\(\blacksquare\)

Bu örnekte parametrelere hiçbir kısıtlama koymadığımız için silindirin tamamını elde ettik. Parametre bölgesini daraltarak yüzeyin yalnız bir parçasını alabiliriz. Örneğin

\[0 \le u \le \frac{\pi}{2}, \qquad 0 \le v \le 3\]

alırsak \(x = 2\cos u \ge 0\), \(z = 2\sin u \ge 0\) ve \(0 \le y \le 3\) olur. \(\mathbf{r}\) bu dikdörtgeni, uzunluğu \(3\) olan bir çeyrek silindire gönderir.

x² + z² = 4 silindirinin bir parçası (açık) ve 0 ≤ u ≤ π/2, 0 ≤ v ≤ 3 parametre bölgesinin görüntüsü olan çeyrek silindir (koyu). Siyah çember, v = 0 koordinat eğrisidir; (2, 0, 0) ve (0, 0, 2) noktalarından geçer.

Koordinat eğrileri, karmaşık görünen bir yüzeyin yapısını da ortaya çıkarır.

Örnek 15.2 (Spiral Tüp) Aşağıda

\[\mathbf{r}(u, v) = \big\langle (2 + \sin v)\cos u,\ (2 + \sin v)\sin u,\ u + \cos v \big\rangle\]

yüzeyinin \(0 \le u \le 2\pi\), \(0 \le v \le 2\pi\) parametre bölgesine karşılık gelen parçası çizilmiştir. Hangi koordinat eğrilerinde \(u\), hangilerinde \(v\) sabittir? Yüzeyin biçimini açıklayınız.

Yüzeyin 0 ≤ u ≤ 2π, 0 ≤ v ≤ 2π parçası bir tam tur atan bir tüptür. Kalın çizilen iki koordinat eğrisinden biri küçük bir çember, öbürü bir sarmaldır.

Çözüm

Parametrik denklemler şunlardır:

\[x = (2 + \sin v)\cos u, \qquad y = (2 + \sin v)\sin u, \qquad z = u + \cos v.\]

\(v\) sabit. \(v = v_0\) alalım ve \(R = 2 + \sin v_0\), \(c = \cos v_0\) diyelim; \(1 \le R \le 3\) olur. Denklemler

\[x = R\cos u, \qquad y = R\sin u, \qquad z = u + c\]

biçimini alır. Bu bir sarmaldır (helis): nokta \(z\) ekseni çevresinde \(R\) yarıçaplı bir silindirin üzerinde döner ve \(u\) her \(2\pi\) arttığında bir tur atıp \(2\pi\) kadar yükselir. Demek ki şekildeki spiral biçimli eğriler, \(v\)’nin sabit olduğu koordinat eğrileridir.

\(u\) sabit. \(u = u_0\) alalım. \(\mathbf{e} = \cos u_0\,\mathbf{i} + \sin u_0\,\mathbf{j}\) yatay birim vektörünü ve \(\mathbf{c} = 2\,\mathbf{e} + u_0\,\mathbf{k}\) vektörünü kullanarak

\[\mathbf{r}(u_0, v) = \mathbf{c} + \sin v\,\mathbf{e} + \cos v\,\mathbf{k}\]

yazabiliriz. \(\mathbf{e}\) ile \(\mathbf{k}\) birbirine dik birim vektörlerdir. Bu yüzden nokta, \((2\cos u_0,\ 2\sin u_0,\ u_0)\) merkezli ve \(1\) yarıçaplı bir çember çizer. Çember, \(\mathbf{e}\) ile \(\mathbf{k}\) vektörlerinin gerdiği, yani \(z\) eksenini içeren düşey düzlemdedir ve üzerinde \(z = u_0 + \cos v\) değeri \(u_0 - 1\) ile \(u_0 + 1\) arasında değişir. Demek ki şekildeki küçük çemberler, \(u\)’nun sabit olduğu koordinat eğrileridir.

Yüzeyin biçimi. Küçük çemberlerin merkezleri, \(u\) değiştikçe \((2\cos u,\ 2\sin u,\ u)\) sarmalını çizer. Yüzey, bu sarmalın çevresine sarılmış ve kesiti \(1\) yarıçaplı çember olan bir tüptür.

\(\blacksquare\)

15.2 Yüzeyleri Parametrelemek

Şimdiye kadar bir vektör denklemi verip yüzeyi tanıdık. Şimdi tersini yapacağız: verilen bir yüzeyi temsil eden bir vektör fonksiyonu bulacağız. Sonraki bölümlerde en çok bu işe ihtiyaç duyacağız.

Örnek 15.3 (Düzlemin Parametrelenmesi) Konum vektörü \(\mathbf{r}_0\) olan \(P_0\) noktasından geçen ve paralel olmayan \(\mathbf{a}\) ile \(\mathbf{b}\) vektörlerini içeren düzlemi temsil eden bir vektör fonksiyonu bulunuz.

Çözüm

Düzlemin rastgele bir \(P\) noktasını alalım. \(\mathbf{a}\) ile \(\mathbf{b}\) paralel olmadığından düzleme paralel her vektör bunların bir lineer bileşimidir; yani

\[\overrightarrow{P_0P} = u\,\mathbf{a} + v\,\mathbf{b}\]

olacak biçimde \(u\) ve \(v\) sayıları vardır. Geometrik olarak, \(P_0\)’dan önce \(\mathbf{a}\) doğrultusunda \(u\,\mathbf{a}\) kadar, sonra \(\mathbf{b}\) doğrultusunda \(v\,\mathbf{b}\) kadar giderek \(P\)’ye ulaşırız (paralelkenar kuralı). \(P\)’nin konum vektörü \(\mathbf{r}\) ise

\[\mathbf{r} = \overrightarrow{OP_0} + \overrightarrow{P_0P} = \mathbf{r}_0 + u\,\mathbf{a} + v\,\mathbf{b}\]

olur. Tersine, her \(u\), \(v\) için bu nokta düzlemdedir. Böylece düzlemin vektör denklemi

\[\mathbf{r}(u, v) = \mathbf{r}_0 + u\,\mathbf{a} + v\,\mathbf{b}, \qquad (u, v) \in \mathbb{R}^2\]

olur. \(\mathbf{r}_0 = \langle x_0, y_0, z_0 \rangle\), \(\mathbf{a} = \langle a_1, a_2, a_3 \rangle\) ve \(\mathbf{b} = \langle b_1, b_2, b_3 \rangle\) yazılırsa parametrik denklemler şunlardır:

\[ \begin{aligned} x &= x_0 + u\,a_1 + v\,b_1, \\ y &= y_0 + u\,a_2 + v\,b_2, \\ z &= z_0 + u\,a_3 + v\,b_3. \end{aligned} \]

\(\blacksquare\)

Küre gibi bir eksen ya da nokta çevresinde simetrik yüzeylerde, uygun koordinat sisteminde sabit kalan koordinatı bırakıp öbür ikisini parametre seçeriz.

Örnek 15.4 (Kürenin Parametrelenmesi) \(x^2 + y^2 + z^2 = a^2\) küresinin bir parametrik gösterimini bulunuz ve koordinat eğrilerini tanımlayınız.

Çözüm

Parametreleme. Küre, küresel koordinatlarda (bkz. Tanım 8.1) yalnız \(\rho = a\) denklemiyle verilir. Bu yüzden öbür iki küresel koordinatı, \(\phi\) ile \(\theta\) açılarını parametre seçeriz. Küresel koordinatlardan dik koordinatlara geçiş formüllerinde \(\rho = a\) yazarsak

\[x = a\sin\phi\cos\theta, \qquad y = a\sin\phi\sin\theta, \qquad z = a\cos\phi\]

parametrik denklemlerini, yani

\[\mathbf{r}(\phi, \theta) = a\sin\phi\cos\theta\,\mathbf{i} + a\sin\phi\sin\theta\,\mathbf{j} + a\cos\phi\,\mathbf{k}\]

vektör denklemini buluruz. Gerçekten

\[x^2 + y^2 + z^2 = a^2\sin^2\phi\,(\cos^2\theta + \sin^2\theta) + a^2\cos^2\phi = a^2\]

olur. \(0 \le \phi \le \pi\) ve \(0 \le \theta \le 2\pi\) olduğundan parametre bölgesi \(D = [0, \pi] \times [0, 2\pi]\) dikdörtgenidir.

Koordinat eğrileri. \(\phi = c\) sabitken \(z = a\cos c\) sabittir ve nokta bu yükseklikte \(a\sin c\) yarıçaplı yatay bir çember çizer. Bunlar enlem çemberleridir; \(c = \pi/2\) için ekvator elde edilir. \(\theta = k\) sabitken nokta \(z\) eksenini içeren bir düzlemde kalır ve kuzey kutbu \((0, 0, a)\)’yı güney kutbu \((0, 0, -a)\)’ya bağlayan bir yarım çember çizer. Bunlar boylam çizgileri, yani meridyenlerdir.

\(\blacksquare\)

Küre örneği, parametrelerin bir harita gibi çalıştığını açıkça gösterir. \((\phi, \theta)\) çifti bir noktanın coğrafi konumunu verir: \(\phi\) kuzey kutbundan ölçülen açıdır (enlemin tümleri: \(\phi = \pi/2 - \text{enlem}\)), \(\theta\) da boylamdır. Parametrik gösterim bilgisayar grafiklerinde de bu yüzden tercih edilir. Küreyi \(z = \pm\sqrt{a^2 - x^2 - y^2}\) yarıkürelerinin grafikleri olarak çizmeye çalışmak, yüzeyin ekvator yakınında dikleşmesi yüzünden boşluklu bir resim verir; \(\mathbf{r}(\phi, \theta)\) ile çizilen ağ ise küreyi düzgünce kaplar.

Küre parametrelemesi r(φ, θ), [0, π] × [0, 2π] dikdörtgenini küreye gönderir. Düşey φ = c doğrusu bir enlem çemberine, yatay θ = k doğrusu kutupları birleştiren bir meridyene gider.

Silindir için de aynı yolu silindirik koordinatlarla izleriz.

Örnek 15.5 (Sonlu Bir Silindirin Parametrelenmesi) \(x^2 + y^2 = 4\), \(0 \le z \le 1\) silindirinin bir parametrik gösterimini bulunuz.

Çözüm

Silindirik koordinatlarda (bkz. Tanım 7.1) bu silindirin denklemi \(r = 2\)’dir. Öbür iki silindirik koordinatı, \(\theta\) ile \(z\)’yi parametre seçersek parametrik denklemler

\[x = 2\cos\theta, \qquad y = 2\sin\theta, \qquad z = z\]

olur. Vektör denklemi

\[\mathbf{r}(\theta, z) = 2\cos\theta\,\mathbf{i} + 2\sin\theta\,\mathbf{j} + z\,\mathbf{k}\]

ve parametre bölgesi

\[D = \{(\theta, z) : 0 \le \theta \le 2\pi,\ 0 \le z \le 1\}\]

dikdörtgenidir. \(\theta = c\) koordinat eğrileri silindirin üzerindeki \(1\) uzunluğundaki düşey doğru parçaları, \(z = k\) koordinat eğrileri de \(z = k\) yüksekliğindeki \(2\) yarıçaplı yatay çemberlerdir.

\(\blacksquare\)

Bir fonksiyon grafiğini parametrelemek ise çok kolaydır: bağımsız değişkenleri parametre alırız.

Örnek 15.6 (Bir Grafiğin Parametrelenmesi) \(z = x^2 + 2y^2\) eliptik paraboloidini temsil eden bir vektör fonksiyonu bulunuz.

Çözüm

\(x\) ile \(y\)’yi parametre alırsak parametrik denklemler

\[x = x, \qquad y = y, \qquad z = x^2 + 2y^2\]

olur. Vektör denklemi

\[\mathbf{r}(x, y) = x\,\mathbf{i} + y\,\mathbf{j} + (x^2 + 2y^2)\,\mathbf{k}, \qquad (x, y) \in \mathbb{R}^2\]

biçimindedir.

\(\blacksquare\)

Aynı fikir her fonksiyon grafiğine uygulanır. \(z = f(x, y)\), \((x, y) \in D\) grafiği, \(x\) ve \(y\) parametre alınarak

\[\mathbf{r}(x, y) = x\,\mathbf{i} + y\,\mathbf{j} + f(x, y)\,\mathbf{k}, \qquad (x, y) \in D\]

biçiminde her zaman bir parametrik yüzey olarak yazılabilir. \(y = g(x, z)\) ya da \(x = g(y, z)\) biçimindeki yüzeylerde de kalan iki değişken parametre alınır.

Bir yüzeyin parametrik gösterimi (parametrelemesi) tek türlü değildir. Aynı koniyi iki farklı yolla parametreleyelim.

Örnek 15.7 (Koninin İki Parametrelemesi) \(z = 2\sqrt{x^2 + y^2}\) yüzeyinin, yani \(z^2 = 4x^2 + 4y^2\) konisinin üst yarısının bir parametrik gösterimini bulunuz.

Çözüm

Birinci yol. Yüzey bir fonksiyon grafiği olduğundan \(x\) ile \(y\)’yi parametre seçebiliriz:

\[\mathbf{r}(x, y) = x\,\mathbf{i} + y\,\mathbf{j} + 2\sqrt{x^2 + y^2}\,\mathbf{k}, \qquad (x, y) \in \mathbb{R}^2.\]

İkinci yol. Kutupsal koordinatlar \(r\) ile \(\theta\)’yı parametre seçelim. Koni üzerindeki bir \((x, y, z)\) noktası için \(x = r\cos\theta\), \(y = r\sin\theta\) ve

\[z = 2\sqrt{x^2 + y^2} = 2\sqrt{r^2} = 2r \qquad (r \ge 0)\]

olur. Böylece koninin vektör denklemi

\[\mathbf{r}(r, \theta) = r\cos\theta\,\mathbf{i} + r\sin\theta\,\mathbf{j} + 2r\,\mathbf{k}, \qquad r \ge 0,\ \ 0 \le \theta \le 2\pi\]

olur.

\(\blacksquare\)

İki gösterim de koninin tamamını verir, ama ikincisi çoğu zaman daha kullanışlıdır. Örneğin yalnız koninin \(z = 1\) düzleminin altında kalan parçası isteniyorsa ikinci gösterimde \(z = 2r \le 1\), yani \(r \le \frac{1}{2}\) koşulu yeter. Parametre bölgesi

\[D = \left\{(r, \theta) : 0 \le r \le \tfrac{1}{2},\ 0 \le \theta \le 2\pi\right\}\]

dikdörtgeni olur ve \(\mathbf{r}\) bu dikdörtgeni, tepesi orijinde ve yüksekliği \(1\) olan bir koni parçasına gönderir. Birinci gösterimde aynı parçanın parametre bölgesi \(x^2 + y^2 \le \frac{1}{4}\) dairesidir.

15.3 Dönel Yüzeyler

Bir eğriyi bir eksen çevresinde döndürerek elde edilen yüzeylerin de doğal bir parametrelemesi vardır: eğrinin parametresine dönme açısını eklemek yeter.

Önerme 15.1 (Dönel Yüzeyin Parametrelenmesi) \(f\), \([a, b]\) aralığında \(f \ge 0\) olan bir fonksiyon olsun. \(y = f(x)\), \(a \le x \le b\) eğrisinin \(x\) ekseni çevresinde döndürülmesiyle elde edilen \(S\) yüzeyi

\[x = x, \qquad y = f(x)\cos\theta, \qquad z = f(x)\sin\theta\]

parametrik denklemleriyle verilir. Parametreler \(x\) ile \(\theta\), parametre bölgesi \(D = [a, b] \times [0, 2\pi]\)’dir.

y = f(x) eğrisi x ekseni çevresinde dönerken eğrinin her noktası, x eksenine dik düzlemde f(x) yarıçaplı bir çember çizer. y ekseninin yönünden θ kadar dönmüş nokta (x, f(x) cos θ, f(x) sin θ) olur.

İspat

Eğrinin \((x, f(x), 0)\) noktası \(x\) ekseni çevresinde dönerken \(x\) koordinatı değişmez; nokta, \(x\) eksenine dik olan bu \(x\) değerindeki düzlemde kalır. Eksene uzaklığı da değişmediğinden nokta bu düzlemde, merkezi \((x, 0, 0)\) ve yarıçapı \(f(x)\) olan çemberi çizer.

Dönme açısını \(\theta\) ile gösterelim ve açıyı \(y\) ekseninin pozitif yönünden \(z\) ekseninin pozitif yönüne doğru ölçelim. Bu düzlemde \(y\) ve \(z\) koordinatları, \(f(x)\) yarıçaplı çember için kutupsal koordinatlar gibi davranır. \(\theta\) kadar dönmüş noktanın koordinatları bu yüzden

\[y = f(x)\cos\theta, \qquad z = f(x)\sin\theta\]

olur. \(\theta\), \(0\)’dan \(2\pi\)’ye kadar değişince nokta çemberin tamamını çizer. \(x\) de \([a, b]\) aralığını tarayınca bu çemberler \(S\)’nin tamamını oluşturur.

\(\blacksquare\)

Eğri \(y\) ya da \(z\) ekseni çevresinde döndürüldüğünde de aynı fikir kullanılır; yalnız koordinatların rolleri değişir (bkz. Alıştırma 15.4).

Örnek 15.8 (Sinüs Eğrisinden Elde Edilen Dönel Yüzey) \(y = \sin x\), \(0 \le x \le 2\pi\) eğrisinin \(x\) ekseni çevresinde döndürülmesiyle elde edilen yüzeyin parametrik denklemlerini bulunuz ve yüzeyi çiziniz.

Çözüm

Parametrik denklemler. Önerme 15.1 formüllerini \(f(x) = \sin x\) ile yazarsak

\[x = x, \qquad y = \sin x\cos\theta, \qquad z = \sin x\sin\theta\]

buluruz. Parametre bölgesi \(0 \le x \le 2\pi\), \(0 \le \theta \le 2\pi\) dikdörtgenidir.

\(\sin x < 0\) olan kısım. \(\pi < x < 2\pi\) aralığında \(\sin x < 0\)’dır, yani önermedeki \(f \ge 0\) koşulu sağlanmaz. Yine de denklemler doğru yüzeyi verir. Bu aralıkta \(s = |\sin x| = -\sin x\) dersek

\[(\sin x\cos\theta,\ \sin x\sin\theta) = \big(s\cos(\theta + \pi),\ s\sin(\theta + \pi)\big)\]

olur. \(\theta\) tam bir tur attığında \(\theta + \pi\) de tam bir tur atar. Bu yüzden nokta yine \(s = |\sin x|\) yarıçaplı çemberin tamamını çizer ve yüzey, \(y = |\sin x|\) eğrisinin döndürülmesiyle elde edilen yüzeydir.

Yüzeyin biçimi. Yarıçap \(x = 0\), \(x = \pi\) ve \(x = 2\pi\) noktalarında sıfırdır, \(x = \pi/2\) ve \(x = 3\pi/2\) noktalarında en büyük değeri olan \(1\)’e ulaşır. Yüzey, \(x\) ekseni üzerinde uç uca eklenmiş iki iğ biçimindedir.

y = sin x, 0 ≤ x ≤ 2π eğrisinin x ekseni çevresinde döndürülmesiyle oluşan yüzey: x = 0, π ve 2π noktalarında eksene değen iki iğ.

\(\blacksquare\)

Şimdiye kadar gördüğümüz parametrelemeleri toparlayalım:

• Düzlem: \(\mathbf{r}(u, v) = \mathbf{r}_0 + u\,\mathbf{a} + v\,\mathbf{b}\).
• Fonksiyon grafiği \(z = f(x, y)\): parametreler \(x\) ve \(y\).
• Küre \(\rho = a\): parametreler küresel koordinatlardan \(\phi\) ve \(\theta\).
• Silindir \(r = a\): parametreler silindirik koordinatlardan \(\theta\) ve \(z\).
• \(z\) ekseni çevresinde simetrik yüzeyler (koni, paraboloit gibi): parametreler kutupsal koordinatlar \(r\) ve \(\theta\).
• Dönel yüzeyler: parametreler eğrinin parametresi ve dönme açısı.

Etkileşimli sahne: haritadaki doğrular yüzeydeki koordinat eğrilerine gider. Sahneyi sürükleyerek döndürebilirsiniz. Açılır listeden bir yüzey seçin: silindir (Örnek 15.1), spiral tüp (Örnek 15.2), \(a = 1\) yarıçaplı küre (Örnek 15.4), koni parçası (Örnek 15.7), sinüs eğrisinden elde edilen dönel yüzey (Örnek 15.8), helikoit (Alıştırma 15.8) ya da \(a = 1\), \(b = 2\) için torus (Alıştırma 15.11). Üstteki düz panel \(D\) parametre bölgesidir; iki kaydırıcı \(D\)’deki düşey \(u = u_0\) ve yatay \(v = v_0\) doğrularını kaydırır. Alttaki sahnede bu doğruların görüntüleri olan \(C_1\) ve \(C_2\) koordinat eğrileri kalın çizilir; ikisi \(\mathbf{r}(u_0, v_0)\) noktasında kesişir. Yüzeyin üzerindeki ince ağ da \(D\)’deki ince ağın görüntüsüdür. Değer satırı noktanın koordinatlarını ve iki eğrinin ne olduğunu yazar. Örneğin tüpte \(C_1\), merkezi \((2\cos u_0,\ 2\sin u_0,\ u_0)\) olan \(1\) yarıçaplı çemberdir; \(v_0\) değişince \(C_2\) sarmalının yarıçapı \(2 + \sin v_0\) olarak \(1\) ile \(3\) arasında değişir. Kürede ise \(C_1\) bir enlem çemberi, \(C_2\) bir meridyendir.

pyzGridSurfaces = {
  const TAU = 2 * Math.PI;
  const triple = (p) => `(${fmt(p[0], 2)}; ${fmt(p[1], 2)}; ${fmt(p[2], 2)})`;
  return {
    tube: {
      label: "spiral tüp",
      formula: "r(u, v) = ⟨(2 + sin v) cos u, (2 + sin v) sin u, u + cos v⟩, D = [0, 2π] × [0, 2π]",
      names: ["u", "v"],
      u: [0, TAU],
      v: [0, TAU],
      slider: [[0, 6.28, 3.14], [0, 6.28, 1.57]],
      r: (u, v) => [(2 + Math.sin(v)) * Math.cos(u), (2 + Math.sin(v)) * Math.sin(u), u + Math.cos(v)],
      box: { x: [-3.2, 3.2], y: [-3.2, 3.2], z: [-1.2, 7.5] },
      c1: (u) => `merkezi ${triple([2 * Math.cos(u), 2 * Math.sin(u), u])} olan 1 yarıçaplı çember`,
      c2: (u, v) => `yarıçapı 2 + sin v₀ = ${fmt(2 + Math.sin(v), 2)} olan sarmal`
    },
    cylinder: {
      label: "silindir",
      formula: "r(u, v) = ⟨2 cos u, v, 2 sin u⟩, D = [0, 2π] × [0, 3]",
      names: ["u", "v"],
      u: [0, TAU],
      v: [0, 3],
      slider: [[0, 6.28, 1.57], [0, 3, 1.5]],
      r: (u, v) => [2 * Math.cos(u), v, 2 * Math.sin(u)],
      box: { x: [-2.2, 2.2], y: [-0.2, 3.2], z: [-2.2, 2.2] },
      c1: (u) => `y eksenine paralel doğru (x = ${fmt(2 * Math.cos(u), 2)}, z = ${fmt(2 * Math.sin(u), 2)})`,
      c2: (u, v) => `y = ${fmt(v, 2)} düzleminde, merkezi (0; ${fmt(v, 2)}; 0) olan 2 yarıçaplı çember`
    },
    sphere: {
      label: "küre (a = 1)",
      formula: "r(φ, θ) = ⟨sin φ cos θ, sin φ sin θ, cos φ⟩, D = [0, π] × [0, 2π]",
      names: ["φ", "θ"],
      u: [0, Math.PI],
      v: [0, TAU],
      slider: [[0, 3.14, 1], [0, 6.28, 0.8]],
      r: (u, v) => [Math.sin(u) * Math.cos(v), Math.sin(u) * Math.sin(v), Math.cos(u)],
      box: { x: [-1.15, 1.15], y: [-1.15, 1.15], z: [-1.15, 1.15] },
      c1: (u) => (Math.sin(u) < 0.005 ? "kutup noktası (enlem çemberi tek noktaya iner)" : `z = cos φ₀ = ${fmt(Math.cos(u), 2)} yüksekliğinde, yarıçapı sin φ₀ = ${fmt(Math.sin(u), 2)} olan enlem çemberi`),
      c2: () => "kuzey kutbunu güney kutbuna bağlayan meridyen (yarım çember)"
    },
    cone: {
      label: "koni (z = 2r, r ≤ 1/2)",
      formula: "r(r, θ) = ⟨r cos θ, r sin θ, 2r⟩, D = [0, 1/2] × [0, 2π]",
      names: ["r", "θ"],
      u: [0, 0.5],
      v: [0, TAU],
      slider: [[0, 0.5, 0.3], [0, 6.28, 0.8]],
      r: (u, v) => [u * Math.cos(v), u * Math.sin(v), 2 * u],
      box: { x: [-0.55, 0.55], y: [-0.55, 0.55], z: [-0.05, 1.05] },
      c1: (u) => (u < 0.005 ? "koninin tepesi (tek nokta)" : `z = 2r₀ = ${fmt(2 * u, 2)} yüksekliğinde, yarıçapı ${fmt(u, 2)} olan yatay çember`),
      c2: () => "koninin tepesinden çıkan doğru parçası"
    },
    sine: {
      label: "dönel yüzey (y = sin x)",
      formula: "r(x, θ) = ⟨x, sin x cos θ, sin x sin θ⟩, D = [0, 2π] × [0, 2π]",
      names: ["x", "θ"],
      u: [0, TAU],
      v: [0, TAU],
      slider: [[0, 6.28, 1.57], [0, 6.28, 0.8]],
      r: (u, v) => [u, Math.sin(u) * Math.cos(v), Math.sin(u) * Math.sin(v)],
      box: { x: [-0.1, 6.4], y: [-1.1, 1.1], z: [-1.1, 1.1] },
      c1: (u) => (Math.abs(Math.sin(u)) < 0.005 ? "x ekseni üzerinde tek bir nokta" : `x = ${fmt(u, 2)} düzleminde, yarıçapı |sin x₀| = ${fmt(Math.abs(Math.sin(u)), 2)} olan çember`),
      c2: () => "y = sin x eğrisinin x ekseni çevresinde θ₀ kadar döndürülmüşü"
    },
    helicoid: {
      label: "helikoit",
      formula: "r(u, v) = ⟨u cos v, u sin v, v⟩, D = [0, 1] × [0, π]",
      names: ["u", "v"],
      u: [0, 1],
      v: [0, Math.PI],
      slider: [[0, 1, 0.6], [0, 3.14, 1.2]],
      r: (u, v) => [u * Math.cos(v), u * Math.sin(v), v],
      box: { x: [-1.1, 1.1], y: [-1.1, 1.1], z: [-0.1, 3.25] },
      c1: (u) => (u < 0.005 ? "z ekseni üzerinde bir doğru parçası" : `yarıçapı ${fmt(u, 2)} olan sarmal (helis)`),
      c2: (u, v) => `z = ${fmt(v, 2)} yüksekliğinde, z ekseninden çıkan 1 uzunluğunda yatay doğru parçası`
    },
    torus: {
      label: "torus (a = 1, b = 2)",
      formula: "r(θ, α) = ⟨(2 + cos α) cos θ, (2 + cos α) sin θ, sin α⟩, D = [0, 2π] × [0, 2π]",
      names: ["θ", "α"],
      u: [0, TAU],
      v: [0, TAU],
      slider: [[0, 6.28, 0.8], [0, 6.28, 1]],
      r: (u, v) => [(2 + Math.cos(v)) * Math.cos(u), (2 + Math.cos(v)) * Math.sin(u), Math.sin(v)],
      box: { x: [-3.15, 3.15], y: [-3.15, 3.15], z: [-1.1, 1.1] },
      c1: (u) => `döndürülen çemberin bir kopyası: merkezi ${triple([2 * Math.cos(u), 2 * Math.sin(u), 0])}, yarıçapı 1`,
      c2: (u, v) => `z = sin α₀ = ${fmt(Math.sin(v), 2)} yüksekliğinde, yarıçapı 2 + cos α₀ = ${fmt(2 + Math.cos(v), 2)} olan yatay çember`
    }
  };
}

viewof pyzGridSurface = Inputs.select(Object.keys(pyzGridSurfaces), { value: "tube", label: "yüzey", format: (key) => pyzGridSurfaces[key].label })

viewof pyzGridPoint = {
  const s = pyzGridSurfaces[pyzGridSurface];
  const [a, b] = s.names;
  const [su, sv] = s.slider;
  return Inputs.form({
    u: Inputs.range([su[0], su[1]], { value: su[2], step: 0.01, label: `${a}₀` }),
    v: Inputs.range([sv[0], sv[1]], { value: sv[2], step: 0.01, label: `${b}₀` })
  });
}

pyzGridMap = html`<div class="scene3d" style="height: 220px" role="img" aria-label="Parametre bolgesi D: ince bir ag, dusey u = u0 dogrusu, yatay v = v0 dogrusu ve kesistikleri (u0, v0) noktasi"></div>`

pyzGridPlot = html`<div class="scene3d" role="img" aria-label="Dondurulebilir sahne: secilen parametrik yuzey, uzerindeki koordinat egrisi agi ve kalin cizilen iki koordinat egrisi C1 (u = u0) ile C2 (v = v0); egriler r(u0, v0) noktasinda kesisir"></div>`

{
  const s = pyzGridSurfaces[pyzGridSurface];
  const { u, v } = pyzGridPoint;
  const [a, b] = s.names;
  const [u0, u1] = s.u;
  const [v0, v1] = s.v;
  const steps = 12;
  // The parameter region D with the grid that the surface's thin mesh comes from.
  const lines = (segments, color, width) => ({
    type: "scatter",
    mode: "lines",
    x: segments.flatMap((segment) => [...segment.map((q) => q[0]), null]),
    y: segments.flatMap((segment) => [...segment.map((q) => q[1]), null]),
    line: { color, width },
    showlegend: false,
    hoverinfo: "skip"
  });
  const mesh = [];
  for (let i = 0; i <= steps; i++) {
    const c = u0 + ((u1 - u0) * i) / steps;
    mesh.push([[c, v0], [c, v1]]);
  }
  for (let j = 0; j <= steps; j++) {
    const c = v0 + ((v1 - v0) * j) / steps;
    mesh.push([[u0, c], [u1, c]]);
  }
  const mapTraces = [
    fill2d([[u0, v0], [u1, v0], [u1, v1], [u0, v1]], theme.theory, { opacity: 0.1, width: 1.5 }),
    lines(mesh, withAlpha(theme.theory, 0.35), 1),
    lines([[[u, v0], [u, v1]]], theme.practice, 3.5),
    lines([[[u0, v], [u1, v]]], theme.base, 3.5),
    point2d([u, v], theme.text, undefined, { size: 8 })
  ];
  const padU = 0.04 * (u1 - u0);
  const padV = 0.06 * (v1 - v0);
  render(Plotly, pyzGridMap, mapTraces, planeLayout(theme, { x: [u0 - padU, u1 + padU], y: [v0 - padV, v1 + padV], equal: false, legend: false, titles: { x: a, y: b } }));
  const p = s.r(u, v);
  const traces = [
    surface(s.r, u0, u1, v0, v1, theme.theory, { opacity: 0.28 }),
    gridCurves(s.r, u0, u1, v0, v1, steps, steps, withAlpha(theme.theory, 0.45), { width: 1.5 }),
    legendItem("S", theme.theory),
    path((t) => s.r(u, t), v0, v1, theme.practice, `C₁ (${a} = ${a}₀)`, { width: 7, samples: 160 }),
    path((t) => s.r(t, v), u0, u1, theme.base, `C₂ (${b} = ${b}₀)`, { width: 7, samples: 160 }),
    point(p, theme.text, `r(${a}₀, ${b}₀)`, { size: 5 })
  ];
  render(Plotly, pyzGridPlot, traces, sceneLayout(theme, { ...s.box, revision: pyzGridSurface }));
  const pair = [fmt(u, 2), fmt(v, 2)];
  return html`<div class="scene3d-readout">${s.formula}<br>(${a}₀, ${b}₀) = (${pair[0]}; ${pair[1]}) &nbsp;·&nbsp; r(${a}₀, ${b}₀) = (${fmt(p[0], 2)}; ${fmt(p[1], 2)}; ${fmt(p[2], 2)})<br>C₁ (${a} = ${a}₀): ${s.c1(u, v)}<br>C₂ (${b} = ${b}₀): ${s.c2(u, v)}</div>`;
}

15.4 Teğet Düzlemler

Parametrik bir yüzeyin bir noktadaki teğet düzlemini, o noktadan geçen iki koordinat eğrisinin teğet vektörleriyle kuracağız.

\(S\), \(\mathbf{r}(u, v)\) ile verilen bir parametrik yüzey olsun. \(x\), \(y\), \(z\) bileşenlerinin kısmi türevleri (bkz. Analiz 4) var olsun ve \(P_0\), konum vektörü \(\mathbf{r}(u_0, v_0)\) olan nokta olsun. \(P_0\)’dan iki koordinat eğrisi geçer.

• \(u = u_0\) sabit tutularak elde edilen \(C_1\) eğrisi, \(v \mapsto \mathbf{r}(u_0, v)\) fonksiyonunun çizdiği eğridir. Bir vektör fonksiyonunun türevi, çizdiği eğrinin teğet vektörüdür. Bu yüzden \(C_1\)’in \(P_0\)’daki teğet vektörü, \(\mathbf{r}\)’nin \(v\)’ye göre kısmi türevidir:

  \[\mathbf{r}_v = \frac{\partial x}{\partial v}(u_0, v_0)\,\mathbf{i} + \frac{\partial y}{\partial v}(u_0, v_0)\,\mathbf{j} + \frac{\partial z}{\partial v}(u_0, v_0)\,\mathbf{k}.\]

• \(v = v_0\) sabit tutularak elde edilen \(C_2\) eğrisi, \(u \mapsto \mathbf{r}(u, v_0)\) fonksiyonunun çizdiği eğridir. Onun \(P_0\)’daki teğet vektörü de \(\mathbf{r}\)’nin \(u\)’ya göre kısmi türevidir:

  \[\mathbf{r}_u = \frac{\partial x}{\partial u}(u_0, v_0)\,\mathbf{i} + \frac{\partial y}{\partial u}(u_0, v_0)\,\mathbf{j} + \frac{\partial z}{\partial u}(u_0, v_0)\,\mathbf{k}.\]

\(C_1\) ve \(C_2\) yüzeyin üzerinde yattığından bu iki vektör yüzeye teğettir. İkisi de sıfırdan farklı ve birbirine paralel değilse \(P_0\)’dan geçen bir düzlem gererler. Teğet düzlemi bu düzlem olarak tanımlayacağız. İki vektörün paralel olmaması, vektörel çarpımlarının sıfırdan farklı olması demektir.

Tanım 15.3 (Düzgün Parametrik Yüzey) \(\mathbf{r}(u, v)\), \((u, v) \in D\) ile verilen bir \(S\) yüzeyinde \(\mathbf{r}_u\) ile \(\mathbf{r}_v\) sürekli ve \(D\)’nin her noktasında \(\mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v \ne \mathbf{0}\) ise \(S\)’ye düzgün (smooth) yüzey denir.

Yani düzgün bir yüzeyin her noktasında iki teğet vektör sıfırdan farklıdır ve paralel değildir; yüzeyde köşe, sivri uç ya da kırışık yoktur. Örneğin koninin \(\mathbf{r}(r, \theta) = r\cos\theta\,\mathbf{i} + r\sin\theta\,\mathbf{j} + 2r\,\mathbf{k}\) parametrelemesinde

\[\mathbf{r}_r \times \mathbf{r}_\theta = -2r\cos\theta\,\mathbf{i} - 2r\sin\theta\,\mathbf{j} + r\,\mathbf{k}\]

olur ve bu vektör yalnız \(r = 0\) için, yani koninin sivri tepesinde sıfırdır.

Tanım 15.4 (Teğet Düzlem) \(S\), \(\mathbf{r}(u, v)\) ile verilen düzgün bir parametrik yüzey ve \(P_0 = (x_0, y_0, z_0)\), konum vektörü \(\mathbf{r}(u_0, v_0)\) olan nokta olsun. \(S\)’nin \(P_0\)’daki teğet düzlemi, \(P_0\)’dan geçen ve \(\mathbf{r}_u(u_0, v_0)\) ile \(\mathbf{r}_v(u_0, v_0)\) vektörlerini içeren düzlemdir. Normal vektörü

\[\mathbf{n} = \mathbf{r}_u(u_0, v_0) \times \mathbf{r}_v(u_0, v_0)\]

olduğundan denklemi

\[\mathbf{n} \cdot \langle x - x_0,\ y - y_0,\ z - z_0 \rangle = 0\]

biçimindedir.

Yani teğet düzlem, \(P_0\)’dan geçen iki koordinat eğrisinin teğet doğrularını içeren düzlemdir. Normal vektörü, iki teğet vektöre birden dik olan vektörel çarpımdır.

P₀'dan geçen C₁ (u = u₀) ve C₂ (v = v₀) koordinat eğrilerinin teğet vektörleri r_v ve r_u'dur. Bu iki vektörü içeren düzlem teğet düzlemdir (gri); r_u × r_v ona diktir.

Teğet düzlemi bulurken her seferinde aynı yolu izleriz.

İpucuTeğet düzlem dört adımda

1. Parametreleri bul. \(\mathbf{r}(u_0, v_0) = \langle x_0, y_0, z_0 \rangle\) denklemlerini çöz. Üç bileşen denkleminin hepsini sağlayan \((u_0, v_0)\) değerini seç.
2. Teğet vektörleri hesapla. \(\mathbf{r}_u\) ile \(\mathbf{r}_v\) vektörlerini bul ve \((u_0, v_0)\)’da değerlendir.
3. Normal vektörü bul. \(\mathbf{n} = \mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v\) vektörünü hesapla ve \(\mathbf{n} \ne \mathbf{0}\) olduğunu denetle.
4. Denklemi yaz. \(\mathbf{n} \cdot \langle x - x_0, y - y_0, z - z_0 \rangle = 0\) eşitliğini aç ve sadeleştir.

Örnek 15.9 (Parametrik Bir Yüzeyin Teğet Düzlemi) \(x = u^2\), \(y = v^2\), \(z = u + 2v\) parametrik denklemleriyle verilen yüzeyin \((1, 1, 3)\) noktasındaki teğet düzleminin denklemini bulunuz.

Çözüm

Parametreler. \(u^2 = 1\) ve \(v^2 = 1\) denklemlerinden \(u = \pm 1\), \(v = \pm 1\) bulunur. Dört seçenekten yalnız \(u = 1\), \(v = 1\) üçüncü denklemi sağlar: \(z = 1 + 2 \cdot 1 = 3\). Öbür seçenekler \(z\) için \(-1\), \(1\) ve \(-3\) verir.

Teğet vektörler. Kısmi türevler

\[\mathbf{r}_u = 2u\,\mathbf{i} + \mathbf{k}, \qquad \mathbf{r}_v = 2v\,\mathbf{j} + 2\,\mathbf{k}\]

olur.

Normal vektör. Determinantı birinci satıra göre açarsak

\[\mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 2u & 0 & 1 \\ 0 & 2v & 2 \end{vmatrix} = -2v\,\mathbf{i} - 4u\,\mathbf{j} + 4uv\,\mathbf{k}\]

bulunur. \(u = v = 1\) için normal vektör \(\mathbf{n} = -2\,\mathbf{i} - 4\,\mathbf{j} + 4\,\mathbf{k}\) olur.

Denklem. Teğet düzlem

\[-2(x - 1) - 4(y - 1) + 4(z - 3) = 0\]

olur. Her terimi \(-2\)’ye bölüp sadeleştirirsek

\[x + 2y - 2z + 3 = 0\]

elde edilir. Denetim: \(1 + 2 - 6 + 3 = 0\).

Bu yüzeyin kendini kestiğini de belirtelim. \(\mathbf{r}(-u, -v) = \mathbf{r}(u, v)\) eşitliği yalnız \(u + 2v = 0\) iken sağlanır. O zaman \(z = 0\) ve \(x = u^2 = 4v^2 = 4y\) olur; yani \(v \ne 0\) iken iki farklı parametre çifti, \(z = 0\) düzlemindeki \(x = 4y\), \(y > 0\) yarı doğrusunun aynı noktasını verir. \((1, 1, 3)\) noktası ise yalnız \((u, v) = (1, 1)\) değerinden geldiği için teğet düzlemi tek türlü belirlidir.

\(\blacksquare\)

15.5 Parametrik Yüzeyin Alanı

Yüzey alanını Yüzey Alanı bölümündeki gibi tanımlayacağız: yüzeyi küçük parçalara böleceğiz ve her parçayı teğet düzlemdeki bir paralelkenarla değiştireceğiz. Bu kez parçaları \(D\) parametre bölgesini bölerek elde ediyoruz.

Basit olsun diye önce \(D\)’nin bir dikdörtgen olduğunu varsayalım ve onu kenarları \(\Delta u\) ile \(\Delta v\) olan \(R_{ij}\) alt dikdörtgenlerine bölelim. \((u_i^*, v_j^*)\), \(R_{ij}\)’nin sol alt köşesi olsun. \(S\)’nin \(R_{ij}\)’ye karşılık gelen \(S_{ij}\) parçasına bir yama (patch) diyelim. Yamanın bir köşesi, konum vektörü \(\mathbf{r}(u_i^*, v_j^*)\) olan \(P_{ij}\) noktasıdır. Bu noktadaki teğet vektörleri kısaca

\[\mathbf{r}_u^* = \mathbf{r}_u(u_i^*, v_j^*), \qquad \mathbf{r}_v^* = \mathbf{r}_v(u_i^*, v_j^*)\]

ile gösterelim.

Yamanın \(P_{ij}\)’de buluşan iki kenarı, \(R_{ij}\)’nin alt ve sol kenarlarının görüntüleridir. Alt kenarın görüntüsü \(P_{ij}\)’yi, konum vektörü \(\mathbf{r}(u_i^* + \Delta u, v_j^*)\) olan noktaya bağlar. Fark oranı kısmi türeve yaklaştığından

\[\mathbf{r}(u_i^* + \Delta u,\ v_j^*) - \mathbf{r}(u_i^*,\ v_j^*) \approx \Delta u\,\mathbf{r}_u^*\]

olur. Aynı biçimde sol kenar yaklaşık olarak \(\Delta v\,\mathbf{r}_v^*\) vektörüdür. Bu yüzden \(S_{ij}\) yamasını, \(\Delta u\,\mathbf{r}_u^*\) ve \(\Delta v\,\mathbf{r}_v^*\) vektörlerinin gerdiği paralelkenarla değiştirebiliriz. Bu paralelkenar \(S\)’nin \(P_{ij}\)’deki teğet düzleminde yatar ve alanı

\[\big|(\Delta u\,\mathbf{r}_u^*) \times (\Delta v\,\mathbf{r}_v^*)\big| = |\mathbf{r}_u^* \times \mathbf{r}_v^*|\,\Delta u\,\Delta v\]

olur.

D dikdörtgeni Δu × Δv boyutlu alt dikdörtgenlere bölünür. R_ij'nin görüntüsü S_ij yamasıdır (koyu). Yama, P_ij köşesinden çıkan Δu r_u^* ve Δv r_v^* vektörlerinin gerdiği paralelkenarla (turuncu) yaklaşık olarak aynı alana sahiptir.

Etkileşimli sahne: yüzeyi paralelkenarlarla kaplamak. Sahneyi sürükleyerek döndürebilirsiniz. Açılır listeden birim küreyi (Örnek 15.10), \(z = x^2 + y^2\) paraboloidinin \(z \le 9\) parçasını (Örnek 15.11), helikoidi (Alıştırma 15.8) ya da \(a = 1\), \(b = 2\) için torusu (Alıştırma 15.12) seçin. \(m\) ve \(n\) kaydırıcıları \(D\)’yi birinci parametre yönünde \(m\), ikinci parametre yönünde \(n\) parçaya böler. Her \(R_{ij}\)’nin sol alt köşesine karşılık gelen \(P_{ij}\) noktasında \(\Delta u\,\mathbf{r}_u^*\) ve \(\Delta v\,\mathbf{r}_v^*\) vektörlerinin gerdiği paralelkenar çizilir. Paralelkenarlar teğet düzlemlerde yatar ve yüzeyi pullar gibi örter. Değer satırı paralelkenarların alanlarının toplamını, birazdan tanımlayacağımız yüzey alanıyla (Tanım 15.5) karşılaştırır. Kürede \(m = 4\) için toplam \(11{,}9137\), \(m = 30\) için \(12{,}5549\) olur ve \(4\pi \approx 12{,}5664\)’e yaklaşır. Bu dört yüzeyde \(|\mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v|\) yalnız bir parametreye bağlı olduğundan toplam öbür yöndeki bölüntüden etkilenmez. Torusta ise \(\cos\alpha\)’nın eşit aralıklı noktalardaki değerlerinin toplamı \(0\) olduğundan toplam her bölüntüde tam \(8\pi^2 \approx 78{,}9568\)’dir.

pyzAreaSurfaces = {
  const TAU = 2 * Math.PI;
  return {
    sphere: {
      label: "küre (a = 1)",
      names: ["φ", "θ"],
      r: (u, v) => [Math.sin(u) * Math.cos(v), Math.sin(u) * Math.sin(v), Math.cos(u)],
      u: [0, Math.PI],
      v: [0, TAU],
      // |r_phi x r_theta| = sin(phi)
      mag: (u) => Math.sin(u),
      exact: 4 * Math.PI,
      exactText: "4π",
      m: [3, 30, 4],
      n: [6, 30, 8],
      box: { x: [-1.7, 1.7], y: [-1.7, 1.7], z: [-1.7, 1.7] }
    },
    paraboloid: {
      label: "paraboloit (z ≤ 9)",
      names: ["r", "θ"],
      r: (u, v) => [u * Math.cos(v), u * Math.sin(v), u * u],
      u: [0, 3],
      v: [0, TAU],
      // |r_r x r_theta| = r sqrt(4 r^2 + 1)
      mag: (u) => u * Math.sqrt(4 * u * u + 1),
      exact: (Math.PI / 6) * (37 * Math.sqrt(37) - 1),
      exactText: "π(37√37 − 1)/6",
      m: [2, 30, 4],
      n: [8, 30, 12],
      box: { x: [-3.8, 3.8], y: [-3.8, 3.8], z: [0, 9.2] }
    },
    helicoid: {
      label: "helikoit",
      names: ["u", "v"],
      r: (u, v) => [u * Math.cos(v), u * Math.sin(v), v],
      u: [0, 1],
      v: [0, Math.PI],
      // |r_u x r_v| = sqrt(1 + u^2)
      mag: (u) => Math.sqrt(1 + u * u),
      exact: (Math.PI / 2) * (Math.SQRT2 + Math.log(1 + Math.SQRT2)),
      exactText: "(π/2)[√2 + ln(1 + √2)]",
      m: [2, 30, 4],
      n: [3, 30, 6],
      box: { x: [-1.4, 1.4], y: [-0.1, 1.4], z: [0, 3.2] }
    },
    torus: {
      label: "torus (a = 1, b = 2)",
      names: ["θ", "α"],
      r: (u, v) => [(2 + Math.cos(v)) * Math.cos(u), (2 + Math.cos(v)) * Math.sin(u), Math.sin(v)],
      u: [0, TAU],
      v: [0, TAU],
      // |r_theta x r_alpha| = a (b + a cos(alpha)) with a = 1, b = 2
      mag: (u, v) => 2 + Math.cos(v),
      exact: 8 * Math.PI * Math.PI,
      exactText: "8π²",
      m: [8, 30, 12],
      n: [6, 30, 8],
      box: { x: [-3.9, 3.9], y: [-3.9, 3.9], z: [-1.45, 1.45] }
    }
  };
}

viewof pyzAreaSurface = Inputs.select(Object.keys(pyzAreaSurfaces), { value: "sphere", label: "yüzey", format: (key) => pyzAreaSurfaces[key].label })

viewof pyzAreaGrid = {
  const s = pyzAreaSurfaces[pyzAreaSurface];
  return Inputs.form({
    m: Inputs.range([s.m[0], s.m[1]], { value: s.m[2], step: 1, label: "m" }),
    n: Inputs.range([s.n[0], s.n[1]], { value: s.n[2], step: 1, label: "n" })
  });
}

pyzAreaPlot = html`<div class="scene3d" role="img" aria-label="Dondurulebilir sahne: secilen yuzey ve onu ortuyen paralelkenarlar; her paralelkenar bir yamanin sol alt kosesindeki teget duzlemde, delta u r_u ve delta v r_v vektorlerinin gerdigi paralelkenardir ve alanlarinin toplami yuzey alanina yaklasir"></div>`

{
  const s = pyzAreaSurfaces[pyzAreaSurface];
  const { m, n } = pyzAreaGrid;
  const [u0, u1] = s.u;
  const [v0, v1] = s.v;
  const du = (u1 - u0) / m;
  const dv = (v1 - v0) / n;
  const inset = 0.01;
  const X = [];
  const Y = [];
  const Z = [];
  const I = [];
  const J = [];
  const K = [];
  const EX = [];
  const EY = [];
  const EZ = [];
  const corners = [];
  let total = 0;
  for (let i = 0; i < m; i++) {
    for (let j = 0; j < n; j++) {
      const u = u0 + i * du;
      const v = v0 + j * dv;
      total += s.mag(u, v) * du * dv;
      const p = s.r(u, v);
      const [ru, rv] = partials(s.r, u, v);
      const a = ru.map((c) => c * du);
      const b = rv.map((c) => c * dv);
      const quad = [p, p.map((c, k) => c + a[k]), p.map((c, k) => c + a[k] + b[k]), p.map((c, k) => c + b[k])];
      // The filled face is shrunk a little toward its centre so that the edge lines are not hidden in it.
      const centre = p.map((c, k) => c + (a[k] + b[k]) / 2);
      const start = X.length;
      for (const q of quad) {
        X.push(centre[0] + (q[0] - centre[0]) * (1 - inset));
        Y.push(centre[1] + (q[1] - centre[1]) * (1 - inset));
        Z.push(centre[2] + (q[2] - centre[2]) * (1 - inset));
      }
      I.push(start, start);
      J.push(start + 1, start + 2);
      K.push(start + 2, start + 3);
      for (const q of [...quad, quad[0]]) {
        EX.push(q[0]);
        EY.push(q[1]);
        EZ.push(q[2]);
      }
      EX.push(null);
      EY.push(null);
      EZ.push(null);
      corners.push(p);
    }
  }
  const traces = [
    surface(s.r, u0, u1, v0, v1, theme.theory, { opacity: 0.25, nu: 32, nv: 32 }),
    legendItem("yüzey", theme.theory),
    {
      type: "mesh3d",
      x: X,
      y: Y,
      z: Z,
      i: I,
      j: J,
      k: K,
      color: theme.practice,
      opacity: 0.9,
      flatshading: true,
      lighting: { ambient: 0.75, diffuse: 0.5, specular: 0.05, roughness: 0.9, fresnel: 0.1 },
      hoverinfo: "skip",
      showlegend: false,
      showscale: false
    },
    { type: "scatter3d", mode: "lines", x: EX, y: EY, z: EZ, line: { color: withAlpha(theme.text, 0.6), width: 2 }, name: "paralelkenarlar", showlegend: true, hoverinfo: "skip" },
    points(corners, theme.text, "P<sub>ij</sub> köşeleri", { size: m * n > 300 ? 1.5 : 2.5 })
  ];
  render(Plotly, pyzAreaPlot, traces, sceneLayout(theme, { ...s.box, revision: pyzAreaSurface }));
  const [a, b] = s.names;
  const gap = total - s.exact;
  return html`<div class="scene3d-readout">${m} × ${n} = ${m * n} paralelkenar &nbsp;·&nbsp; Δ${a} = ${fmt(du, 4)}, Δ${b} = ${fmt(dv, 4)}<br>paralelkenarların toplam alanı = ${fmt(total, 4)} &nbsp;·&nbsp; yüzey alanı = ${s.exactText} ≈ ${fmt(s.exact, 4)} &nbsp;·&nbsp; fark = ${fmt(gap, 4)}</div>`;
}

Bütün yamalardaki paralelkenarların alanlarını toplayınca \(S\)’nin alanı için

\[\sum_{i=1}^{m} \sum_{j=1}^{n} |\mathbf{r}_u^* \times \mathbf{r}_v^*|\,\Delta u\,\Delta v\]

yaklaşımını buluruz. Bölüntü inceldikçe yaklaşımın iyileşmesini bekleriz. Öte yandan bu çift toplam, \(|\mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v|\) fonksiyonunun \(D\) üzerindeki bir Riemann toplamıdır ve limiti bir iki katlı integraldir (bkz. Tanım 1.2). Yüzey alanını bu yüzden şöyle tanımlarız.

Tanım 15.5 (Parametrik Yüzeyin Alanı) \(S\),

\[\mathbf{r}(u, v) = x(u, v)\,\mathbf{i} + y(u, v)\,\mathbf{j} + z(u, v)\,\mathbf{k}, \qquad (u, v) \in D\]

denklemiyle verilen bir parametrik yüzey olsun ve \(\mathbf{r}_u\) ile \(\mathbf{r}_v\), \(D\) üzerinde sürekli olsun. \(D\)’nin sınırı gibi sıfır alanlı bir küme dışındaki her \((u, v)\) noktasında \(\mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v \ne \mathbf{0}\) olsun ve bu noktalar \(S\)’nin farklı noktalarına gitsin. Kısacası parametreleme bu küme dışında düzgündür ve \((u, v)\) noktası \(D\)’yi tararken \(S\) yalnız bir kez örtülür. \(S\)’nin yüzey alanı

\[A(S) = \iint_D |\mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v|\,dA\]

sayısıdır. Burada

\[ \begin{aligned} \mathbf{r}_u &= \frac{\partial x}{\partial u}\,\mathbf{i} + \frac{\partial y}{\partial u}\,\mathbf{j} + \frac{\partial z}{\partial u}\,\mathbf{k}, \\[1mm] \mathbf{r}_v &= \frac{\partial x}{\partial v}\,\mathbf{i} + \frac{\partial y}{\partial v}\,\mathbf{j} + \frac{\partial z}{\partial v}\,\mathbf{k} \end{aligned} \]

vektörleridir.

Yani \(|\mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v|\), alanın parametre bölgesinden yüzeye geçerken kaç katına çıktığını söyleyen yerel büyütme çarpanıdır. \(D\)’deki \(\Delta u\,\Delta v\) alanlı küçük bir dikdörtgen, yüzeyde yaklaşık \(|\mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v|\,\Delta u\,\Delta v\) alanlı bir yamaya dönüşür. Eğrilerdeki \(L = \int_a^b |\mathbf{r}'(t)|\,dt\) yay uzunluğu formülü de aynı kalıptadır; orada \(|\mathbf{r}'(t)|\) uzunluğun büyütme çarpanıydı.

Bir özel durum, bu çarpanın ne olduğunu iyi gösterir. \(S\), \(xy\)-düzleminde bir bölgeyse \(z(u, v) = 0\) olur ve

\[\mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v = \left(\frac{\partial x}{\partial u}\frac{\partial y}{\partial v} - \frac{\partial x}{\partial v}\frac{\partial y}{\partial u}\right)\mathbf{k} = \frac{\partial(x, y)}{\partial(u, v)}\,\mathbf{k}\]

bulunur. Tanım bu durumda bölgenin alanını

\[A(S) = \iint_D \left|\frac{\partial(x, y)}{\partial(u, v)}\right| dA\]

olarak verir. Bu, Teorem 9.1 değişken değiştirme formülünün integrand \(1\) alınarak yazılmış hâlidir.

Tanım bir parametrelemeye dayanıyor. Aynı yüzeyin iki farklı parametrelemesi farklı alanlar verseydi tanım anlamsız olurdu; neyse ki öyle olmaz.

Önerme 15.2 (Alan Parametrelemeden Bağımsızdır) \(\mathbf{r}(u, v)\), \((u, v) \in D\), \(S\) yüzeyinin düzgün ve \(S\)’yi bir kez örten bir parametrelemesi olsun. \(T(s, t) = (u(s, t), v(s, t))\) dönüşümü bir \(E\) bölgesini \(D\)’nin üzerine bire bir götürsün, kısmi türevleri sürekli ve Jacobi determinantı sıfırdan farklı olsun. O zaman

\[\mathbf{R}(s, t) = \mathbf{r}\big(u(s, t),\ v(s, t)\big), \qquad (s, t) \in E\]

de \(S\)’nin düzgün ve \(S\)’yi bir kez örten bir parametrelemesidir ve iki parametreleme aynı alanı verir:

\[\iint_E |\mathbf{R}_s \times \mathbf{R}_t|\,dA = \iint_D |\mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v|\,dA.\]

İspat

Teğet vektörler. \(u_s = \partial u / \partial s\) gibi kısaltmalar kullanalım. Zincir kuralına göre (bkz. Analiz 4)

\[\mathbf{R}_s = u_s\,\mathbf{r}_u + v_s\,\mathbf{r}_v, \qquad \mathbf{R}_t = u_t\,\mathbf{r}_u + v_t\,\mathbf{r}_v\]

olur. Burada \(\mathbf{r}_u\) ile \(\mathbf{r}_v\), \(\big(u(s, t), v(s, t)\big)\) noktasında değerlendirilir.

Vektörel çarpım. Vektörel çarpım toplama üzerine dağılır, \(\mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_u = \mathbf{r}_v \times \mathbf{r}_v = \mathbf{0}\) ve \(\mathbf{r}_v \times \mathbf{r}_u = -\,\mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v\)’dir. Bu yüzden

\[\mathbf{R}_s \times \mathbf{R}_t = (u_s v_t - u_t v_s)\,\mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v = \frac{\partial(u, v)}{\partial(s, t)}\,\mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v\]

bulunur. Jacobi determinantı ve \(\mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v\) sıfırdan farklı olduğundan \(\mathbf{R}_s \times \mathbf{R}_t \ne \mathbf{0}\)’dır; \(\mathbf{R}_s\) ile \(\mathbf{R}_t\) de sürekli olduğundan yeni parametreleme düzgündür. \(T\), \(E\)’yi \(D\)’nin üzerine bire bir götürdüğünden \(\mathbf{R}\) de \(S\)’yi bir kez örter.

İntegraller. Uzunluk alırsak

\[|\mathbf{R}_s \times \mathbf{R}_t| = |\mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v|\,\left|\frac{\partial(u, v)}{\partial(s, t)}\right|\]

olur. \(g = |\mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v|\) fonksiyonuna değişken değiştirme formülünü (Teorem 9.1) uygularsak

\[\iint_D g\,dA = \iint_E g\big(u(s, t), v(s, t)\big)\left|\frac{\partial(u, v)}{\partial(s, t)}\right| dA = \iint_E |\mathbf{R}_s \times \mathbf{R}_t|\,dA\]

elde edilir.

\(\blacksquare\)

Tanımdaki iki koşulu uygularken nelere dikkat edeceğimizi kısaca belirtelim.

UyarıBir kez örtme ve sıfır alanlı bozulmalar

• Bir kez örtme. Yüzeyin bir parçası iki kez örtülürse integral o parçayı iki kez sayar. Örneğin küre parametrelemesinde \(\theta\)’yı \([0, 4\pi]\) aralığında alırsak küre iki kez dolaşılır ve integral \(4\pi a^2\) yerine \(8\pi a^2\) verir.
• Sıfır alanlı bozulmalar. Tanım 15.5, düzgünlük ve bir kez örtme koşullarının \(D\)’nin sınırı gibi sıfır alanlı bir küme boyunca bozulmasına izin verir. Sıfır alanlı bir küme iki katlı integrali değiştirmediğinden bu bozulmalar alanı etkilemez. Örneğin küre parametrelemesinde \(\theta = 0\) ve \(\theta = 2\pi\) aynı meridyeni verir; kutuplarda, yani \(\phi = 0\) ve \(\phi = \pi\) için de \(\mathbf{r}_\phi \times \mathbf{r}_\theta = \mathbf{0}\) olur.

Alan hesabını da hep aynı adımlarla yaparız.

İpucuParametrik yüzeyin alanı dört adımda

1. Parametrele. Yüzeyi \(\mathbf{r}(u, v)\) ile yaz ve \(D\) parametre bölgesini, yüzeyi bir kez örtecek biçimde belirle.
2. Teğet vektörleri bul. \(\mathbf{r}_u\) ile \(\mathbf{r}_v\) vektörlerini hesapla.
3. Büyütme çarpanını bul. \(\mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v\) vektörünü ve uzunluğunu hesapla. Kökün içi çoğu zaman \(\sin^2 + \cos^2 = 1\) ile ya da bir tam kareye dönüşerek sadeleşir.
4. İntegrali hesapla. \(\iint_D |\mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v|\,dA\) integralini ardışık integral olarak yaz ve hesapla.

Örnek 15.10 (Kürenin Alanı) \(a\) yarıçaplı bir kürenin alanını bulunuz.

Çözüm

Parametreleme. Örnek 15.4 parametrelemesini kullanalım:

\[x = a\sin\phi\cos\theta, \qquad y = a\sin\phi\sin\theta, \qquad z = a\cos\phi,\]

\(D = [0, \pi] \times [0, 2\pi]\). Bu parametreleme küreyi, sınırdaki meridyen ve kutuplar dışında bir kez örter.

Teğet vektörler.

\[ \begin{aligned} \mathbf{r}_\phi &= a\cos\phi\cos\theta\,\mathbf{i} + a\cos\phi\sin\theta\,\mathbf{j} - a\sin\phi\,\mathbf{k}, \\[1mm] \mathbf{r}_\theta &= -a\sin\phi\sin\theta\,\mathbf{i} + a\sin\phi\cos\theta\,\mathbf{j}. \end{aligned} \]

Vektörel çarpım. Bileşenleri tek tek hesaplayalım:

\[ \begin{aligned} \mathbf{i}\text{ bileşeni} &= (a\cos\phi\sin\theta)(0) - (-a\sin\phi)(a\sin\phi\cos\theta) = a^2\sin^2\phi\cos\theta, \\[1mm] \mathbf{j}\text{ bileşeni} &= (-a\sin\phi)(-a\sin\phi\sin\theta) - (a\cos\phi\cos\theta)(0) = a^2\sin^2\phi\sin\theta, \\[1mm] \mathbf{k}\text{ bileşeni} &= a^2\sin\phi\cos\phi\cos^2\theta + a^2\sin\phi\cos\phi\sin^2\theta = a^2\sin\phi\cos\phi. \end{aligned} \]

Böylece

\[\mathbf{r}_\phi \times \mathbf{r}_\theta = a^2\sin^2\phi\cos\theta\,\mathbf{i} + a^2\sin^2\phi\sin\theta\,\mathbf{j} + a^2\sin\phi\cos\phi\,\mathbf{k}\]

olur. Uzunluğunu hesaplarken önce \(\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1\), sonra \(\sin^2\phi + \cos^2\phi = 1\) kullanırız:

\[ \begin{aligned} |\mathbf{r}_\phi \times \mathbf{r}_\theta| &= \sqrt{a^4\sin^4\phi\cos^2\theta + a^4\sin^4\phi\sin^2\theta + a^4\sin^2\phi\cos^2\phi} \\[1mm] &= \sqrt{a^4\sin^4\phi + a^4\sin^2\phi\cos^2\phi} = \sqrt{a^4\sin^2\phi} = a^2\sin\phi. \end{aligned} \]

Son adımda \(0 \le \phi \le \pi\) için \(\sin\phi \ge 0\) olmasını kullandık.

İntegral.

\[A = \int_0^{2\pi} \int_0^{\pi} a^2\sin\phi\;d\phi\,d\theta = a^2 \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^{\pi} \sin\phi\;d\phi = a^2 \cdot 2\pi \cdot 2 = 4\pi a^2.\]

Ayrıca \(\mathbf{r}_\phi \times \mathbf{r}_\theta = a\sin\phi\;\mathbf{r}(\phi, \theta)\) olduğuna dikkat edelim: normal vektör yarıçap doğrultusundadır ve küreden dışarı bakar.

\(\blacksquare\)

15.6 Fonksiyon Grafiğinin Alanı

Genel tanımın, Yüzey Alanı bölümünde fonksiyon grafikleri için bulduğumuz formülle uyumlu olduğunu gösterelim.

Önerme 15.3 (Grafiğin Alanı ve Parametrik Tanım) \(f\)’nin kısmi türevleri \(D\) üzerinde sürekli olsun ve \(z = f(x, y)\), \((x, y) \in D\) grafiğini

\[\mathbf{r}(x, y) = x\,\mathbf{i} + y\,\mathbf{j} + f(x, y)\,\mathbf{k}\]

ile parametreleyelim. Bu parametreleme düzgündür, grafiği bir kez örter ve

\[\mathbf{r}_x \times \mathbf{r}_y = -\frac{\partial f}{\partial x}\,\mathbf{i} - \frac{\partial f}{\partial y}\,\mathbf{j} + \mathbf{k}\]

olur. Bu yüzden Tanım 15.5 tanımı

\[A(S) = \iint_D \sqrt{1 + \left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)^2 + \left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)^2}\;dA\]

değerini verir; bu, Teorem 5.1 formülüdür.

İspat

Teğet vektörler. Parametrik denklemler \(x = x\), \(y = y\), \(z = f(x, y)\) olduğundan

\[\mathbf{r}_x = \mathbf{i} + f_x\,\mathbf{k}, \qquad \mathbf{r}_y = \mathbf{j} + f_y\,\mathbf{k}\]

olur.

Vektörel çarpım. Determinantı birinci satıra göre açarsak

\[\mathbf{r}_x \times \mathbf{r}_y = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 0 & f_x \\ 0 & 1 & f_y \end{vmatrix} = -f_x\,\mathbf{i} - f_y\,\mathbf{j} + \mathbf{k}\]

bulunur.

Koşullar. Bu vektörün \(\mathbf{k}\) bileşeni \(1\) olduğundan hiçbir zaman sıfır olmaz. \(f_x\) ile \(f_y\) sürekli olduğundan \(\mathbf{r}_x\) ile \(\mathbf{r}_y\) de süreklidir; yani parametreleme düzgündür. \(\mathbf{r}(x, y)\) noktasının ilk iki koordinatı \((x, y)\)’nin kendisidir. Bu yüzden farklı \((x, y)\) noktaları farklı noktalar verir ve grafik bir kez örtülür.

Alan. Son olarak

\[|\mathbf{r}_x \times \mathbf{r}_y| = \sqrt{f_x^2 + f_y^2 + 1}\]

olduğundan tanımdaki integral, \(f_x = \partial z / \partial x\) ve \(f_y = \partial z / \partial y\) yazılınca istenen formüle dönüşür.

\(\blacksquare\)

Böylece \(\mathbf{n} = -f_x\,\mathbf{i} - f_y\,\mathbf{j} + \mathbf{k}\), grafiğin yukarı bakan bir normal vektörüdür. Tanım 15.4 tanımı da \((x_0, y_0, z_0)\) noktasında \(\mathbf{n} \cdot \langle x - x_0, y - y_0, z - z_0 \rangle = 0\), yani

\[z - z_0 = f_x(x_0, y_0)\,(x - x_0) + f_y(x_0, y_0)\,(y - y_0)\]

denklemini verir. Bu, grafiğin bilinen teğet düzlemidir (bkz. Analiz 4).

Grafikler için bile parametrik bakış bazen işi kolaylaştırır: kutupsal koordinatları sonradan değişken değiştirme olarak değil, baştan parametre olarak kullanabiliriz.

Örnek 15.11 (Paraboloit Parçasının Parametrik Alanı) \(z = x^2 + y^2\) paraboloidinin \(z = 9\) düzleminin altında kalan parçasının alanını, kutupsal koordinatları parametre alarak bulunuz.

Çözüm

Parametreleme. Düzlem paraboloidi \(x^2 + y^2 = 9\), \(z = 9\) çemberi boyunca keser. Aradığımız parça, \(3\) yarıçaplı \(x^2 + y^2 \le 9\) dairesinin üstündedir. Kutupsal koordinatları parametre alırsak \(z = x^2 + y^2 = r^2\) olur ve parça

\[\mathbf{r}(r, \theta) = r\cos\theta\,\mathbf{i} + r\sin\theta\,\mathbf{j} + r^2\,\mathbf{k}\]

ile parametrelenir. Parametre bölgesi \(D = [0, 3] \times [0, 2\pi]\)’dir.

Teğet vektörler.

\[\mathbf{r}_r = \cos\theta\,\mathbf{i} + \sin\theta\,\mathbf{j} + 2r\,\mathbf{k}, \qquad \mathbf{r}_\theta = -r\sin\theta\,\mathbf{i} + r\cos\theta\,\mathbf{j}.\]

Büyütme çarpanı. Bileşenleri tek tek hesaplarsak

\[\mathbf{r}_r \times \mathbf{r}_\theta = -2r^2\cos\theta\,\mathbf{i} - 2r^2\sin\theta\,\mathbf{j} + r\,\mathbf{k}\]

bulunur. \(\mathbf{k}\) bileşeni \(r\cos^2\theta + r\sin^2\theta = r\)’dir. Buradan, \(r \ge 0\) olduğundan

\[|\mathbf{r}_r \times \mathbf{r}_\theta| = \sqrt{4r^4\cos^2\theta + 4r^4\sin^2\theta + r^2} = \sqrt{4r^4 + r^2} = r\sqrt{4r^2 + 1}\]

olur.

İntegral.

\[A = \int_0^{2\pi} \int_0^3 r\sqrt{1 + 4r^2}\;dr\,d\theta = 2\pi \int_0^3 r\sqrt{1 + 4r^2}\;dr.\]

\(w = 1 + 4r^2\) dersek \(dw = 8r\,dr\) olur; \(r = 0\) iken \(w = 1\), \(r = 3\) iken \(w = 37\)’dir. Buradan

\[\int_0^3 r\sqrt{1 + 4r^2}\;dr = \frac{1}{8}\int_1^{37} w^{1/2}\,dw = \frac{1}{8} \cdot \frac{2}{3}\Big[w^{3/2}\Big]_1^{37} = \frac{1}{12}\big(37\sqrt{37} - 1\big)\]

ve

\[A = 2\pi \cdot \frac{1}{12}\big(37\sqrt{37} - 1\big) = \frac{\pi}{6}\big(37\sqrt{37} - 1\big) \approx 117{,}32\]

elde edilir.

Aynı sonucu Yüzey Alanı bölümünde grafik formülüyle ve kutupsal koordinatlara sonradan geçerek bulmuştuk. Burada kutupsal koordinatlar baştan parametre olarak girdi ve \(dA = r\,dr\,d\theta\)’daki \(r\) çarpanı vektörel çarpımın uzunluğundan kendiliğinden çıktı. İki yolun aynı sonucu vermesi Önerme 15.2 ile uyumludur.

\(\blacksquare\)

15.7 Dönel Yüzeyin Alanı

Son olarak genel tanımın, tek değişkenli analizde dönel yüzeylerin alanı için kullandığımız formülü de verdiğini görelim.

Önerme 15.4 (Dönel Yüzeyin Alanı) \(f\), \([a, b]\) aralığında \(f \ge 0\) olan ve türevi sürekli olan bir fonksiyon olsun. \(y = f(x)\), \(a \le x \le b\) eğrisinin \(x\) ekseni çevresinde döndürülmesiyle elde edilen yüzeyin alanı

\[A(S) = 2\pi \int_a^b f(x)\sqrt{1 + [f'(x)]^2}\;dx\]

olur. Bu, tek değişkenli analizdeki dönel yüzey alanı formülüdür (bkz. Analiz 2).

İspat

Parametreleme. Önerme 15.1 önermesine göre yüzey

\[\mathbf{r}(x, \theta) = x\,\mathbf{i} + f(x)\cos\theta\,\mathbf{j} + f(x)\sin\theta\,\mathbf{k}, \qquad (x, \theta) \in [a, b] \times [0, 2\pi]\]

ile parametrelenir.

Teğet vektörler.

\[ \begin{aligned} \mathbf{r}_x &= \mathbf{i} + f'(x)\cos\theta\,\mathbf{j} + f'(x)\sin\theta\,\mathbf{k}, \\[1mm] \mathbf{r}_\theta &= -f(x)\sin\theta\,\mathbf{j} + f(x)\cos\theta\,\mathbf{k}. \end{aligned} \]

Vektörel çarpım. Determinantı birinci satıra göre açarsak

\[\mathbf{r}_x \times \mathbf{r}_\theta = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & f'(x)\cos\theta & f'(x)\sin\theta \\ 0 & -f(x)\sin\theta & f(x)\cos\theta \end{vmatrix}\]

olur. \(\mathbf{i}\) bileşeni \(f f'\cos^2\theta + f f'\sin^2\theta = f f'\) olduğundan

\[\mathbf{r}_x \times \mathbf{r}_\theta = f(x)f'(x)\,\mathbf{i} - f(x)\cos\theta\,\mathbf{j} - f(x)\sin\theta\,\mathbf{k}\]

bulunur. \(f \ge 0\) olduğundan uzunluğu

\[ \begin{aligned} |\mathbf{r}_x \times \mathbf{r}_\theta| &= \sqrt{f^2 (f')^2 + f^2\cos^2\theta + f^2\sin^2\theta} \\[1mm] &= \sqrt{f^2\big(1 + (f')^2\big)} = f(x)\sqrt{1 + [f'(x)]^2} \end{aligned} \]

olur.

Koşullar. \(f\) ile \(f'\) sürekli olduğundan \(\mathbf{r}_x\) ile \(\mathbf{r}_\theta\) süreklidir. \(f(x) > 0\) olan her yerde vektörel çarpım sıfırdan farklıdır ve \((x, \theta)\), noktanın \(x\) koordinatından ve dönme açısından tek türlü bulunur. Geriye iki tür bozulma kalır. \(\theta = 0\) ile \(\theta = 2\pi\) kenarları aynı eğriyi verir; bu tekrar \(D\)’nin sınırında, yani sıfır alanlı bir küme boyuncadır. \(f(x) = 0\) olan \(x\) değerlerinde ise \(\{x\} \times [0, 2\pi]\) doğru parçası \(x\) eksenindeki tek bir noktaya gider ve orada vektörel çarpım sıfırdır. Ama bu noktalarda integrand \(f(x)\sqrt{1 + [f'(x)]^2}\) de sıfır olduğundan integrale katkıları yoktur; yüzeyin onlara karşılık gelen kısmı da \(x\) ekseni üzerinde kalır ve alanı sıfırdır. Bu yüzden integral, yüzeyin alanını verir.

Alan. Tanımdan

\[A(S) = \int_0^{2\pi} \int_a^b f(x)\sqrt{1 + [f'(x)]^2}\;dx\,d\theta = 2\pi \int_a^b f(x)\sqrt{1 + [f'(x)]^2}\;dx\]

elde edilir.

\(\blacksquare\)

Örneğin \(f(x) = \sqrt{a^2 - x^2}\), \(-a \le x \le a\) yarım çemberi \(x\) ekseni çevresinde dönünce \(a\) yarıçaplı küre oluşur. \(f'(x) = -x / \sqrt{a^2 - x^2}\) olduğundan \(-a < x < a\) için

\[f(x)\sqrt{1 + [f'(x)]^2} = \sqrt{a^2 - x^2}\,\sqrt{\frac{a^2}{a^2 - x^2}} = a\]

olur ve formül \(2\pi \int_{-a}^{a} a\,dx = 4\pi a^2\) değerini verir. Bu, Örnek 15.10 sonucuyla aynıdır. \(f'\) uç noktalarda tanımsızdır; ama integrand sabit olduğundan hesabı \([-a + \varepsilon,\ a - \varepsilon]\) üzerinde yapıp \(\varepsilon \to 0\) almak aynı sonucu verir.

15.8 Alıştırmalar

Aşağıdaki alıştırmalar kolaydan zora sıralanmıştır: önce yüzeyleri tanıma ve parametreleme, sonra teğet düzlem, en sonda yüzey alanı soruları gelir.

Alıştırma 15.1 (Noktalar Yüzeyin Üzerinde mi) \[\mathbf{r}(u, v) = \langle u + v,\ u - 2v,\ 3 + u - v \rangle\]

ile verilen yüzeyin üzerinde \(P(4, -5, 1)\) ve \(Q(0, 4, 6)\) noktalarından hangileri bulunur?

Çözüm

Bir nokta yüzeydeyse, üç koordinatı birden veren bir \((u, v)\) çifti bulunmalıdır. İlk iki denklemden \((u, v)\)’yi bulup üçüncü denklemi denetleyelim.

\(P(4, -5, 1)\). \(u + v = 4\) ve \(u - 2v = -5\) denklemlerini taraf tarafa çıkarırsak \(3v = 9\), yani \(v = 3\) ve \(u = 1\) bulunur. Üçüncü koordinat \(3 + 1 - 3 = 1\) olur ve \(P\)’ninkine eşittir. Demek ki \(P\) yüzeydedir ve \(P = \mathbf{r}(1, 3)\)’tür.

\(Q(0, 4, 6)\). \(u + v = 0\) ve \(u - 2v = 4\) denklemlerinden \(3v = -4\), yani \(v = -\frac{4}{3}\) ve \(u = \frac{4}{3}\) bulunur. Üçüncü koordinat

\[3 + \frac{4}{3} + \frac{4}{3} = \frac{17}{3} \ne 6\]

olur. İlk iki denklem \((u, v)\)’yi tek türlü belirlediğinden başka bir aday da yoktur. Demek ki \(Q\) yüzeyde değildir.

Aslında yüzey bir düzlemdir. İlk iki denklem \(u = \frac{2x + y}{3}\) ve \(v = \frac{x - y}{3}\) verir; bunları üçüncüde yerine koyarsak \(z = 3 + \frac{x + 2y}{3}\) bulunur. \(P\) bu denklemi sağlar (\(3 - 2 = 1\)), \(Q\) sağlamaz.

\(\blacksquare\)

Alıştırma 15.2 (Vektör Denkleminden Yüzeyi Tanımak) \(\mathbf{r}(u, v) = u^2\,\mathbf{i} + u\cos v\,\mathbf{j} + u\sin v\,\mathbf{k}\) vektör denklemiyle verilen yüzeyi belirleyiniz.

Çözüm

Denklem. Parametrik denklemler \(x = u^2\), \(y = u\cos v\), \(z = u\sin v\)’dir. Buradan

\[y^2 + z^2 = u^2(\cos^2 v + \sin^2 v) = u^2 = x\]

bulunur; yani her nokta \(x = y^2 + z^2\) denklemini sağlar.

Tersi. \(x = y^2 + z^2\) eşitliğini sağlayan bir \((x, y, z)\) noktası alalım. \((y, z)\) noktasını kutupsal biçimde \(y = s\cos v\), \(z = s\sin v\) olarak yazalım; burada \(s = \sqrt{y^2 + z^2} \ge 0\)’dır. \(u = s\) seçersek \(u^2 = y^2 + z^2 = x\) olur ve nokta \(\mathbf{r}(u, v)\)’ye eşittir.

Sonuç. Yüzey, \(x = y^2 + z^2\) dairesel paraboloidinin tamamıdır. Ekseni \(x\) eksenidir, tepesi orijindedir ve \(x\) ekseninin pozitif yönüne doğru açılır. \(u = u_0\) koordinat eğrileri \(x = u_0^2\) düzlemindeki \(|u_0|\) yarıçaplı çemberler, \(v = v_0\) koordinat eğrileri de \(x\) eksenini içeren düzlemlerdeki parabollerdir.

\(\blacksquare\)

Alıştırma 15.3 (Koninin Üstündeki Küre Parçası) \(x^2 + y^2 + z^2 = 4\) küresinin \(z = \sqrt{x^2 + y^2}\) konisinin üstünde kalan parçası için bir parametrik gösterim bulunuz.

Çözüm

Koşulu açılarla yazmak. Küre üzerinde \(\rho = 2\)’dir. Küresel koordinatlarda \(z = \rho\cos\phi\) ve \(\sqrt{x^2 + y^2} = \rho\sin\phi\) olduğundan (çünkü \(\sin\phi \ge 0\)), koninin üstünde olma koşulu

\[z \ge \sqrt{x^2 + y^2} \iff \cos\phi \ge \sin\phi\]

olur. \(0 \le \phi \le \pi\) aralığında \(\sin\phi \ge 0\) olduğundan bu eşitsizlik \(\cos\phi > 0\) gerektirir ve \(\tan\phi \le 1\), yani \(0 \le \phi \le \pi/4\) demektir.

Parametreleme. Böylece aranan parça

\[\mathbf{r}(\phi, \theta) = 2\sin\phi\cos\theta\,\mathbf{i} + 2\sin\phi\sin\theta\,\mathbf{j} + 2\cos\phi\,\mathbf{k}\]

ile verilir ve parametre bölgesi \(0 \le \phi \le \pi/4\), \(0 \le \theta \le 2\pi\) dikdörtgenidir. Parçanın sınırı \(\phi = \pi/4\) çemberidir: \(z = \sqrt{2}\) yüksekliğinde ve \(\sqrt{2}\) yarıçaplıdır.

Başka bir yol. Parça, \(z = \sqrt{4 - x^2 - y^2}\) üst yarıküresinin bir parçasıdır. \(r^2 = x^2 + y^2\) dersek koşul \(\sqrt{4 - r^2} \ge r\), yani \(r^2 \le 2\) olur. Bu yüzden \(x\) ile \(y\)’yi parametre alıp

\[\mathbf{r}(x, y) = x\,\mathbf{i} + y\,\mathbf{j} + \sqrt{4 - x^2 - y^2}\,\mathbf{k}, \qquad x^2 + y^2 \le 2\]

de yazabiliriz.

\(\blacksquare\)

Alıştırma 15.4 (Bir Hiperbol Kolunun Döndürülmesi) \(x = 1/y\), \(y \ge 1\) eğrisinin \(y\) ekseni çevresinde döndürülmesiyle elde edilen yüzeyin parametrik denklemlerini bulunuz.

Çözüm

Dönen nokta. Eğri \(xy\)-düzlemindedir ve noktaları \((1/y,\ y,\ 0)\) biçimindedir. Bu nokta \(y\) ekseni çevresinde dönerken \(y\) koordinatı değişmez ve \(y\) eksenine uzaklığı \(1/y\) kalır. Yani nokta, bu \(y\) değerinde \(y\) eksenine dik olan ve \(xz\)-düzlemine paralel düzlemde, merkezi \((0, y, 0)\) ve yarıçapı \(1/y\) olan çemberi çizer.

Parametreler. Dönme açısını \(\theta\) ile gösterelim ve \(x\) ekseninin pozitif yönünden \(z\) ekseninin pozitif yönüne doğru ölçelim. Önerme 15.1 önermesindeki gibi düşünürsek, bu düzlemde \(x\) ile \(z\) kutupsal koordinatlar gibi davranır:

\[x = \frac{\cos\theta}{y}, \qquad y = y, \qquad z = \frac{\sin\theta}{y}.\]

Parametreler \(y\) ile \(\theta\), parametre bölgesi \(y \ge 1\), \(0 \le \theta \le 2\pi\)’dir.

Denetim. \(x^2 + z^2 = \dfrac{\cos^2\theta + \sin^2\theta}{y^2} = \dfrac{1}{y^2}\) olur; her nokta \(y\) ekseninden \(1/y\) uzaklıktadır. Yüzey, \(y\) büyüdükçe daralarak \(y\) eksenine yaklaşan bir boru biçimindedir.

\(\blacksquare\)

Alıştırma 15.5 (Teğet Düzlem ve Parametrelerin Seçimi) \(x = u^2 + 1\), \(y = v^3 + 1\), \(z = u + v\) parametrik denklemleriyle verilen yüzeyin \((5, 2, 3)\) noktasındaki teğet düzleminin denklemini bulunuz.

Çözüm

Parametreler. \(u^2 + 1 = 5\) denkleminden \(u = \pm 2\) bulunur. \(v^3 + 1 = 2\) denkleminin tek gerçel çözümü \(v = 1\)’dir. Üçüncü denklem \(u + v = 3\), yani \(u = 2\) ister. Nokta \((u, v) = (2, 1)\) değerine karşılık gelir.

Teğet vektörler.

\[\mathbf{r}_u = 2u\,\mathbf{i} + \mathbf{k}, \qquad \mathbf{r}_v = 3v^2\,\mathbf{j} + \mathbf{k}\]

olduğundan \((2, 1)\) noktasında \(\mathbf{r}_u = 4\,\mathbf{i} + \mathbf{k}\) ve \(\mathbf{r}_v = 3\,\mathbf{j} + \mathbf{k}\) olur.

Normal vektör.

\[\mathbf{n} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 4 & 0 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \end{vmatrix} = (0 - 3)\,\mathbf{i} - (4 - 0)\,\mathbf{j} + (12 - 0)\,\mathbf{k} = -3\,\mathbf{i} - 4\,\mathbf{j} + 12\,\mathbf{k}.\]

Denklem. Teğet düzlem

\[-3(x - 5) - 4(y - 2) + 12(z - 3) = 0\]

olur. Açıp \(-1\) ile çarparsak

\[3x + 4y - 12z + 13 = 0\]

bulunur. Denetim: \(15 + 8 - 36 + 13 = 0\).

\(\blacksquare\)

Alıştırma 15.6 (Parametrik Bir Düzlem Parçasının Alanı) \[\mathbf{r}(u, v) = \langle u + v,\ 2 - 3u,\ 1 + u - v \rangle, \qquad 0 \le u \le 2,\ \ -1 \le v \le 1\]

ile verilen düzlem parçasının alanını bulunuz.

Çözüm

Teğet vektörler. Bileşenler \(u\) ve \(v\)’nin birinci dereceden ifadeleri olduğundan teğet vektörler sabittir:

\[\mathbf{r}_u = \langle 1, -3, 1 \rangle, \qquad \mathbf{r}_v = \langle 1, 0, -1 \rangle.\]

Büyütme çarpanı.

\[\mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & -3 & 1 \\ 1 & 0 & -1 \end{vmatrix} = (3 - 0)\,\mathbf{i} - (-1 - 1)\,\mathbf{j} + (0 + 3)\,\mathbf{k} = \langle 3, 2, 3 \rangle\]

ve \(|\mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v| = \sqrt{9 + 4 + 9} = \sqrt{22}\) olur. Vektörel çarpım sıfırdan farklı ve sabit olduğundan \(\mathbf{r}\) bire birdir; yüzey bir kez örtülür.

İntegral. İntegrand sabit olduğundan alan, \(\sqrt{22}\) ile \(D\)’nin alanının çarpımıdır. \(D\), kenarları \(2\) olan bir karedir:

\[A = \iint_D \sqrt{22}\;dA = \sqrt{22} \cdot 2 \cdot 2 = 4\sqrt{22} \approx 18{,}76.\]

Denetim. \(D\) kenarları \(2\) olan bir kare olduğundan yüzey, \(2\,\mathbf{r}_u\) ile \(2\,\mathbf{r}_v\) vektörlerinin gerdiği bir paralelkenardır ve alanı \(|2\,\mathbf{r}_u \times 2\,\mathbf{r}_v| = 4\sqrt{22}\)’dir.

\(\blacksquare\)

Alıştırma 15.7 (Kökü Tam Kareye Dönüşen Bir Yüzey) \(x = u^2\), \(y = uv\), \(z = \frac{1}{2}v^2\), \(0 \le u \le 1\), \(0 \le v \le 2\) parametrik denklemleriyle verilen yüzeyin alanını bulunuz.

Çözüm

Teğet vektörler.

\[\mathbf{r}_u = \langle 2u,\ v,\ 0 \rangle, \qquad \mathbf{r}_v = \langle 0,\ u,\ v \rangle.\]

Büyütme çarpanı. Bileşenleri tek tek hesaplarsak

\[\mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v = \langle v \cdot v - 0 \cdot u,\ \ 0 \cdot 0 - 2u \cdot v,\ \ 2u \cdot u - v \cdot 0 \rangle = \langle v^2,\ -2uv,\ 2u^2 \rangle\]

bulunur. Uzunluğun karesi bir tam karedir:

\[|\mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v|^2 = v^4 + 4u^2v^2 + 4u^4 = (v^2 + 2u^2)^2.\]

Bu yüzden \(|\mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v| = v^2 + 2u^2\) olur. Vektörel çarpım yalnız \(D\)’nin köşesi olan \((0, 0)\) noktasında sıfırdır. \(u, v \ge 0\) olduğundan \(u = \sqrt{x}\) ve \(v = \sqrt{2z}\) noktadan tek türlü bulunur; yüzey bir kez örtülür.

İntegral.

\[A = \int_0^1 \int_0^2 (v^2 + 2u^2)\;dv\,du = \int_0^1 \left(\frac{8}{3} + 4u^2\right) du = \frac{8}{3} + \frac{4}{3} = 4.\]

\(\blacksquare\)

Alıştırma 15.8 (Helikoidin Alanı) \(\mathbf{r}(u, v) = u\cos v\,\mathbf{i} + u\sin v\,\mathbf{j} + v\,\mathbf{k}\), \(0 \le u \le 1\), \(0 \le v \le \pi\) ile verilen helikoidin (sarmal rampanın) alanını bulunuz.

Çözüm

Teğet vektörler.

\[\mathbf{r}_u = \cos v\,\mathbf{i} + \sin v\,\mathbf{j}, \qquad \mathbf{r}_v = -u\sin v\,\mathbf{i} + u\cos v\,\mathbf{j} + \mathbf{k}.\]

Büyütme çarpanı. Bileşenleri tek tek hesaplarsak

\[\mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v = \sin v\,\mathbf{i} - \cos v\,\mathbf{j} + (u\cos^2 v + u\sin^2 v)\,\mathbf{k} = \sin v\,\mathbf{i} - \cos v\,\mathbf{j} + u\,\mathbf{k}\]

ve

\[|\mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v| = \sqrt{\sin^2 v + \cos^2 v + u^2} = \sqrt{1 + u^2}\]

bulunur. \(z = v\) koordinatı \(v\)’yi, \(\sqrt{x^2 + y^2} = u\) da \(u\)’yu verdiğinden yüzey bir kez örtülür.

İntegral. İntegrand \(v\)’ye bağlı olmadığından

\[A = \int_0^{\pi} \int_0^1 \sqrt{1 + u^2}\;du\,dv = \pi \int_0^1 \sqrt{1 + u^2}\;du\]

olur. \(I = \int \sqrt{1 + u^2}\,du\) diyelim. Kısmi integrasyonla

\[ \begin{aligned} I &= u\sqrt{1 + u^2} - \int \frac{u^2}{\sqrt{1 + u^2}}\,du \\[1mm] &= u\sqrt{1 + u^2} - I + \int \frac{du}{\sqrt{1 + u^2}} \end{aligned} \]

bulunur; ikinci adımda \(u^2 = (1 + u^2) - 1\) yazdık. \(\int \frac{du}{\sqrt{1 + u^2}} = \ln\big(u + \sqrt{1 + u^2}\big)\) olduğundan, \(I\)’yı yalnız bırakırsak

\[\int \sqrt{1 + u^2}\,du = \frac{1}{2}\Big[u\sqrt{1 + u^2} + \ln\big(u + \sqrt{1 + u^2}\big)\Big] + C\]

elde edilir. \(0\) ile \(1\) arasında değerlendirirsek

\[A = \pi \cdot \frac{1}{2}\Big[\sqrt{2} + \ln\big(1 + \sqrt{2}\big)\Big] = \frac{\pi}{2}\Big[\sqrt{2} + \ln\big(1 + \sqrt{2}\big)\Big] \approx 3{,}606\]

bulunur.

\(\blacksquare\)

Alıştırma 15.9 (Eğimleri Sınırlı Bir Yüzeyin Alanı) \(S\) yüzeyinin denklemi \(z = f(x, y)\), \(x^2 + y^2 \le R^2\)’dir. \(f_x\) ile \(f_y\) sürekli ve her noktada \(|f_x| \le 1\), \(|f_y| \le 1\) olduğu biliniyor. \(A(S)\) hakkında ne söylenebilir?

Çözüm

İntegrandı sınırlamak. \(0 \le f_x^2 \le 1\) ve \(0 \le f_y^2 \le 1\) olduğundan

\[1 \le 1 + f_x^2 + f_y^2 \le 3, \qquad \text{yani} \qquad 1 \le \sqrt{1 + f_x^2 + f_y^2} \le \sqrt{3}\]

olur.

İntegrali sınırlamak. \(D\), alanı \(\pi R^2\) olan dairedir. Önerme 15.3 formülünü ve iki katlı integralin sınırlama özelliğini (bkz. Önerme 2.1) kullanırsak

\[\pi R^2 \le A(S) = \iint_D \sqrt{1 + f_x^2 + f_y^2}\;dA \le \sqrt{3}\,\pi R^2\]

bulunur.

Sınırlar iyileştirilemez. \(f\) sabitse yüzey düz bir dairedir ve \(A(S) = \pi R^2\) olur. \(f(x, y) = x + y\) için her noktada \(f_x = f_y = 1\)’dir ve \(A(S) = \sqrt{3}\,\pi R^2\) olur.

\(\blacksquare\)

Alıştırma 15.10 (Paraboloidin İçindeki Küre Parçası) \(x^2 + y^2 + z^2 = 4z\) küresinin \(z = x^2 + y^2\) paraboloidinin içinde kalan parçasının alanını bulunuz.

Çözüm

Parçayı belirlemek. Küre denklemi \(x^2 + y^2 + (z - 2)^2 = 4\) biçiminde yazılabilir; merkezi \((0, 0, 2)\), yarıçapı \(2\)’dir ve üzerinde \(0 \le z \le 4\)’tür. Paraboloidin içi, çanağın içi olan \(z \ge x^2 + y^2\) bölgesidir. Küre üzerinde \(x^2 + y^2 = 4z - z^2\) olduğundan koşul

\[z \ge 4z - z^2 \iff z^2 - 3z \ge 0 \iff z \le 0 \ \text{ ya da } \ z \ge 3\]

olur. Küre üzerinde \(z = 0\) yalnız orijinde sağlanır; bu tek nokta alana katkı vermez. Aranan parça, kürenin \(z \ge 3\) olan kapağıdır.

Parametreleme. Küresel açıları merkeze göre alalım:

\[\mathbf{r}(\phi, \theta) = 2\sin\phi\cos\theta\,\mathbf{i} + 2\sin\phi\sin\theta\,\mathbf{j} + (2 + 2\cos\phi)\,\mathbf{k}.\]

\(z \ge 3\) koşulu \(2 + 2\cos\phi \ge 3\), yani \(\cos\phi \ge \frac{1}{2}\) demektir. Bu da \(0 \le \phi \le \pi/3\) verir. Parametre bölgesi \([0, \pi/3] \times [0, 2\pi]\)’dir.

Büyütme çarpanı. \(\mathbf{r}\), \(2\) yarıçaplı ve orijin merkezli kürenin Örnek 15.4 parametrelemesinin \(2\,\mathbf{k}\) kadar ötelenmişidir. Öteleme kısmi türevleri değiştirmediğinden Örnek 15.10 hesabı \(a = 2\) ile \(|\mathbf{r}_\phi \times \mathbf{r}_\theta| = 4\sin\phi\) verir.

İntegral.

\[A = \int_0^{2\pi} \int_0^{\pi/3} 4\sin\phi\;d\phi\,d\theta = 2\pi \cdot 4\Big[-\cos\phi\Big]_0^{\pi/3} = 8\pi\left(1 - \frac{1}{2}\right) = 4\pi.\]

Sonuç, küre kapağının alanı için Arşimet’in bulduğu \(2\pi R h\) formülüyle uyumludur: burada \(R = 2\) ve kapağın yüksekliği \(h = 4 - 3 = 1\)’dir.

\(\blacksquare\)

Alıştırma 15.11 (Torusun Parametrelenmesi) \(0 < a < b\) olsun. \(xz\)-düzleminde merkezi \((b, 0, 0)\) ve yarıçapı \(a\) olan çember \(z\) ekseni çevresinde döndürülerek bir torus elde ediliyor. Çember üzerindeki açıyı \(\alpha\), dönme açısını \(\theta\) ile göstererek torusun parametrik denklemlerini bulunuz.

Çözüm

Çember. \(\alpha\) açısını çemberin merkezinden, \(x\) ekseninin pozitif yönünden \(z\) ekseninin pozitif yönüne doğru ölçelim. Çemberin noktaları

\[(b + a\cos\alpha,\ 0,\ a\sin\alpha), \qquad 0 \le \alpha \le 2\pi\]

olur.

Döndürme. Bu nokta \(z\) ekseni çevresinde dönerken yüksekliği \(a\sin\alpha\) ve \(z\) eksenine uzaklığı \(b + a\cos\alpha\) değişmez; \(a < b\) olduğundan bu uzaklık pozitiftir. Nokta bu yükseklikte, \(b + a\cos\alpha\) yarıçaplı yatay bir çember çizer. Dönme açısı \(\theta\) ise \(xy\)-düzlemindeki kutupsal açı gibi davranır:

\[x = (b + a\cos\alpha)\cos\theta, \qquad y = (b + a\cos\alpha)\sin\theta, \qquad z = a\sin\alpha.\]

Parametre bölgesi \(0 \le \theta \le 2\pi\), \(0 \le \alpha \le 2\pi\) karesidir.

Denetim. \(\sqrt{x^2 + y^2} = b + a\cos\alpha\) olduğundan

\[\big(\sqrt{x^2 + y^2} - b\big)^2 + z^2 = a^2\cos^2\alpha + a^2\sin^2\alpha = a^2\]

olur. Bu, \(z\) eksenine uzaklığı \(b\) olan çember çevresindeki \(a\) yarıçaplı tüpün, yani torusun denklemidir. \(\theta\) sabit koordinat eğrileri döndürülen çemberin kopyaları, \(\alpha\) sabit olanlar da yatay çemberlerdir.

\(\blacksquare\)

Alıştırma 15.12 (Torusun Alanı) \(0 < a < b\) olsun.

\[\mathbf{r}(\theta, \alpha) = (b + a\cos\alpha)\cos\theta\,\mathbf{i} + (b + a\cos\alpha)\sin\theta\,\mathbf{j} + a\sin\alpha\,\mathbf{k}\]

ile verilen torusun (bkz. Alıştırma 15.11) alanını bulunuz; parametre bölgesi \(0 \le \theta \le 2\pi\), \(0 \le \alpha \le 2\pi\)’dir.

Çözüm

Teğet vektörler. Kısalık için \(w = b + a\cos\alpha\) diyelim; \(a < b\) olduğundan \(w > 0\)’dır.

\[ \begin{aligned} \mathbf{r}_\theta &= -w\sin\theta\,\mathbf{i} + w\cos\theta\,\mathbf{j}, \\[1mm] \mathbf{r}_\alpha &= -a\sin\alpha\cos\theta\,\mathbf{i} - a\sin\alpha\sin\theta\,\mathbf{j} + a\cos\alpha\,\mathbf{k}. \end{aligned} \]

Büyütme çarpanı. Bileşenleri tek tek hesaplayalım:

\[ \begin{aligned} \mathbf{i}\text{ bileşeni} &= (w\cos\theta)(a\cos\alpha) - 0 = a w\cos\alpha\cos\theta, \\[1mm] \mathbf{j}\text{ bileşeni} &= 0 - (-w\sin\theta)(a\cos\alpha) = a w\cos\alpha\sin\theta, \\[1mm] \mathbf{k}\text{ bileşeni} &= a w\sin\alpha\sin^2\theta + a w\sin\alpha\cos^2\theta = a w\sin\alpha. \end{aligned} \]

Buradan

\[|\mathbf{r}_\theta \times \mathbf{r}_\alpha| = a w\sqrt{\cos^2\alpha\,(\cos^2\theta + \sin^2\theta) + \sin^2\alpha} = a w = a(b + a\cos\alpha)\]

bulunur.

İntegral.

\[ \begin{aligned} A &= \int_0^{2\pi} \int_0^{2\pi} a(b + a\cos\alpha)\;d\alpha\,d\theta \\[1mm] &= \int_0^{2\pi} \Big[a b\,\alpha + a^2\sin\alpha\Big]_0^{2\pi}\,d\theta = \int_0^{2\pi} 2\pi a b\;d\theta = 4\pi^2 a b. \end{aligned} \]

Sonuç, döndürülen çemberin uzunluğu \(2\pi a\) ile merkezinin çizdiği çemberin uzunluğu \(2\pi b\)’nin çarpımıdır.

\(\blacksquare\)

Parametrik yüzeyler ve \(\mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v\) vektörü, bundan sonraki bölümlerin temel aracı olacak. \(|\mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v|\) alan ölçmeyi, \(\mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v\) vektörünün kendisi de yüzeyin bir yüzünü seçmeyi sağlar. Bir sonraki bölümde, alanını ölçmeyi öğrendiğimiz yüzeyler üzerinde fonksiyonları ve vektör alanlarını integralleyeceğiz: Yüzey İntegralleri.