13 Uygulamalı Özet
Bu sayfa kitabın yöntemlerini ispatsız, soru çözmeye dönük bir kopya kâğıdı olarak toplar. Uygulamada en sık karşılaşılan sorular şunlardır: bir denklemin köküne ikiye bölme, sabit nokta, Newton-Raphson, Secant ya da Regula Falsi ile yaklaşmak ve gereken adım sayısını bulmak; verilen noktalardan Lagrange ya da Newton biçiminde interpolasyon polinomu kurup hata sınırı vermek; bir türevi ya da integrali bir tablodan yaklaşık hesaplamak; verilere en küçük kareler doğrusu uydurmak. Bunların yanında Taylor polinomuyla yaklaşık değer ve hata sınırı, k-basamak aritmetikle hesap ve yakınsama hızı soran kısa sorular da sık gelir. Sayfa her soru tipi için adım adım bir algoritma, gerekli formül tablolarını, sık yapılan hataları ve kısa ama tam çözümlü örnekleri verir. Her kural, ayrıntısının ve gerekçesinin bulunduğu tanıma ya da teoreme bağlanır.
13.1 Soru Tipine Göre Yöntem
Bir soruyu okuyunca ilk iş, sorunun hangi kalıba girdiğini ve hangi aracın en kısa yol olduğunu belirlemektir. Aşağıdaki tablo soru kalıplarını yöntemlerle eşleştirir.
| Soruda istenen | Kullanılacak araç | Bu sayfada |
|---|---|---|
| Taylor polinomuyla yaklaşık değer, hata sınırı, kaç terim gerektiği | \(R_n(x)\) kalan terimini en büyük türevle sınırla | Bölüm 13.2 |
| Mutlak ya da bağıl hata, \(p^*\)’ın bulunabileceği aralık | Tanımdan eşitsizlik | Bölüm 13.3 |
| k-basamak kesme ya da yuvarlama aritmetiğiyle hesap | Her ara sonucu \(KN\) formuna çevir | Bölüm 13.3 |
| Bir dizinin ya da fonksiyonun yakınsama hızı | \(\lvert y_n - y_0 \rvert \le K \lvert x_n \rvert\) sınırını bul | Bölüm 13.4 |
| Kökü içeren bir aralık bul | Ara değer teoremi: işaret değişimi | Bölüm 13.5 |
| İkiye bölmeyle yaklaşım, gereken adım sayısı | \(\frac{b - a}{2^n} < \varepsilon\) | Bölüm 13.6 |
| Uygun \(g\) seçip sabit nokta iterasyonu, adım sayısı | \(g([a, b]) \subseteq [a, b]\), \(\lvert g' \rvert \le k < 1\) | Bölüm 13.7 |
| Newton-Raphson ile köke yaklaşım | \(p_n = p_{n-1} - f(p_{n-1})/f'(p_{n-1})\) | Bölüm 13.8 |
| Secant ya da Regula Falsi ile köke yaklaşım | Kirişin \(x\) eksenini kestiği nokta | Bölüm 13.9 |
| Verilen noktalardan interpolasyon polinomu, yaklaşık değer | Lagrange katsayı polinomları | Bölüm 13.10 |
| İnterpolasyonun hata sınırı | \(\frac{M}{(n+1)!} \lvert (x - x_0) \cdots (x - x_n) \rvert\) | Bölüm 13.10 |
| Bölünmüş fark tablosu, Newton biçimi, ileri ya da geri fark formülü | Basamaklı fark tablosu | Bölüm 13.11 |
| Tablodan birinci ya da ikinci türev | İki, üç-nokta ve ikinci türev formülleri | Bölüm 13.12 |
| Yamuk, Simpson, Newton-Cotes ile integral ve hata sınırı | Formül tablosu ve hata terimleri | Bölüm 13.13 |
| Verilere doğru uydurma | Normal denklemler ya da matris biçimi | Bölüm 13.14 |
13.2 Taylor Polinomu ve Hata Sınırı
Taylor Teoremine (Teorem 1.9) göre \(f(x) = P_n(x) + R_n(x)\) ve \[R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi(x))}{(n+1)!}\,(x - x_0)^{n+1}\] dir; \(\xi(x)\), \(x_0\) ile \(x\) arasında bilinmeyen bir sayıdır. Hata sınırı sorularının hepsi bu bilinmeyen \(\xi\)’yi en kötü değeriyle değiştirmekten ibarettir.
- Türevleri çıkar. \(f, f', \dots, f^{(n+1)}\)’i yaz ve \(x_0\)’daki değerleri hesapla.
- Polinomu kur. \(P_n(x) = \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x - x_0)^k\) ve istenen noktada \(P_n(x)\)’i bul.
- Türevi sınırla. \(x_0\) ile \(x\) arasındaki her \(t\) için \(|f^{(n+1)}(t)| \le M\) olacak en küçük kolay \(M\)’yi bul.
- Sınırı yaz. \[|f(x) - P_n(x)| \le \frac{M}{(n+1)!}\,|x - x_0|^{n+1}.\]
“Kaç terim gerekir?” sorusunda 4. adımdaki sınır \(n\)’ye bağlı yazılır ve sınır istenen hassaslıktan küçük olana kadar \(n = 1, 2, \dots\) denenir.
- \(M\), \(\xi\)’nin bulunabileceği aralığın tamamı üzerinde alınır; yalnız \(x_0\)’da ya da yalnız \(x\)’te alınmaz.
- \(n\). mertebeden polinomun hatası \((n+1)\). türevle yazılır.
- Trigonometrik fonksiyonlarda açılar radyandır.
Örnek 13.1 (Üstel Fonksiyon İçin Yaklaşık Değer ve Hata Sınırı) \(f(x) = e^{-x}\) fonksiyonunun \(x_0 = 0\) civarındaki ikinci mertebeden Taylor polinomuyla \(e^{-0{,}1}\) için bir yaklaşım bulunuz ve bir hata sınırı veriniz.
Çözüm
\(f(x) = e^{-x}\), \(f'(x) = -e^{-x}\), \(f''(x) = e^{-x}\), \(f'''(x) = -e^{-x}\) olduğundan \(f(0) = 1\), \(f'(0) = -1\), \(f''(0) = 1\) ve \[P_2(x) = 1 - x + \frac{x^2}{2}, \qquad P_2(0{,}1) = 1 - 0{,}1 + 0{,}005 = 0{,}905.\]
\(\xi\), \(0\) ile \(0{,}1\) arasındadır ve bu aralıkta \(|f'''(t)| = e^{-t} \le e^0 = 1\) olduğundan \(M = 1\) alınır: \[|e^{-0{,}1} - P_2(0{,}1)| \le \frac{1}{3!}\,(0{,}1)^3 = \frac{0{,}001}{6} \approx 0{,}000167.\]
Gerçek değer \(e^{-0{,}1} = 0{,}9048374\ldots\) olduğundan gerçek hata \(0{,}0001626\)’dır; sınırın altında kalır.
\(\blacksquare\)
13.3 Hatalar ve k-Basamak Aritmetik
Mutlak hata \(|p - p^*|\), bağıl hata \(\left|\frac{p - p^*}{p}\right|\)’dir (Tanım 2.4). Bağıl hata, hatayı sayının büyüklüğüne göre ölçer; bu yüzden büyük sayılarda daha anlamlıdır.
\(p^*\) aralığı. “Bağıl hatası en çok \(\varepsilon\) olan \(p^*\)’lar hangi aralıktadır?” sorusunda \(p > 0\) için \[|p - p^*| \le \varepsilon\, p \iff p(1 - \varepsilon) \le p^* \le p(1 + \varepsilon)\] yazılır. Örneğin \(p = 150\) ve \(\varepsilon = 10^{-3}\) için \(149{,}85 \le p^* \le 150{,}15\) olur. Mutlak hata için aralık \(p - \varepsilon \le p^* \le p + \varepsilon\)’dur.
Kesme ve yuvarlama. \(y = 0{,}d_1 d_2 \ldots d_k d_{k+1} \ldots \cdot 10^n\) için (Tanım 2.8):
| İşlem | Kural | Bağıl hata sınırı |
|---|---|---|
| k-basamak kesme | \(d_{k+1}\) ve sonrasını at | \(10^{-k+1}\) |
| k-basamak yuvarlama | \(5 \cdot 10^{n-(k+1)}\) ekle, sonra kes | \(0{,}5 \cdot 10^{-k+1}\) |
- Her sayıyı önce \(KN\) formuna çevir: \(0{,}d_1 \ldots d_k \cdot 10^n\), \(d_1 \ne 0\).
- Her işlemin sonucunu hemen yeniden \(KN\) formuna çevir; sonucu sona saklama.
- Mutlak ve bağıl hatayı gerçek değerle hesapla.
- Normalize biçimde ilk basamak sıfır olamaz: \(0{,}0314 \cdot 10^2\) değil, \(0{,}314 \cdot 10^1\).
- Yakın iki sayının farkında anlamlı basamak kaybolur; mümkünse ifade yeniden düzenlenir (örneğin eşleniğiyle çarpılır).
Örnek 13.2 (Bir Kesrin Dört Basamaklı Formları) \(y = \frac{22}{7}\) sayısının dört basamak kesme ve dört basamak yuvarlama ile kayan nokta formlarını bulunuz ve bağıl hatalarını hesaplayınız.
Çözüm
\(y = 0{,}3142857\ldots \cdot 10^1\) olduğundan \(n = 1\), \(k = 4\)’tür.
- Kesme: \(KN(y) = 0{,}3142 \cdot 10^1\). Bağıl hata \(\dfrac{0{,}000857\ldots}{3{,}142857\ldots} \approx 2{,}73 \cdot 10^{-4}\).
- Yuvarlama: \(y + 5 \cdot 10^{1-5} = 3{,}143357\ldots\) kesilirse \(KN(y) = 0{,}3143 \cdot 10^1\). Bağıl hata \(\dfrac{0{,}000143\ldots}{3{,}142857\ldots} \approx 4{,}55 \cdot 10^{-5}\).
İki sonuç da tablodaki sınırların (\(10^{-3}\) ve \(0{,}5 \cdot 10^{-3}\)) altındadır.
\(\blacksquare\)
13.4 Yakınsama Hızı
\(y_n \to y_0\) yakınsaması, yeterince büyük \(n\) için \(|y_n - y_0| \le K|x_n|\) ise \(O(x_n)\) hızındadır (Tanım 3.4). Fonksiyonlarda da \(h \to 0\) iken \(|f(h) - L| \le K|g(h)|\) ise \(f(h) = L + O(g(h))\) yazılır (Tanım 3.5). Pratikte \(x_n = \frac{1}{n^p}\) ve \(g(h) = h^p\) biçiminde, sınırı sağlayan en büyük \(p\) aranır.
- Limiti bul: \(y_0\) ya da \(L\).
- Farkı sadeleştir: \(|y_n - y_0|\) için pay ve paydanın baş terimlerine bak; fonksiyonlarda Taylor açılımını kullan.
- Sınırı yaz: farkı \(K \cdot \frac{1}{n^p}\) ya da \(K \cdot |h|^p\) ile sınırla ve \(p\)’yi olabildiğince büyük seç.
Örnek 13.3 (Bir Dizinin Yakınsama Hızı) \(y_n = n \sin\frac{1}{n}\) dizisinin yakınsama hızını belirleyiniz.
Çözüm
\(0 < t \le 1\) için Taylor Teoreminden \(t - \frac{t^3}{6} \le \sin t \le t\) olur. \(t = \frac{1}{n}\) alıp \(t\)’ye bölersek \[1 - \frac{1}{6n^2} \le n \sin\frac{1}{n} \le 1, \qquad \text{yani} \qquad \left| n\sin\frac{1}{n} - 1 \right| \le \frac{1}{6n^2}.\] Dolayısıyla \(y_n \to 1\) ve \(n \sin\frac{1}{n} = 1 + O\!\left(\frac{1}{n^2}\right)\)’dir. Örneğin \(n = 10\) için fark \(0{,}0016658\), sınır \(0{,}0016667\)’dir.
\(\blacksquare\)
Örnek 13.4 (Bir Fonksiyonun Yakınsama Hızı) \(f(h) = \dfrac{1 - \cos h}{h}\) fonksiyonunun \(h \to 0\) iken yakınsama hızını belirleyiniz.
Çözüm
Taylor Teoreminden \(0 \le 1 - \cos h \le \frac{h^2}{2}\) olduğundan \(h \ne 0\) için \[|f(h) - 0| = \frac{1 - \cos h}{|h|} \le \frac{|h|}{2}\] olur. O hâlde \(f(h) \to 0\) ve \(f(h) = 0 + O(h)\)’dir.
\(\blacksquare\)
13.5 Kök Bulma: Aralık ve Yöntem Seçimi
Her kök sorusu, kökü içeren bir aralıkla başlar. \(f \in C[a, b]\) ve \(f(a) \cdot f(b) < 0\) ise Ara Değer Teoremi (Teorem 1.7) gereği \((a, b)\)’de bir kök vardır. Kök aralığı aranırken \(f\) birkaç tam sayıda hesaplanır ve işaret değiştirdiği ardışık noktalar alınır; \(f'\) aralıkta işaret değiştirmiyorsa kök tektir.
Aşağıdaki tablo dört yöntemi yan yana koyar. Bu sayfada dördü de aynı denklemle, \(f(x) = x^3 - 2x - 5 = 0\) ile gösterilir. \(f(2) = -1 < 0\) ve \(f(3) = 16 > 0\) olduğundan \([2, 3]\)’te bir kök vardır; kök \(p = 2{,}0945514815\ldots\)’tir.
| Yöntem | Gerekenler | Adım | Yakınsama |
|---|---|---|---|
| İkiye bölme | \(f(a) \cdot f(b) < 0\) | \(p_n = \dfrac{a_n + b_n}{2}\) | Her zaman, yavaş |
| Sabit nokta | \(x = g(x)\), \(\lvert g' \rvert \le k < 1\) | \(p_n = g(p_{n-1})\) | \(k\) küçükse hızlı |
| Newton-Raphson | \(f'\), iyi bir \(p_0\) | \(p_n = p_{n-1} - \dfrac{f(p_{n-1})}{f'(p_{n-1})}\) | \(p_0\) yakınsa çok hızlı |
| Secant | \(p_0\), \(p_1\) | Son iki noktadan kiriş | Hızlı, garanti yok |
| Regula Falsi | \(f(p_0) \cdot f(p_1) < 0\) | İşaret değiştiren uçtan kiriş | Her zaman, Secant’tan yavaş |
Durma kriterleri (Tanım 4.4): \(|p_N - p_{N-1}| < \varepsilon\), \(\frac{|p_N - p_{N-1}|}{|p_N|} < \varepsilon\) ya da \(|f(p_N)| < \varepsilon\). Soruda hangisi istenmişse o kullanılır; belirtilmemişse ilki.
13.6 İkiye Bölme Metodu
Her adımda aralık yarıya iner ve kök hep işaret değiştiren yarıdadır (Tanım 4.3). Hata sınırı (Teorem 4.1) \[|p_n - p| \le \frac{b - a}{2^n}\] dir. Adım sayısı: \(10^{-m}\) hassaslık için \(\frac{b - a}{2^n} < 10^{-m}\), yani \(2^n > (b - a) \cdot 10^m\) sağlayan en küçük \(n\) alınır.
- \(f(a) \cdot f(b) < 0\) olduğunu göster; \(a_1 = a\), \(b_1 = b\) al.
- \(p_n = \frac{a_n + b_n}{2}\) ve \(f(p_n)\)’yi hesapla.
- \(f(p_n)\), \(f(a_n)\) ile aynı işaretliyse \(a_{n+1} = p_n\); değilse \(b_{n+1} = p_n\) al.
- Durma kriterini sına; sağlanmıyorsa 2. adıma dön. Değerleri tabloda topla.
Örnek 13.5 (İkiye Bölme ile Bir Kübiğin Kökü) \(x^3 - 2x - 5 = 0\) denkleminin \([2, 3]\) aralığındaki köküne ikiye bölme metoduyla dört adım yaklaşınız. \(10^{-4}\) hassaslık için en az kaç adım gerekir?
Çözüm
\(f(2) = -1 < 0\), \(f(3) = 16 > 0\) olduğundan kök \((2, 3)\)’tedir.
| \(n\) | \(a_n\) | \(b_n\) | \(p_n\) | \(f(p_n)\) |
|---|---|---|---|---|
| \(1\) | \(2\) | \(3\) | \(2{,}5\) | \(5{,}625 > 0\) |
| \(2\) | \(2\) | \(2{,}5\) | \(2{,}25\) | \(1{,}890625 > 0\) |
| \(3\) | \(2\) | \(2{,}25\) | \(2{,}125\) | \(0{,}345703 > 0\) |
| \(4\) | \(2\) | \(2{,}125\) | \(2{,}0625\) | \(-0{,}351318 < 0\) |
Dört adımdan sonra kök \((2{,}0625;\ 2{,}125)\) aralığındadır ve \(p_4 = 2{,}0625\)’in hatası en çok \(\frac{1}{2^4} = 0{,}0625\)’tir.
Adım sayısı için \(\frac{3 - 2}{2^n} < 10^{-4}\), yani \(2^n > 10\,000\) gerekir. \(2^{13} = 8192\), \(2^{14} = 16\,384\) olduğundan en az \(n = 14\) adım gerekir.
\(\blacksquare\)
13.7 Sabit Nokta İterasyonu
\(f(x) = 0\) denklemi \(x = g(x)\) biçimine getirilir ve \(p_n = g(p_{n-1})\) ile iterasyon yapılır (Tanım 5.2). Aynı denklem için birçok \(g\) yazılabilir; işe yarayanı Sabit Nokta Teoreminin (Teorem 5.2) koşullarını sağlayandır:
- \(g \in C[a, b]\) ve her \(x \in [a, b]\) için \(g(x) \in [a, b]\),
- her \(x \in (a, b)\) için \(|g'(x)| \le k < 1\).
Bu durumda her \(p_0 \in [a, b]\) için iterasyon tek sabit noktaya yakınsar ve (Sonuç 5.1) \[|p_n - p| \le k^n \max\{p_0 - a,\ b - p_0\}, \qquad |p_n - p| \le \frac{k^n}{1 - k}\,|p_1 - p_0|.\]
- \(g\)’yi seç. Denklemi \(x = g(x)\) biçiminde yaz; birkaç aday varsa \(|g'|\)’si küçük olanı al.
- Koşulları denetle. \(g\) monotonsa \(g([a, b])\) uç değerlerinden bulunur; \(\max |g'|\)’yi hesapla, bu \(k\)’dır.
- Adım sayısını bul. Hata sınırını \(\varepsilon\)’dan küçük yapan en küçük \(n\)’yi seç.
- İterasyonu yap. \(p_n = g(p_{n-1})\) değerlerini tabloda topla.
- Yalnız \(|g'| < 1\)’i denetlemek yetmez; \(g\)’nin aralığı kendi içine götürdüğü de gösterilmelidir.
- \(|g'(p)| > 1\) olan bir \(g\) ile iterasyon, \(p_0\) köke çok yakın olsa bile uzaklaşır.
Örnek 13.6 (Sabit Nokta İterasyonu ile Bir Kübiğin Kökü) \(x^3 + x - 1 = 0\) denklemini \(x = g(x) = \dfrac{1}{1 + x^2}\) biçiminde yazınız. \(g\)’nin \([0{,}5;\ 1]\) aralığında Sabit Nokta Teoreminin koşullarını sağladığını gösteriniz ve \(p_0 = 0{,}5\) ile \(10^{-3}\) hassaslık için yeterli adım sayısını bulunuz.
Çözüm
Denklem \[x^3 + x - 1 = 0 \iff x(1 + x^2) = 1 \iff x = \frac{1}{1 + x^2}\] biçiminde yazılabilir.
Aralık koşulu. \(g\), \([0{,}5;\ 1]\) üzerinde azalandır; \(g(0{,}5) = 0{,}8\) ve \(g(1) = 0{,}5\) olduğundan \(g([0{,}5;\ 1]) = [0{,}5;\ 0{,}8] \subseteq [0{,}5;\ 1]\).
Türev koşulu. \(g'(x) = -\dfrac{2x}{(1 + x^2)^2}\)’dir. \(|g'|\) en büyük değerini \(x = \frac{1}{\sqrt{3}}\)’te alır: \[|g'(x)| \le \frac{2/\sqrt{3}}{(4/3)^2} = \frac{3\sqrt{3}}{8} \approx 0{,}6495 < 0{,}65 = k.\]
Adım sayısı. \(p_1 = g(0{,}5) = 0{,}8\) olduğundan \[\frac{k^n}{1 - k}\,|p_1 - p_0| = \frac{0{,}65^n}{0{,}35} \cdot 0{,}3 < 10^{-3} \iff 0{,}65^n < 0{,}0011\overline{6}.\] Logaritma alınırsa \(n > \frac{\ln 0{,}0011\overline{6}}{\ln 0{,}65} \approx 15{,}68\), yani \(n = 16\) adım yeterlidir.
İlk iterasyonlar \(p_1 = 0{,}8\), \(p_2 = 0{,}609756\), \(p_3 = 0{,}728968\), \(p_4 = 0{,}653000\) olup köke (\(p = 0{,}6823278\ldots\)) iki yandan salınarak yaklaşır; bunun nedeni \(g' < 0\) olmasıdır.
\(\blacksquare\)
13.8 Newton-Raphson Metodu
Eğrinin \((p_{n-1}, f(p_{n-1}))\) noktasındaki teğeti \(x\) eksenini \(p_n\)’de keser (Tanım 6.1): \[p_n = p_{n-1} - \frac{f(p_{n-1})}{f'(p_{n-1})}, \qquad n \ge 1.\] \(f(p) = 0\), \(f'(p) \ne 0\) ve \(p_0\) köke yeterince yakınsa yakınsama garantidir (Teorem 6.1) ve doğru basamak sayısı her adımda kabaca ikiye katlanır.
- \(f'(p_{n-1}) = 0\) ya da çok küçükse adım tanımsızdır ya da çok uzağa sıçrar; başka bir \(p_0\) seçilir.
- Kökten uzak bir \(p_0\) ile dizi başka bir köke gidebilir ya da salınabilir; önce bir kök aralığı bulmak iyi bir alışkanlıktır.
Örnek 13.7 (Newton-Raphson ile Bir Kübiğin Kökü) \(x^3 - 2x - 5 = 0\) denkleminin köküne \(p_0 = 2\) alarak Newton-Raphson metoduyla üç adım yaklaşınız.
Çözüm
\(f(x) = x^3 - 2x - 5\), \(f'(x) = 3x^2 - 2\) olduğundan \(p_n = p_{n-1} - \dfrac{p_{n-1}^3 - 2p_{n-1} - 5}{3p_{n-1}^2 - 2}\)’dir.
| \(n\) | \(p_{n-1}\) | \(f(p_{n-1})\) | \(f'(p_{n-1})\) | \(p_n\) |
|---|---|---|---|---|
| \(1\) | \(2\) | \(-1\) | \(10\) | \(2{,}1\) |
| \(2\) | \(2{,}1\) | \(0{,}061\) | \(11{,}23\) | \(2{,}0945681\) |
| \(3\) | \(2{,}0945681\) | \(0{,}0001857\) | \(11{,}1616\) | \(2{,}0945515\) |
Üç adımda yedi basamak doğrudur: \(p_3 = 2{,}0945515\) ve \(|f(p_3)| \approx 1{,}7 \cdot 10^{-9}\). Aynı hassaslık için ikiye bölmeyle yirmiden fazla adım gerekirdi.
\(\blacksquare\)
13.9 Secant ve Regula Falsi
İki yöntem de türev yerine kirişin eğimini kullanır. Secant metodunda kiriş son iki noktadan geçer (Tanım 7.1): \[p_n = p_{n-1} - \frac{f(p_{n-1})\,(p_{n-1} - p_{n-2})}{f(p_{n-1}) - f(p_{n-2})}.\] Regula Falsi’de aynı formülde \(p_{n-2}\) yerine, \(f\) değeri \(f(p_{n-1})\) ile ters işaretli olan en son nokta \(p_k\) yazılır (Tanım 7.2). Böylece kök hep son iki uç arasında kalır (Önerme 7.1), ama bir uç takılı kaldığı için yakınsama Secant’tan yavaştır.
- \(f(p_0) \cdot f(p_1) < 0\) olduğunu göster.
- Son nokta \(p_{n-1}\) ile, \(f\) değeri ona ters işaretli en son nokta \(p_k\) arasındaki kirişten \(p_n\)’yi hesapla.
- \(f(p_n)\)’yi hesapla ve işaretini not et; bir sonraki adımın karşı ucu buna göre seçilir.
- Durma kriterini sına; sağlanmıyorsa 2. adıma dön.
Örnek 13.8 (Secant ve Regula Falsi ile Bir Kübiğin Kökü) \(x^3 - 2x - 5 = 0\) denkleminin köküne \(p_0 = 2\) ve \(p_1 = 3\) ile Secant ve Regula Falsi metotlarıyla \(p_4\)’e kadar yaklaşınız.
Çözüm
\(f(2) = -1\), \(f(3) = 16\)’dır. İki yöntem de \(p_2\)’yi aynı kirişten bulur: \[p_2 = 3 - \frac{16 \cdot (3 - 2)}{16 - (-1)} = 3 - \frac{16}{17} = 2{,}0588235, \qquad f(p_2) = -0{,}390800.\] \(f(p_2) < 0\) olduğundan \(p_2\) ile ters işaretli son nokta \(p_1 = 3\)’tür; bu yüzden \(p_3\) de iki yöntemde aynıdır: \(p_3 = 2{,}0812637\), \(f(p_3) = -0{,}147204\). Ayrım bundan sonra başlar.
- Secant son iki noktayı (\(p_2\), \(p_3\)) kullanır: \(p_4 = 2{,}0948241\), \(|p_4 - p| \approx 2{,}7 \cdot 10^{-4}\).
- Regula Falsi \(f(p_3) < 0\) olduğundan yine \(p_1 = 3\)’ü kullanır: \(p_4 = 2{,}0896392\), \(|p_4 - p| \approx 4{,}9 \cdot 10^{-3}\).
Secant bir sonraki adımda \(p_5 = 2{,}0945494\) ile beş basamağa ulaşırken Regula Falsi soldan, tek taraflı ve yavaş ilerler (\(p_5 = 2{,}0927396\)).
\(\blacksquare\)
13.10 Lagrange İnterpolasyonu ve Hata Sınırı
\(n + 1\) farklı noktadan geçen, derecesi en çok \(n\) olan tek polinom (Teorem 8.2) \[P(x) = \sum_{k=0}^{n} f(x_k)\,L_k(x), \qquad L_k(x) = \prod_{\substack{i=0 \\ i \ne k}}^{n} \frac{x - x_i}{x_k - x_i}\] dir. Her \(L_k\) kendi düğümünde \(1\), ötekilerde \(0\)’dır. Hata sınırı (Sonuç 8.1): \[|f(x) - P(x)| \le \frac{M}{(n+1)!}\,\big|(x - x_0)(x - x_1)\cdots(x - x_n)\big|, \qquad |f^{(n+1)}| \le M.\]
- \(L_k(x)\)’leri istenen noktada sayı olarak hesapla; kontrol için \(\sum_k L_k(x) = 1\) olmalı.
- \(P(x) = \sum_k f(x_k) L_k(x)\)’i bul.
- \(f^{(n+1)}\)’i çıkar ve düğümlerle \(x\)’i içeren aralıkta \(M\) ile sınırla.
- Hata sınırını yaz.
Örnek 13.9 (Karekök İçin İkinci Dereceden İnterpolasyon) \(f(x) = \sqrt{x}\) fonksiyonunun \(x_0 = 4\), \(x_1 = 9\), \(x_2 = 16\) düğümlerindeki ikinci dereceden Lagrange polinomuyla \(\sqrt{10}\) için bir yaklaşım bulunuz ve bir hata sınırı veriniz.
Çözüm
\(x = 10\) için katsayı polinomları \[ \begin{aligned} L_0(10) &= \frac{(10 - 9)(10 - 16)}{(4 - 9)(4 - 16)} = -\frac{1}{10}, \\[1mm] L_1(10) &= \frac{(10 - 4)(10 - 16)}{(9 - 4)(9 - 16)} = \frac{36}{35}, \\[1mm] L_2(10) &= \frac{(10 - 4)(10 - 9)}{(16 - 4)(16 - 9)} = \frac{1}{14} \end{aligned} \] olur; toplamları \(1\)’dir. Buradan \[P(10) = 2 \cdot \left(-\frac{1}{10}\right) + 3 \cdot \frac{36}{35} + 4 \cdot \frac{1}{14} = \frac{111}{35} \approx 3{,}171429.\]
\(f'''(x) = \frac{3}{8}\,x^{-5/2}\) azalan olduğundan \([4, 16]\)’da \(M = f'''(4) = \frac{3}{8} \cdot \frac{1}{32} = \frac{3}{256}\)’dır: \[|\sqrt{10} - P(10)| \le \frac{3/256}{3!}\,|(10 - 4)(10 - 9)(10 - 16)| = \frac{3}{256} \cdot \frac{36}{6} \approx 0{,}0703.\] Gerçek değer \(\sqrt{10} = 3{,}162278\) olduğundan gerçek hata \(0{,}00915\)’tir.
\(\blacksquare\)
13.11 Bölünmüş Farklar ve Newton Formülleri
Bölünmüş farklar (Tanım 9.1) basamaklı bir tabloda hesaplanır: her sütundaki sayı, solundaki iki komşunun farkının, köşegenin uçlarındaki düğümlerin farkına bölümüdür. Newton biçimi (Teorem 9.1) tablonun üst kenarındaki sayıları kullanır: \[P_n(x) = f[x_0] + f[x_0, x_1](x - x_0) + f[x_0, x_1, x_2](x - x_0)(x - x_1) + \cdots\]
Düğümler \(h\) aralıklıysa \(f[x_0, \dots, x_k] = \frac{\Delta^k f(x_0)}{k!\,h^k}\) olur (Önerme 9.1) ve \(x = x_0 + s h\) ile
| Formül | Kullanılan farklar | Ne zaman |
|---|---|---|
| İleri fark (Sonuç 9.2): \(f(x_0) + \sum_{k} \binom{s}{k} \Delta^k f(x_0)\) | Tablonun üst kenarı | \(x\) tablonun başına yakın |
| Geri fark (Teorem 9.3): \(f(x_n) + \sum_{k} (-1)^k \binom{-s}{k} \nabla^k f(x_n)\), \(x = x_n + sh\) | Tablonun alt kenarı | \(x\) tablonun sonuna yakın |
- Düğümleri ve değerleri ilk iki sütuna, aralarına birer boş satır bırakarak yaz.
- Her sütunu bir öncekinden hesapla: \(k\). fark için payda \(x_{i+k} - x_i\)’dir.
- Üst kenardaki katsayıların altını çiz.
- \(P_n(x)\)’i yaz; yeni bir nokta eklenirse tabloya bir satır eklemek yeterlidir.
Örnek 13.10 (Bölünmüş Fark Tablosundan Kübik Polinom) \((-1, 0)\), \((0, 1)\), \((1, 2)\), \((2, 9)\) noktalarından geçen polinomu Newton bölünmüş fark formülüyle bulunuz ve ileri fark formülüyle \(P(0{,}5)\)’i hesaplayınız.
Çözüm
| \(k\) | \(x_k\) | \(f[x_k]\) | \(f[x_{k-1}, x_k]\) | \(f[x_{k-2}, x_{k-1}, x_k]\) | \(f[x_{k-3}, \dots, x_k]\) |
|---|---|---|---|---|---|
| \(0\) | \(-1\) | \(\underline{0}\) | |||
| \(\underline{1}\) | |||||
| \(1\) | \(0\) | \(1\) | \(\underline{0}\) | ||
| \(1\) | \(\underline{1}\) | ||||
| \(2\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) | ||
| \(7\) | |||||
| \(3\) | \(2\) | \(9\) |
Altı çizili katsayılarla \[P_3(x) = 0 + 1 \cdot (x + 1) + 0 \cdot (x + 1)x + 1 \cdot (x + 1)x(x - 1) = x^3 + 1.\]
Düğümler \(h = 1\) aralıklıdır; ileri farklar \(\Delta f(x_0) = 1\), \(\Delta^2 f(x_0) = 0\), \(\Delta^3 f(x_0) = 6\)’dır (\(= 3! \cdot 1^3 \cdot 1\)). \(x = 0{,}5 = -1 + s \cdot 1\) için \(s = 1{,}5\) ve \[P(0{,}5) = 0 + 1{,}5 \cdot 1 + \binom{1{,}5}{2} \cdot 0 + \binom{1{,}5}{3} \cdot 6 = 1{,}5 + \frac{1{,}5 \cdot 0{,}5 \cdot (-0{,}5)}{6} \cdot 6 = 1{,}125\] olur; gerçekten \(0{,}5^3 + 1 = 1{,}125\)’tir.
\(\blacksquare\)
13.12 Nümerik Türev
Türev formülleri, \(f\)’nin birkaç noktadaki değerlerinden türevi yaklaşık verir. Hata terimindeki türev, kullanılan noktaları içeren aralıkta \(M\) ile sınırlanır.
| Formül | Yaklaşım | Hata terimi |
|---|---|---|
| \(f'(x_0)\): ileri (\(h > 0\)), geri (\(h < 0\)) fark | \(\dfrac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}\) | \(-\dfrac{h}{2} f''(\xi)\) |
| \(f'(x_0)\): üç-nokta orta nokta | \(\dfrac{f(x_0 + h) - f(x_0 - h)}{2h}\) | \(-\dfrac{h^2}{6} f'''(\xi)\) |
| \(f'(x_0)\): üç-nokta uç nokta, \(x_k = x_0 + kh\) | \(\dfrac{-3f(x_0) + 4f(x_1) - f(x_2)}{2h}\) | \(\dfrac{h^2}{3} f'''(\xi)\) |
| \(f''(x_0)\): orta nokta | \(\dfrac{f(x_0 - h) - 2f(x_0) + f(x_0 + h)}{h^2}\) | \(-\dfrac{h^2}{12} f^{(4)}(\xi)\) |
Ayrıntılar: Önerme 10.1, Sonuç 10.1, Önerme 10.3 ve Önerme 10.4. Tablonun sonundaki türev için uç nokta formülü \(h < 0\) ile, yani soldaki değerlerle kullanılır.
- Orta nokta formülünde payda \(2h\)’dir, \(h\) değil.
- \(h\)’yi çok küçültmek hesapta yuvarlama hatasını büyütür; hata terimi yalnız kesme hatasını ölçer.
Örnek 13.11 (Kosinüsün Türevi İçin Üç Formül) \(f(x) = \cos x\) ve \(h = 0{,}1\) için ileri fark ve üç-nokta orta nokta formülleriyle \(f'(1)\)’e, ikinci türev formülüyle \(f''(1)\)’e yaklaşınız ve hata sınırlarını veriniz.
Çözüm
\(\cos 0{,}9 = 0{,}6216100\), \(\cos 1 = 0{,}5403023\), \(\cos 1{,}1 = 0{,}4535961\)’dir.
- İleri fark: \[f'(1) \approx \frac{0{,}4535961 - 0{,}5403023}{0{,}1} = -0{,}867062.\] \([1;\ 1{,}1]\)’de \(|f''| = |\cos| \le \cos 1\) olduğundan hata en çok \(\frac{0{,}1}{2} \cdot 0{,}5403 = 0{,}0270\)’tir.
- Orta nokta: \[f'(1) \approx \frac{0{,}4535961 - 0{,}6216100}{0{,}2} = -0{,}840069.\] \([0{,}9;\ 1{,}1]\)’de \(|f'''| = |\sin| \le \sin 1{,}1 = 0{,}8912\) olduğundan hata en çok \(\frac{0{,}01}{6} \cdot 0{,}8912 = 0{,}00149\)’dur.
- İkinci türev: \[f''(1) \approx \frac{0{,}6216100 - 2 \cdot 0{,}5403023 + 0{,}4535961}{0{,}01} = -0{,}539852.\] \(|f^{(4)}| = |\cos| \le \cos 0{,}9\) olduğundan hata en çok \(\frac{0{,}01}{12} \cdot 0{,}6216 = 0{,}00052\)’dir.
Gerçek değerler \(f'(1) = -\sin 1 = -0{,}841471\) ve \(f''(1) = -\cos 1 = -0{,}540302\)’dir; gerçek hatalar sırasıyla \(0{,}0256\), \(0{,}0014\) ve \(0{,}00045\) olup sınırların altındadır.
\(\blacksquare\)
13.13 Nümerik İntegral
Kapalı Newton-Cotes formülleri aralığın uçlarını kullanır, açık formüller kullanmaz (Sonuç 11.1, Sonuç 11.2). Kapalı formüllerde \(h = \frac{b - a}{n}\), açık formüllerde \(h = \frac{b - a}{n + 2}\)’dir.
| Kural | Formül | Hata terimi | Tam olduğu derece |
|---|---|---|---|
| Yamuk (\(n = 1\)) | \(\dfrac{h}{2}\big[f(x_0) + f(x_1)\big]\) | \(-\dfrac{h^3}{12} f''(\xi)\) | \(1\) |
| Simpson (\(n = 2\)) | \(\dfrac{h}{3}\big[f(x_0) + 4f(x_1) + f(x_2)\big]\) | \(-\dfrac{h^5}{90} f^{(4)}(\xi)\) | \(3\) |
| Simpson 3/8 (\(n = 3\)) | \(\dfrac{3h}{8}\big[f(x_0) + 3f(x_1) + 3f(x_2) + f(x_3)\big]\) | \(-\dfrac{3h^5}{80} f^{(4)}(\xi)\) | \(3\) |
| Orta nokta (açık, \(n = 0\)) | \(2h\, f(x_0)\) | \(\dfrac{h^3}{3} f''(\xi)\) | \(1\) |
| Açık, \(n = 1\) | \(\dfrac{3h}{2}\big[f(x_0) + f(x_1)\big]\) | \(\dfrac{3h^3}{4} f''(\xi)\) | \(1\) |
| Açık, \(n = 2\) | \(\dfrac{4h}{3}\big[2f(x_0) - f(x_1) + 2f(x_2)\big]\) | \(\dfrac{14h^5}{45} f^{(4)}(\xi)\) | \(3\) |
Tam olduğu derece: hata terimindeki türev bu dereceye kadar olan polinomlarda sıfırdır, yani formül onlarda gerçek değeri verir.
- Kuralı seç ve \(h\)’yi bul: kapalıda \(\frac{b - a}{n}\), açıkta \(\frac{b - a}{n + 2}\).
- Düğümleri yaz: kapalıda \(x_0 = a, \dots, x_n = b\); açıkta \(x_0 = a + h, \dots, x_n = b - h\).
- Formülü uygula.
- Hata terimindeki türevi \([a, b]\) üzerinde \(M\) ile sınırla ve \(|E| \le (\text{katsayı}) \cdot M\) yaz.
Örnek 13.12 (Bir Kök Fonksiyonunun İntegraline Dört Kuralla Yaklaşım) \(\displaystyle\int_0^1 \sqrt{1 + x}\,dx\) integraline Yamuk, Simpson, Simpson 3/8 ve Orta Nokta kurallarıyla yaklaşınız. Yamuk ve Simpson kuralları için hata sınırı veriniz.
Çözüm
Gerçek değer \(\frac{2}{3}\big(2\sqrt{2} - 1\big) = 1{,}2189514\)’tür.
Gereken değerler \(f(0) = 1\), \(f(\tfrac{1}{3}) = 1{,}1547005\), \(f(\tfrac{1}{2}) = 1{,}2247449\), \(f(\tfrac{2}{3}) = 1{,}2909944\) ve \(f(1) = 1{,}4142136\)’dır. Yamukta \(h = 1\), Simpson’da ve orta noktada \(h = \frac{1}{2}\), Simpson 3/8’de \(h = \frac{1}{3}\)’tür: \[ \begin{aligned} \text{Yamuk:}\quad & \tfrac{1}{2}\big[1 + 1{,}4142136\big] = 1{,}2071068, \\[1mm] \text{Simpson:}\quad & \tfrac{1}{6}\big[1 + 4 \cdot 1{,}2247449 + 1{,}4142136\big] = 1{,}2188655, \\[1mm] \text{Simpson 3/8:}\quad & \tfrac{1}{8}\big[1 + 3 \cdot 1{,}1547005 + 3 \cdot 1{,}2909944 \\[1mm] & \quad + 1{,}4142136\big] = 1{,}2189123, \\[1mm] \text{Orta nokta:}\quad & 1 \cdot f(\tfrac{1}{2}) = 1{,}2247449. \end{aligned} \]
| Kural | Yaklaşım | Gerçek hata |
|---|---|---|
| Yamuk | \(1{,}2071068\) | \(0{,}0118446\) |
| Simpson | \(1{,}2188655\) | \(0{,}0000859\) |
| Simpson 3/8 | \(1{,}2189123\) | \(0{,}0000391\) |
| Orta nokta | \(1{,}2247449\) | \(0{,}0057935\) |
Hata sınırları. \(f''(x) = -\frac{1}{4}(1 + x)^{-3/2}\) ve \(f^{(4)}(x) = -\frac{15}{16}(1 + x)^{-7/2}\)’dir; mutlak değerleri \([0, 1]\)’de \(x = 0\)’da en büyüktür: \[|E_{\text{Yamuk}}| \le \frac{1^3}{12} \cdot \frac{1}{4} = 0{,}0208, \qquad |E_{\text{Simpson}}| \le \frac{(1/2)^5}{90} \cdot \frac{15}{16} \approx 0{,}000326.\] Gerçek hatalar bu sınırların altındadır. Orta nokta kuralı tek bir fonksiyon değeriyle yamuk kuralından daha iyi sonuç verir; Simpson kuralı ise yalnız üç değerle hatayı \(10^{-4}\)’ün altına indirir.
\(\blacksquare\)
13.14 En Küçük Kareler Doğrusu
\((x_1, y_1), \dots, (x_n, y_n)\) verisine uydurulan \(\hat{y} = ax + b\) doğrusu, \(E = \sum_{i=1}^{n} (y_i - ax_i - b)^2\) toplamını minimum yapar (Tanım 12.2). \(a\) ve \(b\) normal denklemlerden (Tanım 12.3) bulunur; matris biçimi \[ \begin{bmatrix} \sum x_i^2 & \sum x_i \\[1mm] \sum x_i & n \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \sum x_i y_i \\[1mm] \sum y_i \end{bmatrix} \] ve çözümü \[a = \frac{n\sum x_i y_i - \sum x_i \sum y_i}{n\sum x_i^2 - \left(\sum x_i\right)^2}, \qquad b = \frac{\sum y_i - a\sum x_i}{n}\] dir.
- \(x_i\), \(y_i\), \(x_i^2\), \(x_i y_i\) sütunlu bir tablo kur ve sütun toplamlarını al.
- Normal denklemleri ya da matris biçimini yaz.
- \(a\) ve \(b\)’yi çöz.
- İstenirse \(\hat{y}_i\)’leri, artıkları \(q_i = y_i - \hat{y}_i\) ve \(E = \sum q_i^2\)’yi hesapla; kontrol için \(\sum q_i = 0\) olmalıdır.
Örnek 13.13 (Beş Noktaya Doğru Uydurma) \((1, 2)\), \((2, 3)\), \((3, 5)\), \((4, 4)\), \((5, 6)\) noktalarına en küçük kareler yöntemiyle bir doğru uydurunuz ve \(E\)’yi hesaplayınız.
Çözüm
| \(x_i\) | \(y_i\) | \(x_i^2\) | \(x_i y_i\) |
|---|---|---|---|
| \(1\) | \(2\) | \(1\) | \(2\) |
| \(2\) | \(3\) | \(4\) | \(6\) |
| \(3\) | \(5\) | \(9\) | \(15\) |
| \(4\) | \(4\) | \(16\) | \(16\) |
| \(5\) | \(6\) | \(25\) | \(30\) |
| \(\Sigma = 15\) | \(\Sigma = 20\) | \(\Sigma = 55\) | \(\Sigma = 69\) |
Normal denklemler \(55a + 15b = 69\) ve \(15a + 5b = 20\)’dir. Buradan \[a = \frac{5 \cdot 69 - 15 \cdot 20}{5 \cdot 55 - 15^2} = \frac{45}{50} = 0{,}9, \qquad b = \frac{20 - 0{,}9 \cdot 15}{5} = 1{,}3\] ve regresyon doğrusu \(\hat{y} = 0{,}9x + 1{,}3\)’tür. Tahmini değerler \(2{,}2;\ 3{,}1;\ 4;\ 4{,}9;\ 5{,}8\), artıklar \(-0{,}2;\ -0{,}1;\ 1;\ -0{,}9;\ 0{,}2\) olup toplamları \(0\)’dır ve \[E = 0{,}04 + 0{,}01 + 1 + 0{,}81 + 0{,}04 = 1{,}9.\]
\(\blacksquare\)