10 Nümerik Türev
Bir fonksiyonun yalnız birkaç noktadaki değerleri biliniyorsa (bir ölçüm tablosu ya da pahalı bir hesabın çıktısı) türev kuralla alınamaz. Bu bölümde \(f\)’nin \(x_0, x_1, \dots, x_n\) noktalarındaki değerlerinden bir türev değerine yaklaşan formüller kuracağız. Fikir şudur: \(f\) yerine interpolasyon polinomunun türevi alınır, Lagrange hata teriminden de yapılan kesme hatası okunur.
Türevin tanımı
\[ f'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} \]
(sağdaki limit varsa) küçük bir \(h\) için fark bölümünün \(f'(x_0)\)’a yakın olduğunu söyler. Önce bu yaklaşımı iki noktayla elde edip hatasını ölçeceğiz, sonra nokta sayısını \(n + 1\)’e çıkaracağız.
10.1 İki nokta ile türev yaklaşımı
En basit formül, iki noktadan geçen doğrunun, yani birinci dereceden Lagrange polinomunun türevinden gelir.
\(f \in C^2[a, b]\), \(x_0 \in (a, b)\) ve \(h \neq 0\) sayısı \(x_1 = x_0 + h \in [a, b]\) olacak kadar küçük olsun. \(f\)’yi \(x_0\) ve \(x_1\) noktalarındaki Lagrange interpolasyon polinomu ve hata terimiyle yazalım (Teorem 8.3):
\[ \begin{aligned} f(x) &= \frac{x - x_1}{x_0 - x_1}\, f(x_0) + \frac{x - x_0}{x_1 - x_0}\, f(x_1) \\[1mm] &\quad + \frac{f''(\xi(x))}{2!}\,(x - x_0)(x - x_1). \end{aligned} \]
\(h = x_1 - x_0\) olduğundan bu eşitlik
\[ \begin{aligned} f(x) &= \frac{x - x_0 - h}{-h}\, f(x_0) + \frac{x - x_0}{h}\, f(x_0 + h) \\[1mm] &\quad + \frac{f''(\xi(x))}{2}\,(x - x_0)(x - x_0 - h) \end{aligned} \]
biçimini alır. Her iki tarafın \(x\)’e göre türevi alınırsa
\[ \begin{aligned} f'(x) &= \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} + \frac{2(x - x_0) - h}{2}\, f''(\xi(x)) \\[1mm] &\quad + \frac{(x - x_0)(x - x_0 - h)}{2} \cdot \frac{d}{dx}\big(f''(\xi(x))\big) \end{aligned} \]
bulunur. \(\xi(x)\)’i içeren terimler ihmal edilirse \(f'(x) \approx \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}\) yaklaşımı çıkar. Ancak bu yaklaşımın kesme hatasını genel bir \(x\) için kestiremeyiz, çünkü \(\frac{d}{dx}\big(f''(\xi(x))\big)\) hakkında hiçbir bilgimiz yoktur. \(x = x_0\) alınırsa bu terimin katsayısı \(\frac{(x - x_0)(x - x_0 - h)}{2}\) sıfır olur, ikinci terimde de \(2(x - x_0) - h = -h\) kalır. Böylece hata terimi açıkça yazılabilen aşağıdaki formüle ulaşırız.
Önerme 10.1 (İleri ve geri fark formülü) \(f \in C^2[a, b]\), \(x_0 \in (a, b)\), \(h \neq 0\) ve \(x_0 + h \in [a, b]\) olsun. \(x_0\) ile \(x_0 + h\) arasında öyle bir \(\xi\) sayısı vardır ki
\[ f'(x_0) = \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} - \frac{h}{2}\, f''(\xi) \tag{1} \]
olur. Ayrıca bir \(M > 0\) için \(x_0\) ile \(x_0 + h\) arasındaki her \(x\) için \(|f''(x)| \leq M\) ise
\[ \left| \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} - f'(x_0) \right| \leq \frac{M\,|h|}{2} \]
eşitsizliği sağlanır. \(f'(x_0) \approx \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}\) yaklaşımına \(h > 0\) ise ileri fark formülü, \(h < 0\) ise geri fark formülü denir.
İspat
Yukarıdaki türetme, \(\frac{d}{dx}\big(f''(\xi(x))\big)\) türevinin var olduğunu sessizce kabul eder. Taylor Teoremi bu varsayım olmadan aynı sonucu verir. \(f\)’nin \(x_0\) civarındaki birinci dereceden Taylor polinomunu kalan terimiyle \(x = x_0 + h\) noktasında yazalım (Teorem 1.9): \(x_0\) ile \(x_0 + h\) arasında bir \(\xi\) için
\[ f(x_0 + h) = f(x_0) + f'(x_0)\, h + \frac{f''(\xi)}{2}\, h^2 \]
dir. \(f(x_0)\)’ı sola geçirip \(h \neq 0\) ile bölersek
\[ \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} = f'(x_0) + \frac{h}{2}\, f''(\xi) \]
ve buradan (1) elde edilir. \(\xi\) sayısı \(x_0\) ile \(x_0 + h\) arasında olduğundan \(|f''(\xi)| \leq M\) dir; dolayısıyla
\[ \left| \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} - f'(x_0) \right| = \frac{|h|}{2}\, |f''(\xi)| \leq \frac{M\,|h|}{2} \]
bulunur. \(\blacksquare\)
Yani fark bölümü, \((x_0, f(x_0))\) ve \((x_0 + h, f(x_0 + h))\) noktalarından geçen kirişin eğimidir ve bu eğim, teğetin eğimi olan \(f'(x_0)\)’dan en çok \(M|h|/2\) kadar sapar. Hata \(h\) ile orantılı küçülür: \(f'(x_0) = \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} + O(h)\) (Tanım 3.5). İleri fark \(x_0\)’ın sağındaki, geri fark solundaki değeri kullanır.
- Noktaları ve \(h\)’yi belirle; türevin istendiği noktanın konumuna göre formülü seç (iki nokta, üç-nokta uç nokta, üç-nokta orta nokta ya da ikinci türev için orta nokta).
- Fonksiyon değerlerini formülde yerine yaz ve sonucu istenen basamağa yuvarla.
- Hata terimindeki türevi hesapla, mutlak değerinin \(\xi\)’nin bulunabileceği aralıktaki en büyük değeri \(M\)’yi bul ve sınırı yaz. Gerçek değer biliniyorsa gerçek mutlak hatayı bu sınırla karşılaştır.
Örnek 10.1 (ln x için ileri fark) \(f(x) = \ln x\) olmak üzere \(h = 0{,}1\) alarak ileri fark formülü yardımıyla \(f'(1{,}8)\) türev değerine bir yaklaşımda bulunun ve oluşan mutlak hata için bir sınır belirleyin. (Virgülden sonra 7 basamağa yuvarlayın.)
Çözüm
Yaklaşım. \(x_0 = 1{,}8\) ve \(h = 0{,}1\) için ileri fark formülü
\[ f'(1{,}8) \approx \frac{f(1{,}9) - f(1{,}8)}{0{,}1} = \frac{\ln 1{,}9 - \ln 1{,}8}{0{,}1} = 0{,}5406722 \]
verir.
Hata sınırı. \(f'(x) = \frac{1}{x}\) ve \(f''(x) = -\frac{1}{x^2}\) dir. (1)’deki \(\xi\) sayısı \(1{,}8\) ile \(1{,}9\) arasındadır ve \(\frac{1}{x^2}\) bu aralıkta azalan olduğundan
\[ |f''(\xi)| = \frac{1}{\xi^2} \leq \frac{1}{(1{,}8)^2} = 0{,}3086420 = M \]
alınabilir. İleri ve geri fark formülüne (Önerme 10.1) göre
\[ \begin{aligned} \left| f'(1{,}8) - \frac{f(1{,}9) - f(1{,}8)}{0{,}1} \right| &\leq \frac{M\,|h|}{2} \\[1mm] &= \frac{0{,}3086420 \cdot 0{,}1}{2} = 0{,}0154321 \end{aligned} \]
bulunur.
Karşılaştırma. Gerçek değer \(f'(1{,}8) = \frac{1}{1{,}8} = 0{,}5555556\) olduğundan gerçek mutlak hata
\[ |0{,}5555556 - 0{,}5406722| = 0{,}0148834 \]
dür ve gerçekten \(0{,}0154321\) sınırının altındadır. Kirişin eğimi teğetinkinden küçüktür, çünkü \(\ln x\) konkavdır.
\(\blacksquare\)
10.2 (n + 1)-nokta formülü
Aynı fikri \(n + 1\) farklı noktaya genelleştirelim; iki nokta formülü bunun \(n = 1\) hâlidir.
\(x_0, x_1, \dots, x_n\) farklı noktalar, \(L_k(x)\) bu noktalara ait \(k\). Lagrange katsayı polinomu olsun. Lagrange hata teoremine (Teorem 8.3) göre
\[ f(x) = \sum_{k=0}^{n} f(x_k)\, L_k(x) + \frac{(x - x_0) \cdots (x - x_n)}{(n + 1)!}\, f^{(n+1)}(\xi(x)) \]
dir. Bu eşitlikte \(x\)’e göre türev alınırsa
\[ \begin{aligned} f'(x) &= \sum_{k=0}^{n} f(x_k)\, L_k'(x) \\[1mm] &\quad + \frac{d}{dx}\left[ \frac{(x - x_0) \cdots (x - x_n)}{(n + 1)!} \right] f^{(n+1)}(\xi(x)) \\[1mm] &\quad + \frac{(x - x_0) \cdots (x - x_n)}{(n + 1)!} \cdot \frac{d}{dx}\big(f^{(n+1)}(\xi(x))\big) \end{aligned} \]
bulunur. \(x = x_j\) noktasında son terimin katsayısı sıfırdır. Çarpımın türevinde de çarpım kuralıyla oluşan \(n + 1\) terimden yalnız \((x - x_j)\) çarpanının türevlendiği terim \(x_j\)’de sıfırdan farklı kalır ve \(\prod_{k \neq j} (x_j - x_k)\) değerini verir. Bu gözlem aşağıdaki formülü verir.
Önerme 10.2 ((n + 1)-nokta formülü) \(n \geq 1\), \(x_0, x_1, \dots, x_n\) farklı noktalar ve \(I\) bu noktaları içeren en küçük kapalı aralık olsun. \(f \in C^{n+1}(I)\) ise her \(j = 0, 1, \dots, n\) için \(I\) içinde öyle bir \(\xi_j\) vardır ki
\[ \begin{aligned} f'(x_j) &= \sum_{k=0}^{n} f(x_k)\, L_k'(x_j) \\[1mm] &\quad + \frac{f^{(n+1)}(\xi_j)}{(n + 1)!} \prod_{\substack{k=0 \\ k \neq j}}^{n} (x_j - x_k) \end{aligned} \]
olur. Bu formüle \(f'(x_j)\) türevi için \((n + 1)\)-nokta formülü denir.
İspat
Yukarıdaki türetme \(\frac{d}{dx}\big(f^{(n+1)}(\xi(x))\big)\) türevinin varlığını kabul ediyordu; bu varsayıma gerek yoktur. Hata fonksiyonunu
\[ g(x) = f(x) - \sum_{k=0}^{n} f(x_k)\, L_k(x) \]
diye tanımlayalım ve \(\omega_j(x) = \prod_{k \neq j} (x - x_k)\) diyelim. \(g\) türevlenebilirdir, \(g(x_j) = 0\) dır ve noktalar farklı olduğundan \(\omega_j(x_j) \neq 0\) dır. Ayrıca
\[ g'(x_j) = f'(x_j) - \sum_{k=0}^{n} f(x_k)\, L_k'(x_j) \]
olduğundan \(g'(x_j) = \frac{f^{(n+1)}(\xi_j)}{(n + 1)!}\, \omega_j(x_j)\) olacak bir \(\xi_j \in I\) bulmak yeter.
\(x \in I\) noktası düğümlerden farklı olsun. Lagrange hata teoremine (Teorem 8.3) göre \(I\) içinde bir \(\xi(x)\) için
\[ g(x) = (x - x_j)\, \omega_j(x)\, \frac{f^{(n+1)}(\xi(x))}{(n + 1)!} \]
dir, yani
\[ \frac{f^{(n+1)}(\xi(x))}{(n + 1)!} = \frac{g(x) - g(x_j)}{x - x_j} \cdot \frac{1}{\omega_j(x)}. \]
Düğüm sayısı sonlu olduğundan \(x\), \(I\) içinde düğümlere uğramadan \(x_j\)’ye yaklaştırılabilir. Bu durumda sağ taraf \(\lambda = \frac{g'(x_j)}{\omega_j(x_j)}\) sayısına yakınsar.
\(f^{(n+1)}\) fonksiyonu \(I\) kapalı aralığında süreklidir; Ekstrem Değer Teoremine (Teorem 1.5) göre burada en küçük değeri \(m\)’yi ve en büyük değeri \(M\)’yi alır. Sol taraf her \(x\) için \(\frac{m}{(n + 1)!}\) ile \(\frac{M}{(n + 1)!}\) arasında olduğundan limiti de öyledir: \(m \leq (n + 1)!\, \lambda \leq M\). Ara Değer Teoremine (Teorem 1.7) göre \(I\) içinde \(f^{(n+1)}(\xi_j) = (n + 1)!\, \lambda\) olan bir \(\xi_j\) vardır. Böylece
\[ g'(x_j) = \lambda\, \omega_j(x_j) = \frac{f^{(n+1)}(\xi_j)}{(n + 1)!} \prod_{k \neq j} (x_j - x_k) \]
elde edilir. \(\blacksquare\)
Yani türevi, interpolasyon polinomunun türevinin düğümdeki değeriyle yaklaşırız; hata, Lagrange hata teriminin \(x_j\)’deki türevidir. Genellikle nokta sayısı arttıkça yaklaşım iyileşir. Uygulamada en çok üç-nokta ve beş-nokta formülleri kullanılır.
10.3 Üç-nokta formülleri
\(n = 2\) alıp formülleri açıkça yazalım; önce katsayı polinomlarının türevleri gerekir.
\(x_0, x_1, x_2\) noktaları için \(L_k(x)\) ve (çarpım kuralıyla) \(L_k'(x)\) şöyledir:
\[ \begin{aligned} L_0(x) &= \frac{(x - x_1)(x - x_2)}{(x_0 - x_1)(x_0 - x_2)}, & L_0'(x) &= \frac{2x - x_1 - x_2}{(x_0 - x_1)(x_0 - x_2)}, \\[1mm] L_1(x) &= \frac{(x - x_0)(x - x_2)}{(x_1 - x_0)(x_1 - x_2)}, & L_1'(x) &= \frac{2x - x_0 - x_2}{(x_1 - x_0)(x_1 - x_2)}, \\[1mm] L_2(x) &= \frac{(x - x_0)(x - x_1)}{(x_2 - x_0)(x_2 - x_1)}, & L_2'(x) &= \frac{2x - x_0 - x_1}{(x_2 - x_0)(x_2 - x_1)}. \end{aligned} \]
Bunlar \((n + 1)\)-nokta formülünde (Önerme 10.2) \(n = 2\) için yerine yazılırsa \(j = 0, 1, 2\) için
\[ \begin{aligned} f'(x_j) &= f(x_0)\, \frac{2x_j - x_1 - x_2}{(x_0 - x_1)(x_0 - x_2)} \\[1mm] &\quad + f(x_1)\, \frac{2x_j - x_0 - x_2}{(x_1 - x_0)(x_1 - x_2)} \\[1mm] &\quad + f(x_2)\, \frac{2x_j - x_0 - x_1}{(x_2 - x_0)(x_2 - x_1)} \\[1mm] &\quad + \frac{1}{6}\, f'''(\xi_j) \prod_{\substack{k=0 \\ k \neq j}}^{2} (x_j - x_k) \end{aligned} \tag{2} \]
elde edilir. Noktalar eşit aralıklı olunca katsayılar çok sadeleşir.
Önerme 10.3 (Üç-nokta formülleri) \(h \neq 0\) ve \(f\), \(x_0\), \(x_0 + h\), \(x_0 + 2h\) noktalarını içeren en küçük kapalı aralıkta \(C^3\) sınıfından olsun. \(x_0\) ile \(x_0 + 2h\) arasında öyle \(\xi_0\), \(\xi_1\), \(\xi_2\) sayıları vardır ki
\[ \begin{aligned} f'(x_0) &= \frac{1}{2h}\big[-3f(x_0) + 4f(x_0 + h) - f(x_0 + 2h)\big] \\[1mm] &\quad + \frac{h^2}{3}\, f'''(\xi_0), \end{aligned} \tag{3} \]
\[ f'(x_0 + h) = \frac{1}{2h}\big[-f(x_0) + f(x_0 + 2h)\big] - \frac{h^2}{6}\, f'''(\xi_1), \tag{4} \]
\[ \begin{aligned} f'(x_0 + 2h) &= \frac{1}{2h}\big[f(x_0) - 4f(x_0 + h) + 3f(x_0 + 2h)\big] \\[1mm] &\quad + \frac{h^2}{3}\, f'''(\xi_2) \end{aligned} \tag{5} \]
olur. (3) ve (5) türevi aralığın \(x_0\) ve \(x_0 + 2h\) uç noktalarında verdiği için bunlara üç-nokta uç nokta formülleri, (4) türevi \(x_0 + h\) orta noktasında verdiği için üç-nokta orta nokta formülü denir.
İspat
(2)’de \(x_1 = x_0 + h\) ve \(x_2 = x_0 + 2h\) yazalım. Bu durumda
\[ x_1 - x_0 = h, \qquad x_2 - x_0 = 2h, \qquad x_2 - x_1 = h \]
olur. \(\xi_j\), \((n + 1)\)-nokta formülündeki (Önerme 10.2) sayıdır; aralık \([x_0, x_0 + 2h]\) (ya da \(h < 0\) ise \([x_0 + 2h, x_0]\)) olduğundan \(x_0\) ile \(x_0 + 2h\) arasındadır.
\(j = 0\), yani \(x_j = x_0\). Katsayılar
\[ \begin{aligned} L_0'(x_0) &= \frac{2x_0 - x_1 - x_2}{(x_0 - x_1)(x_0 - x_2)} = \frac{-3h}{(-h)(-2h)} = -\frac{3}{2h}, \\[1mm] L_1'(x_0) &= \frac{2x_0 - x_0 - x_2}{(x_1 - x_0)(x_1 - x_2)} = \frac{-2h}{h \cdot (-h)} = \frac{4}{2h}, \\[1mm] L_2'(x_0) &= \frac{2x_0 - x_0 - x_1}{(x_2 - x_0)(x_2 - x_1)} = \frac{-h}{2h \cdot h} = -\frac{1}{2h} \end{aligned} \]
ve hata terimindeki \((x_0 - x_1)(x_0 - x_2)\) çarpımı \((-h)(-2h) = 2h^2\) dir. \(\frac{1}{6} \cdot 2h^2 = \frac{h^2}{3}\) olduğundan (3) elde edilir.
\(j = 1\), yani \(x_j = x_0 + h\). \(2x_1 - x_1 - x_2 = -h\), \(2x_1 - x_0 - x_2 = 0\) ve \(2x_1 - x_0 - x_1 = h\) olduğundan
\[ L_0'(x_1) = \frac{-h}{2h^2} = -\frac{1}{2h}, \qquad L_1'(x_1) = 0, \qquad L_2'(x_1) = \frac{h}{2h^2} = \frac{1}{2h} \]
dir. \((x_1 - x_0)(x_1 - x_2)\) çarpımı \(h \cdot (-h) = -h^2\) ve \(\frac{1}{6}(-h^2) = -\frac{h^2}{6}\) olduğundan (4) elde edilir.
\(j = 2\), yani \(x_j = x_0 + 2h\). \(2x_2 - x_1 - x_2 = h\), \(2x_2 - x_0 - x_2 = 2h\) ve \(2x_2 - x_0 - x_1 = 3h\) olduğundan
\[ \begin{aligned} L_0'(x_2) &= \frac{h}{(-h)(-2h)} = \frac{1}{2h}, \qquad L_1'(x_2) = \frac{2h}{h \cdot (-h)} = -\frac{4}{2h}, \\[1mm] L_2'(x_2) &= \frac{3h}{2h \cdot h} = \frac{3}{2h} \end{aligned} \]
dir. Çarpım \((x_2 - x_0)(x_2 - x_1) = 2h \cdot h = 2h^2\) olduğundan hata terimi yine \(\frac{h^2}{3} f'''(\xi_2)\) olur ve (5) elde edilir. \(\blacksquare\)
Yani üç değer bilindiğinde türevin iki uçta ve ortada nasıl yaklaşılacağını bu üç formül söyler; üçünün de hatası \(h^2\) ile orantılıdır.
Formülleri türevin istendiği \(x_0\) noktası cinsinden yazmak daha kullanışlıdır.
Sonuç 10.1 (Türevin alındığı noktaya göre üç-nokta formülleri) \(h \neq 0\) olsun ve \(f\) kullanılan noktaları içeren kapalı aralıkta \(C^3\) sınıfından olsun.
Üç-nokta orta nokta formülü. \(x_0 - h\) ile \(x_0 + h\) arasındaki bir \(\xi\) için
\[ f'(x_0) = \frac{1}{2h}\big[f(x_0 + h) - f(x_0 - h)\big] - \frac{h^2}{6}\, f'''(\xi). \tag{6} \]
Üç-nokta uç nokta formülü. \(x_0 - 2h\) ile \(x_0\) arasındaki bir \(\xi\) için
\[ \begin{aligned} f'(x_0) &= \frac{1}{2h}\big[f(x_0 - 2h) - 4f(x_0 - h) + 3f(x_0)\big] \\[1mm] &\quad + \frac{h^2}{3}\, f'''(\xi). \end{aligned} \tag{7} \]
İspat
(4) formülü \(x_0\) yerine \(x_0 - h\) yazılarak kullanılırsa (\(x_0 + h \mapsto x_0\) yer değiştirmesi) üç nokta \(x_0 - h\), \(x_0\), \(x_0 + h\) olur ve (6) elde edilir; \(\xi\) bu kez \(x_0 - h\) ile \(x_0 + h\) arasındadır. (5) formülü \(x_0\) yerine \(x_0 - 2h\) yazılarak kullanılırsa (\(x_0 + 2h \mapsto x_0\)) üç nokta \(x_0 - 2h\), \(x_0 - h\), \(x_0\) olur ve (7) elde edilir; \(\xi\) bu kez \(x_0 - 2h\) ile \(x_0\) arasındadır. \(\blacksquare\)
(3) formülünde \(h\) yerine \(-h\) yazılırsa
\[ \begin{aligned} f'(x_0) &= \frac{1}{-2h}\big[-3f(x_0) + 4f(x_0 - h) - f(x_0 - 2h)\big] \\[1mm] &\quad + \frac{h^2}{3}\, f'''(\xi) \end{aligned} \]
yani tam olarak (7) elde edilir. Bu nedenle üç-nokta uç nokta formülü olarak (3)’ün bilinmesi yeterlidir: \(h > 0\) alınırsa sağdaki, \(h < 0\) alınırsa soldaki değerler kullanılır.
Her formülde \(\xi\)’yi içeren terim hata terimidir. Türeve verilen aralığın uç noktalarında yaklaşılacaksa (bir taraftaki değerler yoksa) uygun üç-nokta uç nokta formülü, ara noktalarda ise üç-nokta orta nokta formülü kullanılır. Orta nokta formülü daha iyi sonuç verir: hata sabiti \(\frac{h^2}{6}\), uç nokta formülündeki \(\frac{h^2}{3}\)’ün yarısıdır ve yalnız iki fonksiyon değeri gerekir.
Örnek 10.2 (Tablodan üç-nokta orta nokta formülüyle türev) \(f(x) = x e^x\) fonksiyonunun bazı değerleri aşağıdaki tabloda verilmiştir.
| \(x\) | \(f(x)\) |
|---|---|
| \(1{,}8\) | \(10{,}889365\) |
| \(1{,}9\) | \(12{,}703199\) |
| \(2{,}0\) | \(14{,}778112\) |
| \(2{,}1\) | \(17{,}148957\) |
| \(2{,}2\) | \(19{,}855030\) |
\(h = 0{,}1\) için üç-nokta orta nokta formülünü kullanarak \(f'(2)\) değerine bir yaklaşımda bulunun ve gerçek değer yardımıyla bu yaklaşımdaki mutlak hatayı belirleyin.
Çözüm
Yaklaşım. \(x_0 = 2{,}0\) ve \(h = 0{,}1\) için \(x_0 - h = 1{,}9\) ve \(x_0 + h = 2{,}1\) dir. (6) formülünden
\[ f'(2) \approx \frac{1}{2(0{,}1)}\big[17{,}148957 - 12{,}703199\big] = \frac{4{,}445758}{0{,}2} = 22{,}228790 \]
bulunur.
Gerçek hata. \(f'(x) = e^x + x e^x = e^x(1 + x)\) olduğundan gerçekte \(f'(2) = 3e^2 = 22{,}167168\) dir ve yaklaşımın gerçek mutlak hatası
\[ |22{,}167168 - 22{,}228790| = 0{,}061622 \]
dir.
Hata terimiyle karşılaştırma. (6)’daki hata terimi \(-\frac{h^2}{6} f'''(\xi)\), \(1{,}9 < \xi < 2{,}1\) dir. \(f'''(x) = e^x(x + 3)\) fonksiyonu artan olduğundan \(|f'''(\xi)| \leq e^{2{,}1} \cdot 5{,}1 = 41{,}647467\) ve
\[ \left| \frac{h^2}{6}\, f'''(\xi) \right| \leq \frac{0{,}01}{6} \cdot 41{,}647467 = 0{,}069412 \]
dir; gerçek hata bu sınırın altındadır.
Formülün kullandığı kiriş, \((1{,}9;\ 12{,}703199)\) ile \((2{,}1;\ 17{,}148957)\) noktalarını birleştirir ve \(x_0 = 2\)’deki teğete neredeyse paraleldir. Bu kirişte \(f(2)\) hiç kullanılmaz.
\(\blacksquare\)
Örnek 10.3 (Tablodan üç-nokta uç nokta formülüyle türev) Önceki örnekteki (Örnek 10.2) \(f(x) = x e^x\) tablosunu kullanarak \(h = 0{,}1\) için üç-nokta uç nokta formülüyle \(f'(2)\) değerine bir yaklaşımda bulunun, mutlak hatayı belirleyin ve orta nokta formülünün hatasıyla karşılaştırın.
Çözüm
Yaklaşım. \(x_0 = 2{,}0\), \(h = 0{,}1\) için \(x_0 + h = 2{,}1\) ve \(x_0 + 2h = 2{,}2\) dir. (3) formülünden
\[ \begin{aligned} f'(2) &\approx \frac{1}{0{,}2}\big[-3(14{,}778112) + 4(17{,}148957) - 19{,}855030\big] \\[1mm] &= \frac{-44{,}334336 + 68{,}595828 - 19{,}855030}{0{,}2} = \frac{4{,}406462}{0{,}2} = 22{,}032310 \end{aligned} \]
bulunur.
Gerçek hata. \(f'(2) = 3e^2 = 22{,}167168\) olduğundan
\[ |22{,}167168 - 22{,}032310| = 0{,}134858 \]
dir.
Hata sınırı. \(\xi\) sayısı \(2{,}0\) ile \(2{,}2\) arasındadır ve \(f'''(x) = e^x(x + 3)\) artandır; \(|f'''(\xi)| \leq e^{2{,}2} \cdot 5{,}2 = 46{,}930070\) ve
\[ \left| \frac{h^2}{3}\, f'''(\xi) \right| \leq \frac{0{,}01}{3} \cdot 46{,}930070 = 0{,}156434 \]
olur. Gerçek hata sınırın altındadır.
Karşılaştırma. Uç nokta formülünün hatası (\(0{,}134858\)), orta nokta formülününkinin (\(0{,}061622\)) iki katından biraz fazladır. Bu, hata sabitlerinin oranı \(\frac{h^2}{3} : \frac{h^2}{6} = 2\) ile uyumludur; aradaki küçük fark, \(\xi\) sayılarının farklı yerlerde olmasından gelir. \(\blacksquare\)
Örnek 10.4 (Hatanın h ile küçülmesi) \(f(x) = x e^x\) için \(f'(2)\) türevine \(h = 0{,}1\); \(0{,}05\); \(0{,}025\) alarak ileri fark formülü (1) ve üç-nokta orta nokta formülü (6) ile yaklaşın. Hataların \(h\) ile nasıl küçüldüğünü inceleyin. (Fonksiyon değerlerini \(f\)’nin kendisinden hesaplayın, sonuçları virgülden sonra 7 basamağa yuvarlayın.)
Çözüm
Hesap. Gerçek değer \(f'(2) = 3e^2 = 22{,}1671683\) tür. Her \(h\) için ileri fark \(\frac{f(2 + h) - f(2)}{h}\) ve orta nokta \(\frac{f(2 + h) - f(2 - h)}{2h}\) hesaplanırsa aşağıdaki tablo elde edilir.
| \(h\) | İleri fark | Mutlak hata | Orta nokta | Mutlak hata |
|---|---|---|---|---|
| \(0{,}1\) | \(23{,}7084462\) | \(1{,}5412779\) | \(22{,}2287869\) | \(0{,}0616186\) |
| \(0{,}05\) | \(22{,}9217014\) | \(0{,}7545331\) | \(22{,}1825649\) | \(0{,}0153966\) |
| \(0{,}025\) | \(22{,}5404986\) | \(0{,}3733303\) | \(22{,}1710169\) | \(0{,}0038486\) |
\(h = 0{,}1\) satırındaki orta nokta değeri, tablodan bulunan \(22{,}228790\) (Örnek 10.2) ile son basamakta ayrılır; orada tablodaki altı basamaklı değerler kullanılmıştı.
Yorum. \(h\) yarıya indikçe ileri fark hatası yaklaşık yarıya iner (\(1{,}54 \to 0{,}75 \to 0{,}37\)), orta nokta hatası ise yaklaşık dörtte birine iner (\(0{,}0616 \to 0{,}0154 \to 0{,}0038\)). Bu, hata terimlerinin \(\frac{h}{2} f''(\xi)\) ve \(\frac{h^2}{6} f'''(\xi)\) olmasının sonucudur: ileri fark \(O(h)\), orta nokta \(O(h^2)\) hatalıdır (Tanım 3.5). \(h\) küçüldükçe \(\xi\) sayısı \(2\)’ye yaklaştığından hatalar sırasıyla \(\frac{h}{2} f''(2) = 14{,}7781 \cdot h\) ve \(\frac{h^2}{6} f'''(2) = 6{,}1575 \cdot h^2\) değerlerine yaklaşır; örneğin \(h = 0{,}025\) için bunlar \(0{,}3694528\) ve \(0{,}0038485\) tir. Log–log ölçekte iki hata eğimi 1 ve 2 olan doğrular üzerinde dizilir.
Hata yalnız \(h\)’ye değil, türevin alındığı noktaya da bağlıdır: küçük \(h\) için ileri fark hatası yaklaşık \(\frac{h}{2} |f''(x)| = \frac{h}{2} e^x (x + 2)\) dir. \(f''\) büyüdükçe aynı \(h\) daha büyük hata verir; aşağıdaki yüzey bunu \((x, h)\) düzleminde gösterir.
\(\blacksquare\)
10.4 İkinci türev için orta nokta formülü
İkinci türeve de yalnız fonksiyon değerleriyle yaklaşılabilir; bu kez formülü doğrudan Taylor Teoreminden türetiriz.
Önerme 10.4 (İkinci Türev İçin Orta Nokta Formülü) \(h > 0\) ve \(f \in C^4[x_0 - h, x_0 + h]\) olsun. \(x_0 - h\) ile \(x_0 + h\) arasında öyle bir \(\xi\) sayısı vardır ki
\[ \begin{aligned} f''(x_0) &= \frac{1}{h^2}\big[f(x_0 - h) - 2f(x_0) + f(x_0 + h)\big] \\[1mm] &\quad - \frac{h^2}{12}\, f^{(4)}(\xi) \end{aligned} \tag{8} \]
olur. Hata terimi \(-\frac{h^2}{12} f^{(4)}(\xi)\) dir.
İspat
\(f\)’nin \(x_0\) civarındaki üçüncü dereceden Taylor polinomunu kalan terimiyle yazalım (Teorem 1.9):
\[ \begin{aligned} f(x) &= f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0) + \frac{f''(x_0)}{2!}(x - x_0)^2 \\[1mm] &\quad + \frac{f'''(x_0)}{3!}(x - x_0)^3 + \frac{f^{(4)}(\xi(x))}{4!}(x - x_0)^4, \end{aligned} \]
burada \(\xi(x)\) sayısı \(x_0\) ile \(x\) arasındadır. \(x\) yerine sırasıyla \(x_0 + h\) ve \(x_0 - h\) yazalım. \(x_0 - h < \xi_{-1} < x_0 < \xi_1 < x_0 + h\) olmak üzere
\[ \begin{aligned} f(x_0 + h) &= f(x_0) + f'(x_0)\, h + \frac{f''(x_0)}{2}\, h^2 \\[1mm] &\quad + \frac{f'''(x_0)}{6}\, h^3 + \frac{f^{(4)}(\xi_1)}{24}\, h^4, \\[1mm] f(x_0 - h) &= f(x_0) - f'(x_0)\, h + \frac{f''(x_0)}{2}\, h^2 \\[1mm] &\quad - \frac{f'''(x_0)}{6}\, h^3 + \frac{f^{(4)}(\xi_{-1})}{24}\, h^4 \end{aligned} \]
elde edilir. Bu iki eşitlik taraf tarafa toplanınca tek kuvvetli terimler sadeleşir:
\[ \begin{aligned} f(x_0 + h) + f(x_0 - h) &= 2f(x_0) + f''(x_0)\, h^2 \\[1mm] &\quad + \frac{h^4}{24}\big[f^{(4)}(\xi_1) + f^{(4)}(\xi_{-1})\big]. \end{aligned} \]
\(f''(x_0)\) çekilirse
\[ \begin{aligned} f''(x_0) &= \frac{1}{h^2}\big[f(x_0 - h) - 2f(x_0) + f(x_0 + h)\big] \\[1mm] &\quad - \frac{h^2}{24}\big[f^{(4)}(\xi_1) + f^{(4)}(\xi_{-1})\big] \end{aligned} \]
bulunur. \(\frac{1}{2}\big[f^{(4)}(\xi_1) + f^{(4)}(\xi_{-1})\big]\) sayısı \(f^{(4)}(\xi_{-1})\) ile \(f^{(4)}(\xi_1)\) arasındadır ve \(f^{(4)}\), \([\xi_{-1}, \xi_1]\) aralığında süreklidir. Ara Değer Teoremine (Teorem 1.7) göre \(\xi_{-1}\) ile \(\xi_1\) arasında (uçlar dahil) öyle bir \(\xi\) vardır ki
\[ f^{(4)}(\xi) = \frac{f^{(4)}(\xi_1) + f^{(4)}(\xi_{-1})}{2} \]
olur; bu \(\xi\) de \(x_0 - h\) ile \(x_0 + h\) arasındadır. Böylece son terim \(-\frac{h^2}{24} \cdot 2 f^{(4)}(\xi) = -\frac{h^2}{12} f^{(4)}(\xi)\) olur ve (8) elde edilir. \(\blacksquare\)
Yani ikinci türev, \(x_0\)’ın iki yanındaki değerlerin ortalamasının \(f(x_0)\)’dan sapmasıyla ölçülür ve hata \(O(h^2)\) dir. \(f^{(4)} \equiv 0\) olan, yani derecesi en çok 3 olan polinomlar için formül tam sonuç verir.
Örnek 10.5 (Tablodan ikinci türev) \(f(x) = x e^x\) fonksiyonu için aşağıdaki tablo verilsin.
| \(x\) | \(f(x)\) |
|---|---|
| \(1{,}9\) | \(12{,}703199\) |
| \(2{,}0\) | \(14{,}778112\) |
| \(2{,}1\) | \(17{,}148957\) |
İkinci türev için orta nokta formülünü kullanarak \(f''(2)\) için bir yaklaşımda bulunun ve bu yaklaşımda oluşan mutlak hatayı belirleyin. (Virgülden sonra 6 basamağa yuvarlayın.)
Çözüm
Yaklaşım. \(2{,}0 - 1{,}9 = 0{,}1\) ve \(2{,}1 - 2{,}0 = 0{,}1\) olduğundan noktalar eşit aralıklıdır: \(h = 0{,}1\), \(x_0 = 2\), \(x_0 - h = 1{,}9\), \(x_0 + h = 2{,}1\). (8) formülünden
\[ \begin{aligned} f''(2) &\approx \frac{1}{(0{,}1)^2}\big[f(1{,}9) - 2f(2) + f(2{,}1)\big] \\[1mm] &= \frac{12{,}703199 - 29{,}556224 + 17{,}148957}{0{,}01} = \frac{0{,}295932}{0{,}01} = 29{,}593200 \end{aligned} \]
bulunur.
Gerçek hata. \(f'(x) = e^x(x + 1)\) ve \(f''(x) = e^x(x + 1) + e^x\), yani \(f''(x) = e^x(x + 2)\) olduğundan \(f''(2) = 4e^2 = 29{,}556224\) tür. Mutlak hata
\[ |29{,}593200 - 29{,}556224| = 0{,}036976 \]
dır.
Hata terimiyle karşılaştırma. \(f^{(4)}(x) = e^x(x + 4)\) artandır; \(1{,}9 < \xi < 2{,}1\) için \(|f^{(4)}(\xi)| \leq e^{2{,}1} \cdot 6{,}1 = 49{,}813636\) ve
\[ \left| \frac{h^2}{12}\, f^{(4)}(\xi) \right| \leq \frac{0{,}01}{12} \cdot 49{,}813636 = 0{,}041511 \]
olur. Gerçek hata bu sınırın altındadır. \(\blacksquare\)
10.5 Alıştırmalar
Aşağıdaki alıştırmalarda bölümün formülleri, istenen basamağa yuvarlanarak uygulanır.
Alıştırma 10.1 (ln x için geri fark) \(f(x) = \ln x\) olmak üzere \(h = -0{,}1\) alarak geri fark formülüyle \(f'(1{,}8)\) türev değerine bir yaklaşımda bulunun, mutlak hata için bir sınır belirleyin ve gerçek mutlak hatayla karşılaştırın. (Virgülden sonra 7 basamağa yuvarlayın.)
Çözüm
Yaklaşım. \(x_0 = 1{,}8\) ve \(h = -0{,}1\) için \(x_0 + h = 1{,}7\) dir ve geri fark formülü
\[ f'(1{,}8) \approx \frac{f(1{,}7) - f(1{,}8)}{-0{,}1} = \frac{\ln 1{,}7 - \ln 1{,}8}{-0{,}1} = 0{,}5715841 \]
verir.
Hata sınırı. \(f''(x) = -\frac{1}{x^2}\) ve \(\xi\) sayısı \(1{,}7\) ile \(1{,}8\) arasındadır. \(\frac{1}{x^2}\) azalan olduğundan
\[ |f''(\xi)| \leq \frac{1}{(1{,}7)^2} = 0{,}3460208 = M \]
ve ileri ve geri fark formülüne (Önerme 10.1) göre hata en çok
\[ \frac{M\,|h|}{2} = \frac{0{,}3460208 \cdot 0{,}1}{2} = 0{,}0173010 \]
dur.
Karşılaştırma. \(f'(1{,}8) = 0{,}5555556\) olduğundan gerçek mutlak hata
\[ |0{,}5715841 - 0{,}5555556| = 0{,}0160285 \]
tir; sınırın altındadır. İleri farkın hatası (\(0{,}0148834\), Örnek 10.1) daha küçüktür, çünkü \(|f''(x)| = 1/x^2\) sağda daha küçüktür. \(\blacksquare\)
Alıştırma 10.2 (Soldaki değerlerle uç nokta formülü) Örnek 10.2 içindeki \(f(x) = x e^x\) tablosunu kullanarak \(h = -0{,}1\) için üç-nokta uç nokta formülüyle \(f'(2)\) değerine bir yaklaşımda bulunun, mutlak hatayı ve hata terimi için bir sınırı belirleyin.
Çözüm
Yaklaşım. (3) formülünde \(x_0 = 2{,}0\), \(h = -0{,}1\) alınırsa \(x_0 + h = 1{,}9\), \(x_0 + 2h = 1{,}8\) ve \(2h = -0{,}2\) olur:
\[ \begin{aligned} f'(2) &\approx \frac{1}{-0{,}2}\big[-3(14{,}778112) + 4(12{,}703199) - 10{,}889365\big] \\[1mm] &= \frac{-44{,}334336 + 50{,}812796 - 10{,}889365}{-0{,}2} = \frac{-4{,}410905}{-0{,}2} = 22{,}054525. \end{aligned} \]
Bu, (7) formülüdür: yalnız \(x_0 = 2\)’nin solundaki değerler kullanıldı.
Gerçek hata. \(f'(2) = 3e^2 = 22{,}167168\) olduğundan
\[ |22{,}167168 - 22{,}054525| = 0{,}112643 \]
tür.
Hata sınırı. \(\xi\) sayısı \(1{,}8\) ile \(2{,}0\) arasındadır ve \(f'''(x) = e^x(x + 3)\) artandır: \(|f'''(\xi)| \leq e^2 \cdot 5 = 36{,}945280\). Böylece
\[ \left| \frac{h^2}{3}\, f'''(\xi) \right| \leq \frac{0{,}01}{3} \cdot 36{,}945280 = 0{,}123151 \]
olur ve gerçek hata bu sınırın altındadır. \(f'''\) solda daha küçük olduğundan bu hata, sağdaki değerlerle bulunan hatadan (\(0{,}134858\), Örnek 10.3) küçüktür. \(\blacksquare\)
Alıştırma 10.3 (x sin x için ikinci türev) \(f(x) = x \sin x\) ve \(h = 0{,}1\) olmak üzere \(f''(1)\) değeri için ikinci türev için orta nokta formülüyle bir yaklaşımda bulunun. Bu yaklaşımda oluşan mutlak hata için bir üst sınır belirleyin ve sınırı gerçek mutlak hatayla karşılaştırın. (Virgülden sonra 9 basamağa yuvarlayın.)
Çözüm
Yaklaşım. \(x_0 = 1\), \(h = 0{,}1\) için \(x_0 - h = 0{,}9\) ve \(x_0 + h = 1{,}1\) dir. Fonksiyon değerleri
\[ \begin{aligned} f(0{,}9) &= 0{,}9 \sin 0{,}9 = 0{,}704994219, \\[1mm] 2f(1) &= 2 \sin 1 = 1{,}682941970, \\[1mm] f(1{,}1) &= 1{,}1 \sin 1{,}1 = 0{,}980328096 \end{aligned} \]
olduğundan (8) formülü
\[ \begin{aligned} f''(1) &\approx \frac{1}{(0{,}1)^2}\big[f(0{,}9) - 2f(1) + f(1{,}1)\big] \\[1mm] &= \frac{0{,}704994219 - 1{,}682941970 + 0{,}980328096}{0{,}01} \\[1mm] &= \frac{0{,}002380345}{0{,}01} = 0{,}238034500 \end{aligned} \]
verir.
Türevler. Çarpım kuralıyla
\[ \begin{aligned} f'(x) &= \sin x + x \cos x, & f''(x) &= 2\cos x - x \sin x, \\[1mm] f'''(x) &= -3\sin x - x \cos x, & f^{(4)}(x) &= -4\cos x + x \sin x \end{aligned} \]
dir.
Hata sınırı. \([0{,}9;\ 1{,}1]\) aralığında \(\sin x\) artan ve pozitif, \(\cos x\) azalan ve pozitiftir. Dolayısıyla \(-4\cos x\) ve \(x \sin x\) artandır, yani \(f^{(4)}\) artandır. \(f^{(4)}(1{,}1) = -0{,}834056390 < 0\) olduğundan \(f^{(4)}\) aralık boyunca negatiftir ve \(|f^{(4)}|\) en büyük değerini \(0{,}9\)’da alır:
\[ \max_{0{,}9 \leq \xi \leq 1{,}1} |f^{(4)}(\xi)| = |-4\cos 0{,}9 + 0{,}9 \sin 0{,}9| = 1{,}781445654. \]
Hata terimi için
\[ \left| -\frac{h^2}{12}\, f^{(4)}(\xi) \right| \leq \frac{(0{,}1)^2}{12} \cdot 1{,}781445654 = 0{,}001484538 \]
bulunur.
Karşılaştırma. Gerçek değer \(f''(1) = 2\cos 1 - \sin 1\), yani \(f''(1) = 0{,}239133627\) dir ve gerçek mutlak hata
\[ |0{,}239133627 - 0{,}238034500| = 0{,}001099127 \]
olur; \(0{,}001484538\) sınırının altındadır. Paydadaki \(h^2 = 0{,}01\), fonksiyon değerlerindeki yuvarlama hatalarını 100 katına çıkarır: dokuz basamaklı değerlerle bulunan yaklaşımın son iki basamağı güvenilir değildir (yuvarlamasız hesap \(0{,}238034512\) verir). \(\blacksquare\)
Alıştırma 10.4 (Kübik polinomda tam sonuç) \(f(x) = x^3\), \(x_0 = 1\) ve \(h = 0{,}5\) için ikinci türev için orta nokta formülünün tam sonuç verdiğini gösterin ve nedenini hata teriminden açıklayın.
Çözüm
Hesap. \(x_0 - h = 0{,}5\) ve \(x_0 + h = 1{,}5\) için \(f(0{,}5) = 0{,}125\), \(f(1) = 1\), \(f(1{,}5) = 3{,}375\) tir. (8) formülünden
\[ f''(1) \approx \frac{0{,}125 - 2 + 3{,}375}{(0{,}5)^2} = \frac{1{,}5}{0{,}25} = 6 \]
bulunur. Gerçekte \(f''(x) = 6x\) olduğundan \(f''(1) = 6\) dır; yaklaşım tamdır.
Neden. \(f^{(4)}(x) = 0\) olduğundan (8)’deki hata terimi \(-\frac{h^2}{12} f^{(4)}(\xi) = 0\) dır. Bu yüzden derecesi en çok 3 olan her polinom için formül, \(h\) ne olursa olsun tam sonuç verir. \(\blacksquare\)
Türev formüllerini interpolasyon polinomunu türevleyerek bulduk. Aynı polinomun integralini almak da belirli integraller için yaklaşım formüllerini verir: Nümerik İntegrasyon.