Kompleks Analiz

Kompleks Analiz ders notlarının müfredatı: kompleks sayılar, analitik fonksiyonlar, Cauchy teoremleri, seriler, rezidü teorisi ve uygulamaları.

Kompleks analiz, karmaşık düzlemde tanımlı fonksiyonların türev ve integralini inceleyerek reel analizde ulaşılamayan sonuçlara varır. Analitik bir fonksiyonun tek bir türevinin varlığının sonsuz kez türevlenebilirliği gerektirmesi gibi şaşırtıcı sonuçlarıyla matematiğin en zarif dallarından biridir.

Bu dersin notları hazırlanma aşamasındadır. Aşağıda dersin tam müfredatı yer almaktadır; bölümler tamamlandıkça bu sayfadan bağlantılanacaktır.

📖 1. Bölüm — Temeller

Kompleks Sayılar

• Cebirsel ve üstel gösterim
• Argüman ve kökler
• Bölgeler ve tasvirler

Fonksiyonlar

• Analitik ve harmonik fonksiyonlar
• Üstel ve logaritmik fonksiyonlar
• Trigonometrik ve hiperbolik fonksiyonlar

Limit ve Türev

• Limit ve süreklilik
• Diferansiyellenebilirlik
• Cauchy-Riemann denklemleri

İntegrasyon

• Belirli integraller
• Çevre integralleri
• Ters türevler

📖 2. Bölüm — İleri Konular

Cauchy Teoremleri

• Goursat teoremi
• Cauchy integral formülü
• Maksimum modül ilkesi
• Liouville teoremi

Seriler

• Yakınsaklık
• Seriler üzerinde işlemler
• Taylor serileri
• Kuvvet serileri
• Laurent serileri

Rezidü

• Sıfırlar ve kutuplar
• Tekillikler
• Cauchy rezidü teoremi
• Sonsuzda rezidü

Uygulamalar

• Has olmayan integraller
• Trigonometrik integraller
• Dal kesimi
• Jordan lemması
• Argüman ilkesi ve Rouché teoremi
• Ters Laplace dönüşümü